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函数的间断点

## 函数的间断点
按函数在一点处连续的定义，函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处连续，是指 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=f\left(x_0\right)$ ， 即需要 $f\left(x_0\right)$ 有定义； 而要考虑极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 则需 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定 义作为前提条件.
设 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某空心邻域内有定义，且函数 $f(x)$ 有下列三种情形之一:
(1) 在 $x=x_0$ 处没有定义；
(2) 虽然在 $x=x_0$ 处有定义，但 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 不存在 $f\left(x_0^{+}\right) ， f\left(x_0^{-}\right)$之一不存在， 或 两者存在但不相等)；
(3) 虽在 $x=x_0$ 处有定义， $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)$ 存在，但 $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x) \neq f\left(x_0\right)$ ，则称函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处间断(不连续). $x_0$ 称为 $f(x)$ 的间断点， 或不连续点.

例如，函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处没有定义，即知 $x=0$ 是它的间断点(见图1-56). 函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}|x| & x \neq 0 \\ 1 & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处 $\lim _{x \rightarrow 0}|x|=0 \neq f(0)$ ，即知 $x=0$ 是它的间断点(见图1-57).

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假设 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的间断点，按其单侧极限是否存在，分为第一间断点与 第二间断点， 具体分法如下.

## 第一类间断点
(1) 若 $f\left(x_0^{+}\right) 、 f\left(x_0^{-}\right)$存在，则称 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的第一类间断点. 如果 $f\left(x_0^{+}\right)=f\left(x_0^{-}\right) \quad\left(\lim _{x \rightarrow 0} f(x)\right.$ 存在)，则称 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的可去间断点. 这时 可能出现的情况为，函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处无定义， 或有定义但 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x) \neq f\left(x_0\right)$ ， 故可通过补充或修改该点的函数值，使函数在该点处连续.

`例` $ f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处无定义，
但 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$ ，因此 $x=0$ 为 $(x)$ 的第
一类间断点(见图1-58)，为可去间断点.
若补充 $f(0)=1$ ， 则 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{array}\right.$
在 $x=0$ 处连续.
如果 $f\left(x_0^{+}\right) \neq f\left(x_0^{-}\right)$，则称 $x=x_0$ 为函数
$f(x)$ 的跳跃间断点.

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`例` 函数 $f(x)= \begin{cases}\frac{x^2-9}{x-3}, & x>3, \\ x-1, & x \leq 3\end{cases}$
在 $x=3$ 处有定义， $f(3)=2$ ，

$$
\begin{aligned}
& \lim _{x \rightarrow 3^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 3^{+}} \frac{x^2-9}{x-3}=\lim _{x \rightarrow 3^{+}}(x+3)=6, \\
& \lim _{x \rightarrow 3^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 3^{-}}(x-1)=2, \\
& f\left(3^{+}\right) \neq f\left(3^{-}\right),
\end{aligned}
$$

知 $x=3$ 为函数 $f(x)$ 的第一类间断点
(见图1-59），为跳跃间断点.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271456.png)

## 第二类间断点
若 $f\left(x_0^{+}\right) 、 f\left(x_0^{-}\right)$中至少有一个不存在，则称 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的第二类 间断点. 不是第一类间断点的，均是第二类间断点.
如果 $\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)=\infty$ 或 $\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x)=\infty$ ，则称 $x=x_0$ 为函数 $f(x)$ 的无穷间断点.

`例` $ f(x)=\tan x$ 在 $x=\frac{\pi}{2}$ 处无定义，又 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} f(x)=\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \tan x=\infty ，$ 则 $x=\frac{\pi}{2}$ 为函数的第二 类间断点(见图1-60)，为无穷间断点.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221227b42bb5d.png)

`例` $ f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 在 $x=0$ 处无定义，又当 $x \rightarrow 0$ 时， $\sin \frac{1}{x}$ 在 $[-1,1]$ 之间变动无限多 次，故 $x=0$ 为 $f(x)=\sin \frac{1}{x}$ 的第二类间断点(见图1-61 )，为振荡间断点.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271459.png)

`例` 讨论 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^n}{1+x^n}(x \geq 0)$ 的连续性.
解 当 $x \in[0,1)$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x^n=0 ， f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^n}{1+x^n}=0$ ；
当 $x=1$ 时， $f(x)=\frac{1}{2}$ ；
当 $x \in(1,+\infty)$ 时， $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^n}{1+x^n}=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+\frac{1}{x^n}}=1$ ，即

$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
0, & x \in[0,1) \\
\frac{1}{2}, & x=1 \\
1, & x \in(1,+\infty)
\end{array}\right.
$$

因此 $f(x)$ 在 $[0,1) ，(1,+\infty)$ 内连续. $x=1$ 是 $f(x)$ 的跳跃间断点.

`例` 讨论函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\cos \frac{\pi}{2} x, & |x| \leq 1, \\ |x-1|, & |x|>1\end{array}\right.$ 的间断点.
解 在 $x=-1$ 处， $f\left(-1^{-}\right)=\lim _{x \rightarrow-1} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1}|x-1|=2$ ，

$$
f\left(-1^{+}\right)=\lim _{x \rightarrow 1^{-1}} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1} \cos \frac{\pi}{2} x=0,
$$

因此 $x=-1$ 是 $f(x)$ 的跳跃间断点；
在 $x=1$ 处， $f\left(1^{-}\right)=\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\lim _{x \rightarrow-1} \cos \frac{\pi}{2} x=0$ ，
$f\left(1^{+}\right)=\lim _{x \rightarrow 1^{+}} f(x)=\lim _{x \rightarrow 1^{-}}|x-1|=0$ ，因此 $x=1$ 是 $f(x)$ 的连续点.

## 间断点通俗解释

1.可去间断点：只需要再重新补充一下定义，就可以把这个间断点给“去掉”，变成连续的点。可以想象为自行车扎胎了，只需要用一个小补丁给“补一下”就可以了。或者想象一下，不慎骨折了，但没有错位（左极限等于右极限），只要固定好，不需要太麻烦地处理，过一段时间就骨折的部位就会自动接好。

2.跳跃间断点：需要“跳一下”才能够接上。就像骨折后错位（左极限不等于右极限），是需要给矫正之后，接好，才能再固定的。两个电线杆子之间的电线断了，需要把两个头对到一块才能接。

3.无穷间断点：有一侧或者两侧发散到无穷的情况。就是越来越远，绝对没有“接上”的可能。

4.振荡间断点：没有极限，但呈现振荡状态。曾经举这么一个例子，就类似于冬天天冷，浑身上下都哆嗦，拿起水碗想喝水，但手和头，嘴唇都在哆嗦，怎么也没有办法喝的情况。

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