最后更新: 2025-03-06 08:32 查看: 76 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

集合论与向量空间

## 从集合的角度看向量
现在我们从**集合**的角度理解$n$维向量。

一个二维向量，可以看成二维平面上**箭头的集合**。
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 一个三维向量，可以看成三维空间上**箭头的集合**。
  ![图片](/uploads/2025-01/f476bc.jpg){width=300px}

由此推广，一个$n$维向量，可以看成$n$维上形成的**箭头的集合**。

因此，我们定义一个集合：

> 集合={$x$| $x \in$ 所有箭头 }

这样，不管是一维，二维，还是三维，$n$维，所有的箭头组成得集合都在这个定义里，我们把这个集合命名为“**向量空间**”

## $R^n$空间
 为了把上面的定义代数化，通常使用代数式表示向量空间。
 我们先看两个重要的例子．
`例`$R ^2$ 和 $R ^3$
集合 $R ^2$（你可以将其视作一个平面）是全体有序实数对所构成的集合：

$$
R ^2=\{(x_1, x_2): x_1, x_2 \in R \} .
$$

集合 $R ^3$（你可以将其视作通常的三维空间）是全体有序实数三元组所构成的集合：

$$
R ^3=\{(x_1, x_2, x_3): x_1, x_2, x_3 \in R \} .
$$

**推广** 由二维和三维，推广到$n$维： $R ^n$ 是全体具有 $n$ 个 $R$ 中元素的组所构成的集合：

$$
R ^n=\left\{\left(x_1, \ldots, x_n\right): \text { 对于 } k=1, \ldots, n \text { 有 } x_k \in R \right\} \text {. }
$$

对于 $\left(x_1, \ldots, x_n\right) \in R ^n$ 和 $k \in\{1, \ldots, n\}$ ，我们称 $x_k$ 是 $\left(x_1, \ldots, x_n\right)$ 的第 $k$ 个坐标．

> 如果 $n \geq 4$ ，我们就无法将 $R ^n$ 可视化为物理实体；然而，即便 $n$ 很大，我们也可以如在 $R ^2$ 或 $R ^3$ 中那样简便地在 $F ^n$ 中进行代数运算．例如， $F ^n$ 中的加法运算定义如下．

### n维子空间

让我们从一个简单的例子看起。考察 $R ^2$ 中的子集：
-  $L _1=\{(x, 0) \mid x \in R \}$ 也是一个向量空间。
-  $L _2=\{(x, x+1) \mid x \in R \}$ 不是一个向量空间。

显然并不是所有的子集都是向量空间。我们称这样的子集为**子空间**。

**从某种意义上说， $n$维向量就像是一个枝繁叶茂的大树所构成的一个庞大物理空间。** 为了方便理解，我们以3维空间为例。在3维向量空间这所大房子里又可以划分出好多居室，每个居室里的向量们也严格坚守着自己居室的同样的两项基本原则：**相加和缩放不能超出自己的居室**, 这些大大小小的居室就是子空间。
需要注意的是, 这些居室有个特点, 就是**共有一个原点**, 或者说都要包括零向量。空间和子空间的图形大致有如图 4-16所示的几种类型。
 ![图片](/uploads/2024-10/57e01b.jpg)

三维向量空间 $R ^3$ 的所有子空间包括:
①三维子空间：本身 $R ^3=\operatorname{Span}\left\{\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3\right\} \quad\left(\alpha_1 、 \alpha_2 、 \alpha_3\right.$ 线性无关），作为自身的子空间表现为一个立体空间, 同自身一样, 也包含原点;

②二维子空间：如 $\operatorname{Span}\left\{\alpha_1, \alpha_2\right\}$ （ $\alpha_1 、 \alpha_2$ 线性无关），表现为通过原点的任意一个平面
（**特别需要注意：二维空间 $R ^2$ 不是 $R ^3$ 的子空间** ，$R^2$ 表示的是$(1,0)$和$(0,1)$张成的平面，这里二维子空间是$(1,0,0)$和$(0,1,0)$张成的平面);

