科数网知识库收录了 数学,物理和计算机三门教程,内容正在整理中,欢迎加入,如有意向,请加微信., 本知识库目前收录了 《初中数学》 《 高中数学》 《高等数学》 《线性代数》《概率论与数理统计》 共5门课程,其主要以中考、高考和考研为主。 而其它知识点以介绍为主。 本知识库旨在打造一个可以阅读的电子书,方便学生了解整个数学发展的来龙去脉, 我们无意把本站做成百度百科或者维基百科。
数学的学习会遇到太多以数学家命名的公式、定理,通过对数学家的介绍,我们可以了解一个公式的提出的背景, 在那个年代希望解决的问题, 例如通什么叫“欧氏空间”,什么叫“黎曼积分”等,
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从集合的角度开始学习函数的性质,包括指数函数,对数函数,三角函数,幂函数,已经数列,复数,向量,另外会学习平面解析几何 圆、椭圆,双曲线,抛物线 以及空间立体几何。 概率, 并初步引入导数。
恭喜您,正式进入踏入数学的天堂!微积分,被认为是人类的一大创举,自从微积分出现后,从此数学发生了翻天覆地的变化。在大学里,随着专业的不同,对数学的要求也会不同,但是基本上《微积分》都是每个大学生必学的第一门数学课,《微积分》被认为是现代数学的基础课, 在工科院校里一般叫做《高等数学》,而在理科里一般叫做《数学分析》, 其中的主要差别是,工科学生偏向使用,而理科学生偏向理论。 《微积分》是整个大学数学体系的基础课,是后续所有课程的基础课。
线性代数是研究由通常的二维或三维向量空间抽象出来的代数结构——有限维线性空间的学科,为此引入了矩阵、行列式和向量组的相关理论, 在研究线性空间的变换性质(映射性质)的过程中又引入了特征子空间(与之关联的概念是特征值和特征向量)的理论。
《概率论与数理统计》包括了概率学和统计学两大块内容,它有自己独特的概念和方法,内容丰富,结果深刻; 他在物理、经济分析中有紧密的联系,是近代数学的重要组成部分。 近年年来,随着人工智能的发展,概率论与数理统计在人工智能、语音识别等方便的作用越来越大。
数学分析是近代分析数学的基础,现行的理论源于近代 柯西,黎曼, 魏尔斯特拉斯 等人建立的极限论、积分和级数理论基础,该学科主要研究实变量函数(尤其是连续实函数)的微分积分性质,以及函数项级数的性质,多元函数主要关注各种物理中常用的微分定理和积分公式。后继课程有实分析以及复分析等等。数学分析研究的微积分也通常被称为黎曼积分(Riemann Integral)。
实变函数论又称实分析,该学科主要研究 勒贝格(Lebesgue) 等人为弥补 黎曼(Riemann) 积分的不足而建立的积分理论,关注的函数是一种比连续函数性质稍差的称之为可测函数的函数,主要研究极限和其它运算(特别是积分)交换次序的相关问题,著名结果包括 Fatou 引理和控制收敛定理等。先修课程为数学分析。
单复变函数论主要研究自变量为单个复数的函数的性质,因其关注的函数多是性质较好的解析函数,故该学科又称解析函数论,该学科的立足点可以从解析函数的微分理论、积分理论以及级数理论三方面进行,解析函数的微分理论引出所谓 Cauchy-Riemann 方程,而积分更像是二元复值实函数的第二类曲线积分,有著名的 Cauchy 积分公式,级数理论主要由 Weierstrass 建立,有著名的 Laurent 展开,此外对于复变函数的研究还有几何性质方面,由 Riemann 建立。先修课程为数学分析,后继课程有多复变函数论等。
函数逼近论主要研究函数的级数展开、渐近展开和数值计算,主要结果有插值问题(特别是多项式插值用于拟合函数或进行数值计算)、数值积分(著名结果有 Newton-Cotes 公式和 Romberg 算法)、函数逼近(最佳一致逼近和最佳平方逼近问题)和渐近展开理论。先修课程为数学分析。
特殊函数论主要研究在数学和物理中应用广泛的各种特殊函数(大部分是超越函数),这些函数有的借助级数定义,有的是某些特定问题的抽象化(如正弦积分函数等),有的是高阶(特别是二阶)常微分方程的解(这类函数众多),特殊函数论的众多公式经过众多数学物理学家的研究得到。系统学习特殊函数论的先修课程为数学分析,复变函数以及常微分方程等。
常微分方程简称 ODE, 含有未知的一元函数和未知函数各阶导数的方程称为常微分方程,对常微分方程的研究主要有定量研究(直接求解,这类方程十分稀少)、定性研究(主要研究方程的奇点和稳定性问题)以及数值方法(用数值方法求出特定初值问题对应的解)。
偏微分方程简称 PDE, 含有未知的多元函数和未知函数各阶偏导数的方程称为偏微分方程,因其背景很多方程都源于物理学,故又称数学物理方程。主要研究椭圆的、双曲的以及抛物的偏微分方程,进一步的应用是动力系统。
泛函分析是从代数结构的角度研究实变量的函数的学科,属于软分析(实变函数属于硬分析)。主要主题有线性算子理论、变分法、拓扑线性空间、希尔伯特空间、巴拿赫空间、算子代数以及测度与积分理论等等。
群论是研究一种基本的代数结构——群的学科,作为一门抽象化的数学学科,群论侧重于不同群结构之间的联系和群的分类以及存在性的讨论,前者有群同态的观点,后者引出了群分类问题。近年来对比群性质稍微差一些的代数结构——半群的研究十分热门,半群论也有成为一门新学科的趋势。
环论是研究比群结构较为丰富的一种代数结构——环的学科,对环的研究有像群那样的性质,但环论主要侧重于两种运算诱导的新性质,如环是否是有限生成的,是否是可因式分解的等等。
模论是研究环作用在一个集合上形成的代数结构——模的学科,一个模的特例是线性空间,在模的研究中我们注重模的作用行为和生成行为,例如正合列和诺特模