最后更新: 2026-01-22 10:06 查看: 1010 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

向量组的等价（★★★★★）

在矩阵等价里介绍了矩阵等价的定义，如果一个矩阵$B=P A Q$，则称呼为$B \simeq A$, 详见[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=461), 矩阵等价从方程的角度理解，反映的是“**同解方程组**”。从映射角度理解，矩阵等价意思是矩阵$B$经过一些列初等变换，能变成矩阵$A$。**但是根据定义，如何快速判断两个矩阵等价是一个比较棘手的问题** 我们需要进一步寻找新的方法来解决这个问题，为此先引入向量组的等价。

> **等价的向量组，本质上是张成了同一个向量空间（或同一个子空间）**。

可以把每个向量想象成空间里的一把“尺子”，向量组就是一组尺子的集合。
- 若向量组 $A$ 和 $B$ 等价，意味着用 $A$ 这组尺子能“量出”的所有向量，用 $B$ 这组尺子也能量出来，反过来也一样。
- 举个例子：
  二维平面上，向量组 $A=\{\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0),\boldsymbol{\alpha}_2=(0,1)\}$ 是标准单位向量，能张成整个平面 $\mathbb{R}^2$。
  向量组 $B=\{\boldsymbol{\beta}_1=(1,1),\boldsymbol{\beta}_2=(1,-1)\}$，我们可以验证：
  $\boldsymbol{\alpha}_1=\frac{1}{2}\boldsymbol{\beta}_1+\frac{1}{2}\boldsymbol{\beta}_2$，$\boldsymbol{\alpha}_2=\frac{1}{2}\boldsymbol{\beta}_1-\frac{1}{2}\boldsymbol{\beta}_2$；
  同时 $\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2$，$\boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2$。
两个向量组能互相线性表示，所以等价，它们都能张成整个二维平面。

## 向量组等价的定义

**定义** 设 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 是 $m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，而 $B: \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s$ 是 $s$ 个 $n$ 维向量组成的向量组.
如果向量组 $B$ 中每一个 向量 $\beta_j(j=1,2, \cdots, s)$ 均可由向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示，
则称向量组 $B: \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_3$ 可由向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示.
如果向量组 $A$ 与向量组 $B$ 可以**相互线性表示**，则称向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价.

## 向量等价的判定定理

> **只有同维数的向量组才有可能等价，不同维数的向量组无法互相线性表示，一定不等价。**

这也比较好好理解，假设A是二维向量，B是三维向量，他们一个是平面，一个是立体，永远不可能互相表示。

比如
$A=\left[\begin{array}{l} 2 &3 & 1 \\ 4 & 5 & 1 \end{array}\right]=(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$
和
$B=\left[\begin{array}{l} 2 & 3 & 1 \\ 4 & 5 & 1\ \\ 6 & 7 & 9 \end{array}\right] =(\beta_1,\beta_2,\beta_3)$

矩阵A的列向量$\alpha_1=\begin{pmatrix}2\\4\end{pmatrix}$ 有2个元素，表示的是二维的，而B的列向量 $\beta_1=\begin{pmatrix}2\\4 \\6 \end{pmatrix}$ 有3个元素表示的是三维的，所以，他们永远不可能等价，这是大方向，不能搞错。 更进一步说，**如果两矩阵等价，那么他们的行数一定相等**。

> **判定定理** 设 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是 $m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组 ，而 $B: \beta, \beta, \cdots, \beta$, 是 $s$ 个 $n$ 维向量组成的向量组 .
令矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right)_{n \times m} ， B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s\right)_{n \times s}$ ，则向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表示的充分必要条件是矩阵方程 $A X=B$ 有解.

证明：
#### 1.  必要性（$\Rightarrow$）
如果向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表示，根据线性表示的定义：
对 $B$ 中的每一个向量 $\boldsymbol{\beta}_j \ (j=1,2,\dots,s)$，都存在一组数 $x_{1j},x_{2j},\dots,x_{mj}$，使得
$$\boldsymbol{\beta}_j = x_{1j}\boldsymbol{\alpha}_1 + x_{2j}\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + x_{mj}\boldsymbol{\alpha}_m$$
把这 $s$ 个等式写成矩阵乘法的形式：
$$
(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_2,\dots,\boldsymbol{\beta}_s)
=
(\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m)
\begin{pmatrix}
x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1s} \\
x_{21} & x_{22} & \dots & x_{2s} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
x_{m1} & x_{m2} & \dots & x_{ms}
\end{pmatrix}
$$
令 $\boldsymbol{X}=(x_{ij})_{m \times s}$，则上式就是 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$，即矩阵方程有解。

#### 2.  充分性（$\Leftarrow$）
如果矩阵方程 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$ 有解，设解为 $\boldsymbol{X}=(x_{ij})_{m \times s}$，则
$$(\boldsymbol{\alpha}_1,\dots,\boldsymbol{\alpha}_m)\begin{pmatrix}x_{1j}\\x_{2j}\\\vdots\\x_{mj}\end{pmatrix} = \boldsymbol{\beta}_j, \quad j=1,2,\dots,s$$
展开就是 $\boldsymbol{\beta}_j = x_{1j}\boldsymbol{\alpha}_1 + x_{2j}\boldsymbol{\alpha}_2 + \dots + x_{mj}\boldsymbol{\alpha}_m$
这说明 $B$ 中的每个向量都能由 $A$ 线性表示，即向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表示。

###    推论（与矩阵秩的关系）
结合矩阵方程有解的秩判定定理，我们可以得到更实用的结论：
$$\boldsymbol{A}\boldsymbol{X}=\boldsymbol{B} \text{ 有解} \iff r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})$$
因此
$$\boldsymbol{\text{向量组 } B \text{ 可由 } A \text{ 线性表示}} \iff \boldsymbol{r(\boldsymbol{A}) = r(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})}$$
其中 $(\boldsymbol{A},\boldsymbol{B})$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 和 $\boldsymbol{B}$ 拼接成的增广矩阵。

---

`例`已知向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 5\end{array}\right)$ 和 $B: \boldsymbol{\beta}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$,
证明: 向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 和向量组 $B: \beta_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 等价.

**分析**：假设$B$ 可由 $A$表示，不妨设表示系数分别是$x_{ij}$，根据定义，有下列方程组
  
$$
 \left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)=\boldsymbol{\beta}_1 =x_{11} \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) + x_{12} \left(\begin{array}{l}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) + x_{13} \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 5\end{array}\right) 
$$

$$
 \left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)=\boldsymbol{\beta}_2=x_{21} \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) + x_{22} \left(\begin{array}{l}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) + x_{23} \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 5\end{array}\right) 
$$

$$
\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)=\boldsymbol{\beta}_3 =x_{31} \left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right) + x_{32} \left(\begin{array}{l}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right) + x_{33} \left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 5\end{array}\right)  
$$

上面可以表示为下面的矩阵乘法

$$
(\boldsymbol{\alpha_1},\boldsymbol{\alpha_2},\boldsymbol{\alpha_3})

\left(\begin{array}{l} x_{11}

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