③一维子空间：如 $\operatorname{Span}\left\{\alpha_1\right\}\left( \alpha _1 \neq 0 \right)$ ，表现为通过原点的任意一条直线；

零维子空间：只包含原点 0 向量，只有零空间。

考察如下集合：

$$
\begin{aligned}
V & = R ^3 \\
W & =\{(x, y, 0) \mid x, y \in R \}
\end{aligned}
$$

则 $W$ 是 $V$ 的一个子空间，原因在于：
- 对于任意的 $u =\left(x_1, y_1, 0\right), v =\left(x_2, y_2, 0\right) \in W , u + v =\left(x_1+x_2, y_1+y_2, 0\right) \in W$ 。
- 对于任意的 $c \in R$ 和 $u =(x, y, 0) \in W , c u =(c x, c y, 0) \in W$ 。

更详细理解，请参考 [线性空间及其子空间](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=488)

## 向量空间代数化
每一个$n$维向量，可以用$n$维坐标来表示。 比如 $\alpha=(1,2,3,4)$ 可以表示四维空间里的一个向量。

这种把向量 "代数化" 的方法有着明显的好处: 一是可以用代数的工具来研几何对象; 二是它可以推广到更一般的情形，即所谓的 $n$ 维向量。
在比如3维空间$P(a,b,c)$ 如下图，$\vec{OP}$和$(a,b,c)$有序实数对一一对应。

![图片](/uploads/2024-09/47bcaf.jpg){width=300px}

这种推广不仅是形式上的，而且它对于数学的发展及应用起着极其重要的作用。

### 向量空间的运算
在平面向量和空间向量里，我们知道，向量支持如下[向量规则](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=165)：

$$
\begin{array}{|l|l}
\hline \text { 向量加法的结合律 } & u +( v + w )=( u + v )+ w \\
\hline \text { 向量加法的交换律 } & u + v = v + u \\
\hline \text { 向量加法的单位元 } & \text { 存在一个叫做零向量的元素 } 0 \in V, \text { 使得对任意 } u \in V \text { 都满足 } u + 0 = u \\
\hline \text { 向量加法的逆元素 } & \text { 对任意 } v \in V \text { 都存在其逆元素 }- v \in V \text { 使得 } v +(- v )= 0 \\
\hline \text { 标量乘法与标量的域乘法相容 } & a(b v )=(a b) v \\
\hline \text { 标量乘法的单位元 } & \text { 域 } F \text { 存在乘法单位元 } 1 \text { 满足 } 1 v = v \\
\hline \text { 标量乘法对向量加法的分配律 } & a( u + v )=a u +a v \\
\hline \text { 标量乘法对域加法的分配律 } & (a+b) v =a v +b v \\
\hline
\end{array}
$$
上述规则可以简化为两大规则：加法规则和乘法规则，支持上述规则的运算被称为**线性运算**，也被称作**线性空间**。

## 例题
`例` 证明 $f(x)=2x$ 是线性空间
证明：要证明 $f(x)=2x$ 他是线性空间，只要证明支持加法和乘法规则即可。取任意实数$a,b$， 容知道
$f(a)=2a$
$f(b)=2b$
所以，
$f(a*b)=2a * 2b =4ab ...①$
又$f(a)*f(b)=2a*2b=4ab ...②$
由①② 得 $f(a*b)=f(a)*f(b)$ ，表明$f(x)$支持乘法运算

又 $f(a)+f(b)=2a+2b=f(a+b)$ 所以$f(x)$支持加法运算。

因此 $f(x)$ 是支持线性空间运算。

`例`证明$f(x)=x+1$不是线性空间。
证明：取$a,b$ 带入 $f(x)=x+1$
$f(a)=a+1$
$f(b)=b+1$
所以$f(a)+f(b)=a+b+2$
而$f(a+b)=a+b+1$
这说明$f(a+b) \ne f(a)+f(b)$
所以，他不是线性空间运算。

> 从初中一次函数图像可以看到$f(x)=x+1$ 之所以不支持线性运算最根本元素是图形不过原点。

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