最后更新: 2024-10-07 09:54 ● 参与者查看: 315 次纠错分享评论参与项目

第一类曲线积分

## 第一类曲线积分
在工程技术与物理学中，常常要遇到计算非均匀曲线状或曲面状构件的质量，质点受变力作用下沿曲线运动而作功及流体通过曲面的流量等问题，要解决这类问题，就要推广积分概念积分区域.
在前面两节中，我们已经对积分概念作了推广，例如定积分的积分范围是数轴上的区间，二重积分的积分范围为平面闭区域，三重积分的积分的积分范围为空间立体.现在我们要把积分范围推广到一段曲线 (我们讨论的都是有限长度的曲线弧)，这就是本节所要介绍的曲线积分.

### 曲线状构件的质量
曲线状构件的质量: 在设计曲线形构件时，为了合理使用材料，应根据构件 各部分受力的情况，把构件上各点处的粗细程度设计得不完全一样. 因此可以认为这构件的线密度 (单位长度的质量) 是变量.
假设在 $x O y$ 平面上有一曲线状构件，设曲线弧 $A B$ 的长为 $l$ ， 线密度为连续函 数 $\rho=\rho(x, y) ，(x, y) \in A B$. 若构件的线密度 $\rho$ 是常数（均匀质体），则构件的 质量 $M=\rho l$ ； 若构件的线密度 $\rho=\rho(x, y)$ (非均匀质体)，就不能直接用上述 方法计算其质量.

可用点 $M_1 ， M_2 ， \ldots, M_{n-1}$ 将曲线弧 $A B$ 分成 $n$ 个小弧段 $\Delta s_i(i=1,2 ... )$
$\Delta s_i$ 也表示为该小弧段的弧长.对于每一小段构件，由于线密度连续变化所以，只要其长度足够短，就可以用这一小段上任一点处的线密度代替这一小段上其他各点处的线密度.即任取 $\left(x_i, y_i\right) \in \Delta s_i$ (图 7-42)，从而得到这小段构件 $\Delta s_i$ 的质量 $\Delta m_i$ 的近似值为 $\rho\left(x_i, y_i\right) \Delta s_i(i=1,2, \cdots, n)$ ，从而曲线
状构件的质量为

$$
m=\sum_{i=1}^n \Delta m_i \approx \sum_{i=1}^n \rho\left(x_i, y_i\right) \Delta s_i,

![图片](/uploads/2023-01/image_202301013f78a41.png)

取 $\lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta s_i\right\}$ ，当分点无限增多且 $\lambda \rightarrow 0$ 时，此和式极限就是该曲线状构件的质量，

即

$$
m=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \rho\left(x_i, y_i\right) \Delta s_i .
$$

抛开这个问题的物理意义，对此和式极限进行抽象，就得到第一类曲线积分的定义.

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