最后更新: 2025-07-19 06:33 查看: 183 次反馈同步训练

集合论与向量空间

## 从集合的角度看向量
现在我们从**集合**的角度理解$n$维向量。

一个二维向量，可以看成二维平面上**箭头的集合**。
 ![图片](/uploads/2025-01/aa36c8.jpg){width=200px}
 
 一个三维向量，可以看成三维空间上**箭头的集合**。
  ![图片](/uploads/2025-01/f476bc.jpg){width=300px}

由此推广，一个$n$维向量，可以看成$n$维上形成的**箭头的集合**。

因此，我们定义一个集合：

> 集合={$x$| $x \in$ 所有箭头 }

这样，不管是一维，二维，还是三维，$n$维，所有的箭头组成得集合都在这个定义里，我们把这个集合命名为“**向量空间**”

![图片](/uploads/2025-04/xl.png)
 
## $R^n$空间
 为了把上面的定义代数化，通常使用代数式表示向量空间。
 我们先看两个重要的例子．
`例`$R ^2$ 和 $R ^3$
集合 $R ^2$（你可以将其视作一个平面）是全体有序实数对所构成的集合：

$$
R ^2=\{(x_1, x_2): x_1, x_2 \in R \} .
$$

集合 $R ^3$（你可以将其视作通常的三维空间）是全体有序实数三元组所构成的集合：

$$
R ^3=\{(x_1, x_2, x_3): x_1, x_2, x_3 \in R \} .
$$

**推广** 由二维和三维，推广到$n$维： $R ^n$ 是全体具有 $n$ 个 $R$ 中元素的组所构成的集合：

$$
R ^n=\left\{\left(x_1, \ldots, x_n\right): \text { 对于 } k=1, \ldots, n \text { 有 } x_k \in R \right\} \text {. }
$$

对于 $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in R ^n$ 和 $k \in\{1, \ldots, n\}$ ，我们称 $x_k$ 是 $\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ 的第 $k$ 个坐标．

> 如果 $n \geq 4$ ，我们就无法将 $R ^n$ 可视化为物理实体；然而，即便 $n$ 很大，我们也可以如在 $R ^2$ 或 $R ^3$ 中那样简便地在 $F ^n$ 中进行代数运算．例如， $F ^n$ 中的加法运算定义如下．

### n维子空间

让我们从一个简单的例子看起。考察 $R ^2$ 中的子集：
-  $L _1=\{(x, 0) \mid x \in R \}$ 也是一个向量空间。
-  $L _2=\{(x, x+1) \mid x \in R \}$ 不是一个向量空间。

显然并不是所有的子集都是向量空间。我们称这样的子集为**子空间**。

**从某种意义上说， $n$维向量就像是一个枝繁叶茂的大树所构成的一个庞大物理空间。** 为了方便理解，我们以3维空间为例。在3维向量空间这所大房子里又可以划分出好多居室，每个居室里的向量们也严格坚守着自己居室的同样的两项基本原则：**相加和缩放不能超出自己的居室**, 这些大大小小的居室就是子空间。
需要注意的是, 这些居室有个特点, 就是**共有一个原点**, 或者说都要包括零向量。空间和子空间的图形大致有如图 4-16所示的几种类型。
 ![图片](/uploads/2024-10/57e01b.jpg)

三维向量空间 $R ^3$ 的所有子空间包括:
①三维子空间：本身 $R ^3=\operatorname{Span}\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\} \quad\left(\alpha_1 、 \alpha_2 、 \alpha_3\right.$ 线性无关），作为自身的子空间表现为一个立体空间, 同自身一样, 也包含原点;

②二维子空间：如 $\operatorname{Span}\left\{\alpha_1, \alpha_2\right\}$ （ $\alpha_1 、 \alpha_2$ 线性无关），表现为通过原点的任意一个平面
（**特别需要注意：二维空间 $R ^2$ 不是 $R ^3$ 的子空间** ，$R^2$ 表示的是$(1,0)$和$(0,1)$张成的平面，这里二维子空间是$(1,0,0)$和$(0,1,0)$张成的平面);

③一维子空间：如 $\operatorname{Span}\left\{\alpha_1\right\}\left( \alpha _1 \neq 0 \right)$ ，表现为通过原点的任意一条直线；

零维子空间：只包含原点 0 向量，只有零空间。

考察如下集合：

$$
\begin{aligned}
V & = R ^3 \\
W & =\{(x, y, 0) \mid x, y \in R \}
\end{aligned}
$$

则 $W$ 是 $V$ 的一个子空间，原因在于：
- 对于任

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