最后更新: 2024-09-23 21:09 ● 参与者查看: 353 次纠错分享评论参与项目

向量组的等价

## 向量组的等价
**定义** 设 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 是 $m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，而 $B: \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_1$ 是 $s$ 个 $n$ 维向量组成的向量组.
如果向量组 $B$ 中每一个 向量 $\beta_j(j=1,2, \cdots, s)$ 均可由向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示，
则称向量组 $B: \beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_3$ 可由向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示.
如果向量组 $A$ 与向量组 $B$ 可以相互线性表示，则称向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价.
若向量组 $B: \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 可由向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示，
则对向量组 $B$ 中每一个向量 $\beta_j(j=1,2, \cdots, s)$ ，存在一组数 $k_{1 j}, k_{2 j}, \cdots, k_{m j}$ ，使得

$$
\boldsymbol{\beta}_j=k_{1 j} \boldsymbol{\alpha}_1+k_{2 j} \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_{m j} \boldsymbol{\alpha}_m=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right)\left(\begin{array}{c}
k_{1 j} \\
k_{2 j} \\
\vdots \\
k_{m j}
\end{array}\right)(j=1,2, \cdots, s) .
$$

以向量 $\left(\begin{array}{c}k_{1 j} \\ k_{2 j} \\ \vdots \\ k_{m j}\end{array}\right)$ 为列，得到一个 $m \times s$ 矩阵

$$
\boldsymbol{K}_{m \times s}=\left(\begin{array}{cccc}
k_{11} & k_{12} & \cdots & k_{1 s} \\
k_{21} & k_{22} & \cdots & k_{2 s} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
k_{m 1} & k_{m 2} & \cdots & k_{m s}
\end{array}\right) .
$$

矩阵 $\boldsymbol{K}_{m \times s}$ 称为这一线性表示的系数矩阵.
令矩阵 $A=\left(\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right) ， B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_s\right)$ ，则有 $B=\boldsymbol{A} \boldsymbol{K}_{m \times s}$.

### 定理2
设 $A: \alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ 是 $m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，而 $B: \beta, \beta, \cdots, \beta$, 是 $s$ 个 $n$ 维向量组成的向量 组.
令矩阵 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n\right) ， B=\left(\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_3\right)$ ，则向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表示的充分必要条件是矩阵方程 $A X=B$ 有解.

向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价的充分必要条件是矩阵方程 $A X=B$ 与 $B Y=A$ 同时有解.

证明：向量组 $B: \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$ 可由向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性表示
1 存在这一表示的系数矩阵 $\boldsymbol{K}_{n \times s}$ ，使得 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A} \boldsymbol{K}_{n \times s}$.
2 若矩阵方程 $A X=B$ 有解 $X=K_{\operatorname{mes}}$ ，
向量组 $A$ 与向量组 $B$ 等价
(1) 存在系数矩阵 $K_{m \times s}$ 与 $M_{s x m}$ ，使得 $B=A K_{m \times s}$ 且 $B M_{s \times m}=A$.
2 矩阵方程 $A X=B$ 与 $B Y=A$ 同时有解 $X=K_{m \times s} ， Y=M_{s m m}$.

`例`已知向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}-2 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ 和 $B: \beta_1=\left(\begin{array}{c}3 \\ 1 \\ -2\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{l}-3 \\ 1 \\ 1\end{array}\right) \cdot \boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$,
证明：向量组 $B: \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 可由向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性表示.

证明 令矩阵 $A=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2\right) ， B=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)$ ，

向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表示的充分必要条件是矩阵方程 $A \boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$ 有解.
而该矩阵方程有解又等价于三个方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta_j},(j=1,2,3)$ 均有解.
对增广矩阵实施初等行变换，有

$$
\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 \mid \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)=\left(\begin{array}{cc|ccc}
1 & -2 & 3 & -3 & -1 \\
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
-1 & 1 & -2 & 1 & 0
\end{array}\right) \square\left(\begin{array}{cc|ccc}
1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\
0 & 1 & -1 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right),
$$

可见，三个方程组 $A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{\beta}_j(j=1,2,3)$ 的解分别为

$$
x_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ -1\end{array}\right),
$$

$$
x_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2\end{array}\right),
$$

$$
x_3=\left( \begin{array}{l}1  \\ 1\end{array}\right)
$$

于是有 $\boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & 1\end{array}\right)$, 使得 $A \boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$. 因此向量组 $B$ 可由向量组 $A$ 线性表示.

关于逆矩阵的求法请参考  [http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=463](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=463)

`例`已知向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}-1 \\ 1 \\ 2\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 5\end{array}\right)$ 和 $B: \boldsymbol{\beta}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$,
证明: 向量组 $A: \alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 和向量组 $B: \beta_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3$ 等价.

证明 令矩阵 $A=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right) ， B=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3\right)$ ，设 $B \boldsymbol{X}=\boldsymbol{A}$ 。由

$$
\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \boldsymbol{\beta}_3 \mid \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)=\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 1 & 1 & -1 & 1 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 1 & -1 & 2 & 5
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc|ccc}
1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 0 & -1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 2
\end{array}\right),
$$

矩阵方程 $B X=A$ 有解 $\boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ ，因此，向量组 $A$ 能由向量组 $B$ 线性表示.
另一方面，由于

$$
\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & 3 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}
1 & -1 & -1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right|=2 \neq 0
$$

所以矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)$ 可逆，于是有 $\boldsymbol{A}\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 2\end{array}\right)^{-1}=\boldsymbol{B}$ ，

即向量组 $B$ 能由向量组 $A$ 线性表示，所以这两个向量组等价.

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