最后更新: 2026-01-21 09:34 查看: 230 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

集合论、向量空间及其子空间★★★★★

## 从集合的角度看向量
现在我们从**集合**的角度理解$n$维向量。

一个二维向量，可以看成二维平面上**箭头的集合**。
 ![图片](/uploads/2025-01/aa36c8.jpg){width=200px}
 
 一个三维向量，可以看成三维空间上**箭头的集合**。
  ![图片](/uploads/2025-01/f476bc.jpg){width=300px}

由此推广，一个$n$维向量，可以看成$n$维空间上形成的**箭头的集合**。

因此，我们定义一个集合：

> 集合={$x$| $x \in$ 所有箭头 }

这样，不管是一维，二维，还是三维，$n$维，所有的箭头组成得集合都在这个定义里，我们把这个集合命名为**向量空间**也叫做**线性空间**

## n维向量空间的定义
**向量空间(也叫线性空间)的定义** 设 $\mathbb{K}$ 是一个数域，$V$ 是一个集合，在 $V$ 上定义了一个**加法**＂+ ＂，即对 $V$ 中任意两个元素 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ ，总存在 $V$ 中唯一的元素 $\boldsymbol{\gamma}$ 与之对应，记为 $\boldsymbol{\gamma}= \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}$ ．

在数域 $\mathbb{K}$ 与 $V$ 之间定义了一种运算，称为**数乘**，即对 $\mathbb{K}$ 中任一数 $k$ 及 $V$中任一元素 $\boldsymbol{\alpha}$ ，在 $V$ 中总有唯一的元素 $\boldsymbol{\delta}$ 与之对应，记为 $\boldsymbol{\delta}=k \boldsymbol{\alpha}$ ．

若上述加法及数乘满足下列运算**八大规则**：
（1）加法交换律： $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}$ ；
（2）加法结合律：$(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})+\boldsymbol{\gamma}=\boldsymbol{\alpha}+(\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\gamma})$ ；
（3）在 $V$ 中存在一个元素 $\mathbf{0}$ ，对于 $V$ 中任一元素 $\boldsymbol{\alpha}$ ，都有 $\boldsymbol{\alpha}+\mathbf{0}=\boldsymbol{\alpha}$ ；
（4）对于 $V$ 中每个元素 $\boldsymbol{\alpha}$ ，存在元素 $\boldsymbol{\beta}$ ，使 $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}$ ；
（5） $1 \cdot \boldsymbol{\alpha}=\boldsymbol{\alpha}$ ；
（6）$k(\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta})=k \boldsymbol{\alpha}+k \boldsymbol{\beta}$ ；
（7）$(k+l) \boldsymbol{\alpha}=k \boldsymbol{\alpha}+l \boldsymbol{\alpha}$ ；
（8）$k(l \boldsymbol{\alpha})=(k l) \boldsymbol{\alpha}$ ，

其中 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 是 $V$ 中任意的元素，$k, l$ 是 $\mathbb{K}$ 中任意的数，则集合 $V$ 称为数域 $\mathbb{K}$ 上的**线性空间**或**向量空间**。

$V$ 中的元素称为**向量**，$V$ 中适合（3）的元素 $\mathbf{0}$ 称为**零向量**．对 $V$ 中的元素 $\boldsymbol{\alpha}$ ，适合 $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\mathbf{0}$ 的元素 $\boldsymbol{\beta}$ 称为 $\boldsymbol{\alpha}$ 的**负向量**，记为 $-\boldsymbol{\alpha}$ ．

#### 1. 向量空间 $\mathbb{R}^n$

**集合 $V$**: 所有n维实列向量（或行向量）构成的集合，即
$$V = \mathbb{R}^n = \{ (x_1, x_2, ..., x_n)^T \mid x_i \in \mathbb{R} \}$$
**运算**:
*   **向量加法**: $(a_1, a_2, ..., a_n)^T + (b_1, b_2, ..., b_n)^T = (a_1+b_1, a_2+b_2, ..., a_n+b_n)^T$
*   **标量乘法**: $k \cdot (a_1, a_2, ..., a_n)^T = (k a_1, k a_2, ..., k a_n)^T$，其中 $k \in \mathbb{R}$

