最后更新: 2025-11-06 16:55 查看: 657 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

曲面论初步

### 1．曲面的基本概念
我们先讨论什么是曲面． 
过去我们把曲面理解为定义在一个区域 $D$ 上的二元连续函数 $z= f(x, y)$ 的图形．更为一般一点是把曲面理解为一个满足一定条件的方程

$$
F(x, y, z)=0
$$

的解在空间中所形成的集合。比如，方程

$$
x^2+y^2+z^2-R^2=0
$$

代表以原点为中心、以 $R$ 为半径的球面．后者称为曲面的隐式表示．无论是曲面的显函数表示还是隐式表示，总是希望把曲面上的点的坐标 $(x, y, z)$中之某一分量看作是另外两个分量的函数。这种看法虽然是自然的，但是也给我们带来了许多不便。最一般的也是最方便的表示曲面的方法是参数表示法，即我们把一张曲面看作是由两个自由参数所确定的空间中的点集合。比如，球面的参数表示是

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=R \sin \varphi \cos \theta, \\
y=R \sin \varphi \sin \theta, \\
z=R \cos \varphi,
\end{array}\right.
$$

其中 $R>0$ 是常数，$\varphi$ 与 $\theta$ 则是参数， $0<\varphi<\pi, 0 \leqslant \theta<2 \pi$ ．
一般说来，若在一个平面区域 $D$ 上有三个连续函数 $x(u, v), y(u, v)$ 及 $z(u, v)$ ，其中 $(u, v)$ 在 $D$ 中变动，那么由

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x(u, v), \\
y=y(u, v), \quad(u, v) \in D \\
z=z(u, v)
\end{array}\right.
$$

所确定的点 $(x, y, z)$ 的集合称作一张曲面．这个方程称作曲面的参数方程，而 $(u, v)$ 称为相应点的参数．

从映射的观点来看，可以认为曲面是平面区域 $D$ 到 $\boldsymbol{R}^3$ 中的一个连续映射的像（见图6．18）。
 
 ![图片](/uploads/2025-11/93945a.jpg){width=500px}

上述参数方程也可以用向量表示：

$$
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(u, v) \equiv(x(u, v), y(u, v), z(u, v))
$$

只要求上述映射 $(u, v) \mapsto(x, y, z)$ 连续还不足以保证映射的像是我们通常理解的曲面，比如它可能退化成一点，或一条曲线。为了保证曲面不致退化，我们将要求参数与曲面上的点的对应是一一对应．此外，我们还要求 $x= x(u, v), y=y(u, v)$ 及 $z=z(u, v)$ 有连续偏导数，并且

$$
\boldsymbol{r}_u=\left(x_u(u, v), y_u(u, v), z_u(u, v)\right)
$$

与

$$
\boldsymbol{r}_v=\left(x_v(u, v), y_v(u, v), z_v(u, v)\right)
$$

不共线，也即

$$
\boldsymbol{r}_u \times \boldsymbol{r}_v \neq \mathbf{0}
$$

后面这个条件实际上保证了曲面处处有切平面。（证明从略）

`例`设 $F(x, y)$ 是区域 $D$ 上一个有连续偏导数的函数，那么函数

$$
z=F(x, y)
$$

所表示的曲面处处有切平面．
事实上，这时曲面可以认为是以 $(x, y)$ 为参数，而其参数方程是

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=x, \\
y=y, \\
z=F(x, y) .
\end{array}\right.
$$

其向量表示是

$$
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(x, y) \equiv(x, y, F(x, y)) .
$$

故有

$$
\begin{aligned}
& \boldsymbol{r}_x=\left(1,0, F_x(x, y)\right), \\
& \boldsymbol{r}_y=\left(0,1, F_y(x, y)\right) .
\end{aligned}
$$

回顾叉乘运算的公式，我们有

$$
\boldsymbol{r}_x \times \boldsymbol{r}_y=\left(-F_x,-F_y, 1\right) \neq \mathbf{0} .
$$

`例`球面的通常参数表示是

$$
\left\{\begin{array}{l}
x=R \sin \varphi \cos \theta, \\
y=R \sin \varphi \sin \theta, \\
z=R \cos \varphi,
\end{array}\right.
$$

其中 $0 \leqslant \varphi \leqslant \pi, 0 \leqslant \theta<2 \pi$（参见图6．19）．在这样的参数表示下，球面上除两个极点 $(0,0, R)$ 与 $(0,0,-R)$（对应于 $\varphi=0, \pi$ ）外处处有切平面．事实上，

![图片](/uploads/2025-11/c8d0bb.jpg){width=300px}
 
 
$$
\begin{aligned}
\boldsymbol{r}_{\varphi} & =(R \cos \varphi \cos \theta, R \cos \varphi \sin \theta,-R \sin \varphi), \\
\boldsymbol{r}_\theta & =(-R \sin \varphi \sin \theta, R \sin \varphi \cos \theta, 0), \\
\boldsymbol{r}_{\varphi} \times \boldsymbol{r}_\theta & =\left(R^2 \sin ^2 \varphi \cos \theta, R^2 \sin ^2 \varphi \sin \theta, R^2 \cos \varphi \sin \varphi\right) .
\end{aligned}
$$

很容易验证，当 $\varphi \neq 0$ 与 $\pi$ 时， $\b

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