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方程的向量表示及线性组合★★★★★

## 方程的向量表示

设有一个线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\
\cdots \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m
\end{array}\right.
$$

在矩阵章节里介绍，他们可以写成矩阵的方式 [详见此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=457)，即
$$
AX=B
$$

方程除了可以用矩阵表示外，还可以用向量表示。设上面方程组的增广矩阵为

$$
{\boldsymbol{\bar{A}}}=\left(\begin{array}{ccccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} & b_1 \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} & b_2 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n} & b_m
\end{array}\right)
$$

分别用 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n ; \boldsymbol{\beta}$ 表示上述矩阵的列向量, 即
 
$$
\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{m 1}
\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{22} \\
\vdots \\
a_{m 2}
\end{array}\right), \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n=\left(\begin{array}{c}
a_{1 n} \\
a_{2 n} \\
\vdots \\
a_{m n}
\end{array}\right) ; \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_m
\end{array}\right)
$$

则上面方程组等价于下列向量形式的方程式:

$$
x_1 \boldsymbol{\alpha_1}+x_2 \boldsymbol{\alpha_2}+\cdots+x_n \boldsymbol{ \alpha_n}=\boldsymbol{\beta} ...(1)
$$

如果还原就是

$$
 x_1\left[\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{m 1}
\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{2 2} \\
\vdots \\
a_{m 2}
\end{array}\right]+\cdots+x_n\left[\begin{array}{c}
a_{1 n} \\
a_{2 n} \\
\vdots \\
a_{m n}
\end{array}\right] =\boldsymbol{\beta} ...(2)
$$

这个式子告诉我们，求解一次线性方程组的解，既可以采用“矩阵”的视角，又可以采用“向量”的视角。

如果把(2) 两边取转置，并根据转置的线性性质就可以得到

$$
 x_1\left[\begin{array}{l}
a_{11} \quad
a_{21} \quad
\dots \quad
a_{m 1}
\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{l}
a_{12} \quad
a_{2 2} \quad
\dots \quad
a_{m 2}
\end{array}\right]+\cdots+x_n\left[\begin{array}{l}
a_{1 n} \quad
a_{2 n} \quad
\dots \quad
a_{m n}
\end{array}\right] =

\left[\begin{array}{l}
b_{1} \quad
b_{2} \quad
\dots \quad
b{m}
\end{array}\right] ...(3)
$$

通过上面可以看到，向量的运算和矩阵的运算本质是相同的。

> 如果我们把$ \boldsymbol{a_1}$、 $ \boldsymbol{a_2}$ ... $ \boldsymbol{a_n}$ 当初坐标系（也就是基），那么其值$ \boldsymbol{x}= (x_1,x_2,...x_n)^T$ 就可以看成在该坐标系下的坐标值。

## 理解一个方程的三种叫法

设有一方程组

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+2 x_2-x_3 & =2, \\
x_1+4 x_2+2 x_3 & =15, \\
2 x_1+5 x_2-3 x_3 & =3 .
\end{aligned}\right.
$$

### 方程的叫法 
**方程的叫法是 $AX=B$** （方程有解，矩阵的秩和增广矩阵的秩相等）

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+2 x_2-x_3 & =2, \\
x_1+4 x_2+2 x_3 & =15, \\
2 x_1+5 x_2-3 x_3 & =3 .
\end{aligned}\right.
$$

### 矩阵的叫法
矩阵的的叫法是矩阵$A$乘以矩阵$X$ 等于矩阵 $B$
$$
\left[\begin{array}{cc} 
1 & 2 & -1  \\
1 & 2 & 4 \\
2 & 5 & -3
\end{array}
\right]

\left[\begin{array}{cc} 
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}
\right] 
=
\left[\begin{array}{cc} 
2 \\
15\\
3
\end{array}
\right]
$$

### 向量的叫法
写成向量是$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$可以线性表示向量$\beta$ (线性相关)。

$$
x_1  \left[\begin{array}{c} 
1 \\
1\\
2
\end{array}
\right] +

x_2  \left[\begin{array}{c} 
2 \\
4\\
5
\end{array}
\right] 
+
x_3  \left[\begin{array}{c} 
-1 \\
2\\
3
\end{array}
\right] 
=  \left[\begin{array}{c} 
2 \\
15\\
3
\end{array}
\right] 
$$

--- 
**向量叫法的意义** 向量的叫法具有鲜明的几何意义：用向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$  组成一个坐标系，其中有一个向量$\beta$，根据向量的平行四边形法则， 方程的解$(x_1,x_2,x_3)$ 就是向量$\beta$在 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 基坐标系的**坐标值**。

![图片](/uploads/2026-01/c920b0.jpg){width=300px}

### 及时总结

由于方程、矩阵乘法、向量表示密切相关，可以得到下面结论。

![图片](/uploads/2025-09/61ca87.jpg){width=400px}

| 行列式的值 $ \det(A) $ | 列向量的线性相关性 | 齐次方程组 $ A \mathbf{x} = \mathbf{0} $ | 矩阵的秩 |
|------------------------|-------------------|------------------------------------------|-----------------------------------------------------------------------------|
| $ \det(A) \neq 0 $    | 线性无关           | 唯一解（零解）                           | $R(A)=n$                                                                      |
| $ \det(A) = 0 $       | 线性相关           | 无穷多解（非平凡解）                     |  $R(A) < n$  |

### 说明：
- **行列式的值**：决定了矩阵 $ A $ 是否可逆。如果 $ \det(A) \neq 0 $，则 $ A $ 可逆；如果 $ \det(A) = 0 $，则 $ A $ 不可逆。
- **线性相关/无关**：如果列向量线性无关，则 $ \det(A) \neq 0 $；如果线性相关，则 $ \det(A) = 0 $。
- **齐次方程组**：总是有解（零解），但当 $ \det(A) = 0 $ 时，还有非零解（无穷多解）。
- **矩阵的值**：如果是满秩只有零解，线性无关，否则线性相关。

## 向量组及其线性组合

我们知道，在平面上的两个二维向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 和 $\boldsymbol{\beta}$ ，若存在一常数 $k$ ，使得

$$
\boldsymbol{\alpha}=k \boldsymbol{\beta},
$$

则常称向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 与 $\boldsymbol{\beta}$ 成**比例**．例如，

$$
\boldsymbol{\alpha}=\binom{-1}{3}, \boldsymbol{\beta}=\binom{-2}{6},
$$

则 $\boldsymbol{\alpha}=\frac{1}{2} \boldsymbol{\beta}$ ．
将这个概念推广到有限多个 $n$ 维向量

**定义1** 给定 $n$ 维向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ ，对于任意一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ ，表达式 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{\alpha}_n$ 称为该向量组的一个线性组合.

比如 (这里直接使用行向量转置T表示)
$$
\alpha_1=\left(\begin{array}{lll}
1 & 2 & 3
\end{array}\right)^T
$$

$$
\alpha_2=\left(\begin{array}{lll}
6 & 7 & 9
\end{array}\right)^T
$$

$$
\alpha_3=\left(\begin{array}{lll

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