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向量的概念及运算

有了行列式和矩阵这两个话题的铺垫, 可以让线性代数的主人---向量出场了. **向量作为现代数学的基础，深深的渗透数学的各种学科**，要了解平面向量，可以参考[高中平面向量教程](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=754)
 
## 向量的基本概念与运算
下面先介绍向量的基本概念和性质(以平面为主)，然后再推广到n维。我们在物理学中已经学过速度的有关知识, 知道表征速度需要两个参数：（1）速度的大小。（2）速度的方向。
 既有大小又有方向的量我们称为**向量** （也称为矢量），与此相对，只有大小没有方向的量叫做“**标量**”。 物理中，速度，力，位移都是向量，而质量，长度，电阻都是标量。
对应向量的大小也称为向量的**模** （也可以叫向量长度）；

> 对于同一个意义的名词，数学和物理有时候会采用不同的叫法。在数学里，把向量叫做向量，但是在物理里，叫做**矢量**，虽然名称不同，但是意义一样。

下图下述了一个简单的向量$\vec{OA}$.
![](/uploads/2022-10/cc4227.svg){width=250px}

向量简单理解就是带有箭头的线段， 其中有向线段的长度表示向量的大小简称**模** , 有向线段箭头所指的方向表示向量的方向. 而且, 通常将有向线段不带箭头的端点称为向量的**始点** (或起点), 带箭头的端点称为向量的**终点**.

### 向量的表示
有向线段始点和终点的相对位置确定向量的大小与方向. 始点为 $A$ 终点为 $B$ 的有向线段表示的向量, 可以用符号简记为 $\overrightarrow{A B}$, 此时向量的模用 $|\overrightarrow{A B}|$ 表示.

除了用始点和终点的两个大写字母来表示向量外, 还可用一个小写字母来表示向量: 在印刷时, 通常用加粗的斜体小写字母如 $\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b}, \boldsymbol{c}$ 等来表示向量 ; 在书写时, 用带箭头的小写字母如 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 等来表示向量. 此时, 向量 $\boldsymbol{a}$ 的模也用 $|\boldsymbol{a}|$ 或 $|\vec{a}|$ 来表示.

### 相反向量
向量$\overrightarrow{A B}$ 与 $\overrightarrow{B A}$ 虽然长度相等, 但方向相反, 因此 $\overrightarrow{A B} \neq \overrightarrow{B A}$.
类似于相反数的定义，我们把长度相等、方向相反的向量 $a , b$ 称为相反向量,记作 $b =- a$ 。如果 $b =- a$, 则同样也有 $a =- b$.

### 零向量
始点和终点相同的向量称为**零向量**. 零向量在印刷时, 通常用加粗的阿拉伯数字零表示, 即 $\mathbf{0}$ ; 书写时, 通常用带箭头的阿拉伯数字零表示, 即 $\overrightarrow{0}$. 不难看出, 零向量的模为 0 , 即

$$
|\mathbf{0}|=0 .
$$

零向量本质上是一个点, 因此可以认为零向量的方向是不确定的. 模不为 0 的向量通常称为非零向量.

### 单位向量
我们定义：模等于 1 的向量称为**单位向量**. 这就是说, 如果 $\boldsymbol{e}$ 是单位向量, 则

$$
|e|=1 ;
$$

反之也成立. 因此, $e$ 是单位向量的充要条件是 $|e|=1$.

与非零向量 $\vec{a}$ 同方向的单位向量叫做向量 $\vec{a}$ 的单位向量, 记作 $\vec{e}$. 根据实数与向量的乘法的定义, 可知 $\vec{a}=|\vec{a}| \vec{e}$, 即

$$
\boxed{
\vec{e}=\frac{1}{|\vec{a}|} \vec{a} .
}
$$
这是一个重要的公式，在《线性代数》里，会用到

`例`三维向量 $a=(1,1,1)$ ，求其单位向量。
解：该其模长为
$D=\sqrt{1^2+1^2+1^2}=\sqrt{3}$

所以，单位化后单位向量为

$\vec{e}= (\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}},\frac{1}{\sqrt{3}})$

### 方向角与方向角余弦

通常我们使用向量和坐标轴的夹角，这个角度被称作方向角，参考下图

![img-text](/uploads/2022-12/image_202212301d2a95f.png){width=400px}

其计算方法参考 高等数学里 [方向角与方向余弦](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=353)

## 向量的相等与平行

### 向量相等
我们定义：把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 相等, 记作

$$
\boldsymbol{a}=\boldsymbol{b} .
$$

### 向量平行
如果两个非零向量的方向相同或者相反,则称这两个**向量平行**.
![](/uploads/2022-10/ee7574.jpg){width=250px}

### 零向量
因为零向量的方向不确定, 所以通常规定**零向量与任意向量平行**. 
我们约定，**所有的零向量相等**。

### 向量共线
两个向量 $\boldsymbol{a}$ 和 $\boldsymbol{b}$ 平行, 记作 $\boldsymbol{a} / / \boldsymbol{b}$. 两个向量平行也称为两个向量共线.

## 向量的加法

向量的加法最初来源于物理学中的 “速度" 或者 "力" 的合成。 如下图 $\overrightarrow{v_1}$ 和 $\overrightarrow{v_2}$ 最终合成了 $\overrightarrow{v_{合}}$ ， 即: $\overrightarrow{v_1}+\overrightarrow{v_2}=\overrightarrow{v_{合}}$ ， 这种计算方法也被叫做**平行四边形法则**。
![](/uploads/2022-10/e82ed0.jpg){width=250px}
另外一种是**三角形法则**，如下图，小明从 $A$ 点走到 $B$ 点，然后转弯走到 $C$ 点 则，小明最终走的距离是 $A C$ ，因此

$$
\overrightarrow{A B}+\overrightarrow{B C}=\overrightarrow{A C}
$$

![](/uploads/2022-10/8f0d5a.jpg){width=250px}

事实上，平行四边形法则和三角形法则并没有本质的区别，在上一节已经说过，两个向量只要大小相等，方向相同就是相同的向量，参考上图，在三角形法则里，把 $\overrightarrow{B C}$ 向左平移，让 $B$ 点和 $A$ 点重合，你就会发现三角形法则其实就是平行四边形法则。

## 向量的减法
在数学里，我们知道减去一个数其实等于加上这个数的相反数。同样，在向量里，规定与 $\boldsymbol{a}$ 大小相等，方向相反的向量，叫做 $\boldsymbol{a}$ 的相反向量，因此

$$
\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}=\boldsymbol{a}+(-\boldsymbol{b})
$$

![](/uploads/2022-10/386bed.jpg){width=250px}

**向量运算规则**
（1）加法交换律： $\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\boldsymbol{\beta}+\boldsymbol{\alpha}$ ；

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