最后更新: 2025-12-07 09:54 查看: 1029 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

函数的间断点 ★★★★★

## 函数的间断点
若函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 不连续，则称 $x_0$ 为函数的**间断点**．为方便起见，在此要求 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某去心邻域内有定义．由此可知，若 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的一个间断点，则可能有多种情况， 
（1）$f(x)$ 在点 $x_0$ 无定义；
 （2）$f(x)$ 在点 $x_0$ 有定义，但极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 不存在；
 （3）$f(x)$ 在点 $x_0$ 有定义，且极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 也存在，但 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x) \neq f\left(x_0\right)$ ．

> 注 点 $x_0$ 为函数 $f(x)$ 的间断点的前提条件只是 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一**去心**邻域 $\dot{U}\left(x_0\right)$ 内有定义，而不是在 $U\left(x_0\right)$ 内有定义。

比如 $y=\frac{x^2-1}{x-1}$ 在$x=1$处无定义，但是在$x\ne1$的领域内是有定义的。

据此，间断点被分为两大类（第一类、第二类间断点）：

## 第一类间断点

第一类间断点 $x_0$ ：左、右极限 $\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} f(x), \lim _{x \rightarrow x_0^{+}} f(x)$ 均存在的间断点称为第一类间断点，他主要分两类：
### （1）可去间断点
**如果左、右极限存在并且相等，即 $\lim _{x \rightarrow x_{\overline{0}}^{-}} f(x)=\lim _{x \rightarrow x_{\overline{0}}^{+}} f(x)$ ，则极限 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在，称 $x_0$ 为可去间断点**．

＂可去间断点＂指通过一定的手段，可以＂去掉＂的间断点．设 $x_0$ 是 $f(x)$ 的可去间断点，且 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=A$ ．这里的＂手段＂是指：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 处无定义，则补充定义 $f\left(x_0\right)=A$ ，若 $f(x)$ 在 $x_0$ 已有定义，则改变定义为 $f\left(x_0\right)=A$ ．总之，取 $\tilde{f}(x) \xlongequal{\triangle}\left\{\begin{array}{ll}f(x), & x \neq x_0, \\ A, & x=x_0,\end{array}\right.$ 则 $x_0$ 是 $\tilde{f}(x)$ 的连续点，这样就＂去掉＂了间断点．

`例` 试求 $y=\frac{x^2-1}{x-1}$ 的间断点，并指出其类型．
解 $y=\frac{x^2-1}{x-1}$ 在 $x=1$ 无定义，故 $x=1$ 是间断点，且由于 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}=2$ ，故极限存在，从而 $x=1$ 是函数 $y=\frac{x^2-1}{x-1}$ 的第一类间断点，为可去间断点．

`例` $ f(x)=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 处无定义，
但 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x}=1$ ，因此 
若补充 $f(0)=1$ ， 则 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\sin x}{x}, & x \neq 0, \\ 1, & x=0\end{array}\right.$
则在 $x=0$ 处连续. $f(x)$所以是可去间断点。

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【高等数学】怎样理解函数的间断点？

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