最后更新: 2025-11-25 11:48 查看: 651 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

函数连续性

## 函数的连续性

> 函数的连续性通俗理解就是可以**用一笔画出来**。

所谓＂连续函数＂，从几何上表现为它的图形是坐标平面上一条连绵不断的曲线．而所谓＂不连续函数＂从几何上表现为它的图形在某些点处＂断开＂了。

当然，我们不能满足于这种直观的认识，因为图形只能帮助我们更形象地理解概念，而不能揭示概念的本质属性．另一方面，图形给我们的连续性概念是＂连绵一片＂的，因而是整体的，但讨论函数时，本质的要求是把连续性归结为＂局部的＂，即在**一点的连续性**。

例如对于函数 $y=\frac{x^2-1}{x-1} ， \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^2-1}{x-1}=2$ ，当 $x \rightarrow 1$ 时极限是存在的，但是这两个函数在 $x=1$ 处是没有定义的，所以在 $x=1$ 处曲线是 "断" 的(见图1-51). 而对于函数 $y=x+1 ， \lim _{x \rightarrow 1} x+1=2 ，$ 这时函数的曲线 就是 "不断" 的(见图1-52)，这样的函数称为 "连续" 函数.
![图片](/uploads/2022-12/image_202212271449.png)

“连续性”这个概念在日常生活中处处存在， 如气温的变化、地球的转动、动植物的生长等均是连续变化的. 这种现象在函数关系上的反映， 就是“函数的连续性”. 再比如， 就植物的生长来看， 当时间变化很微小时， 植物也相应发生微小的变化， 这种特点就是所谓的连续性.

## 函数的连续性

设 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当自变量 $x$ 从 $x_0$ 变化到 $x_0+\Delta x$ 时，相 应的函数 $f(x)$ 也发生变化: $f\left(x_0\right) \rightarrow f\left(x_0+\Delta x\right)$ ，此时函数 $y$ 的对应增量（见图1-55) 为 $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212271451.png)

### 函数在一点处的连续性
**定义1** 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的某个邻域内有定义，如果
$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)\right]=0 ，
$$

则称 $y=f(x)$ 在点$x_0$一点处**连续**.

**函数的连续性**
有了点连续就可以给出区间连续的定义。
>**定义2：如果函数$f(x)$在某个区间$(a,b)$内处处连续，就说他在此区间上连续，这就过渡到了整体的连续性，这时会有许多新的性质**

注
①$\Delta x$ 称为自变量的增量，$\Delta y$ 称为函数的增量；$\Delta x$ 或 $\Delta y$ 可正，可负，也可为零．
②函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续 $\Leftrightarrow \lim _{\Delta x \rightarrow 0} f\left(x_0+\Delta x\right)=f\left(x_0\right)$ ；
③若记 $x_0+\Delta x=x$ ，则函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 连续的定义可以改写为： $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)= f\left(x_0\right)$ ，即极限值等于该点的函数值；
④由 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(x_0\right)$ 以及 $x_0=\lim _{x \rightarrow x_0} x$ ，有 $\lim _{x \rightarrow x_0} f(x)=f\left(\lim _{x \rightarrow x_0} x\right)=f\left(x_0\right)$ ，表明连续函数的函数符号与极限运算符号可以交换顺序．

**函数 $f$ 在点 $x_0$ 有极限与函数 $f$ 在点 $x_0$ 连续之间有什么关系呢？**
从对邻域的要求看：在讨论极限时，假定 $f$ 在 $\dot{U}\left(x_0\right)$ 内有定义 $\left(f\right.$ 在点 $x_0$ 可以没有定义），而 $f$ 在点 $x_0$ 连续则要求 $f$ 在某 $U\left(x_0\right)$ 内有定义（包括 $x_0$ ）．在极限中，要求 $0

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