**证明**:

1.  **封闭性**:
    *   **加法封闭**: 设 $\mathbf{u} = (u_1,...,u_n)^T, \mathbf{v} = (v_1,...,v_n)^T \in \mathbb{R}^n$。则 $\mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1+v_1, ..., u_n+v_n)^T$。由于 $u_i+v_i \in \mathbb{R}$，所以 $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$。
    *   **数乘封闭**: 设 $k \in \mathbb{R}, \mathbf{u} = (u_1,...,u_n)^T \in \mathbb{R}^n$。则 $k\mathbf{u} = (ku_1, ..., ku_n)^T$。由于 $ku_i \in \mathbb{R}$，所以 $k\mathbf{u} \in \mathbb{R}^n$。

2.  **公理验证** (设 $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$, $c, d \in \mathbb{R}$):
    *   **(A1) 加法交换律**: $\mathbf{u} + \mathbf{v} = (u_1+v_1, ..., u_n+v_n)^T = (v_1+u_1, ..., v_n+u_n)^T = \mathbf{v} + \mathbf{u}$。成立。
    *   **(A2) 加法结合律**: $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = (u_1+v_1, ..., u_n+v_n)^T + (w_1,...,w_n)^T = ((u_1+v_1)+w_1, ..., (u_n+v_n)+w_n)^T$。由实数加法的结合律，$((u_i+v_i)+w_i) = (u_i+(v_i+w_i))$，所以等于 $\mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$。成立。
    *   **(A3) 零向量存在**: 取 $\mathbf{0} = (0, 0, ..., 0)^T$。则 $\mathbf{u} + \mathbf{0} = (u_1+0, ..., u_n+0)^T = (u_1, ..., u_n)^T = \mathbf{u}$。成立。
    *   **(A4) 负向量存在**: 对 $\mathbf{u} = (u_1,...,u_n)^T$，取 $-\mathbf{u} = (-u_1, -u_2, ..., -u_n)^T$。则 $\mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = (u_1+(-u_1), ..., u_n+(-u_n))^T = (0, ..., 0)^T = \mathbf{0}$。成立。
    *   **(M1) 数乘对向量加法的分配律**: $c(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = c(u_1+v_1, ..., u_n+v_n)^T = (c(u_1+v_1), ..., c(u_n+v_n))^T$。由实数乘法分配律，$c(u_i+v_i) = cu_i + cv_i$，所以等于 $(cu_1, ..., cu_n)^T + (cv_1, ..., cv_n)^T = c\mathbf{u} + c\mathbf{v}$。成立。
    *   **(M2) 数乘对标量加法的分配律**: $(c+d)\mathbf{u} = ((c+d)u_1, ..., (c+d)u_n)^T$。由实数乘法分配律，$(c+d)u_i = cu_i + du_i$，所以等于 $(cu_1, ..., cu_n)^T + (du_1, ..., du_n)^T = c\mathbf{u} + d\mathbf{u}$。成立。
    *   **(M3) 数乘结合律**: $c(d\mathbf{u}) = c(d u_1, ..., d u_n)^T = (c(d u_1), ..., c(d u_n))^T = ((cd)u_1, ..., (cd)u_n)^T = (cd)(\mathbf{u})$。成立。
    *   **(M4) 单位元**: $1 \cdot \mathbf{u} = (1\cdot u_1, ..., 1\cdot u_n)^T = (u_1, ..., u_n)^T = \mathbf{u}$。成立。

**结论**: $\mathbb{R}^n$ 连同其上的向量加法和标量乘法构成一个线性空间。

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#### 2. 矩阵空间 $M_{m \times n}(\mathbb{R})$

**集合 $V$**: 所有m行n列的实矩阵构成的集合，即

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