日期: 2024-06-26 08:17 查看: 219 次编辑

向量的概念及运算

## 引子

有了行列式和矩阵这两个话题的铺垫, 可以让线性代数的主人翁---向量出场了. 在矩阵里，矩阵中的若干个行 (列)都是向量, 它们之间存在着某种联系, 这种联系说到底就是线性无关的向量个数 (独立信息的个数)的问题,也就是若干个向量组成的向量组中,其中某几个就足够代表这个向量组了,其他的向量都可以由这几个向量线性表示出来.

比如, 向量组 $[1,2,3],[6,7,9]$ 与 $[2,4,6]$, 有三个成员，可是 $[2,4,6]$ 这个向量可以由 $[1,2,3]$ 这个向量的 2 倍来表示,于是 $[2,4,6]$ 这个向量就是 “多余”的,不是独立的信息.

进一步地, 我们可以通过仔细排查, 找到在一个向量组中, 能够代表该向量组中所有成员的一组向量,比如上面这个向量组的 $[1,2,3]$ 和 $[6,7,9]$, 把它们组成的向量组叫作原向量组的极大线性无关组, 这个组就是原向量组的“代表”.

今后会发现, 这个“代表”中的向量的个数对于同一个向量组来说, 是唯一的, 事实上, “代表”中向量的个数就是独立信息的个数, 这个个数就叫作向量组的秩. 秩就是独立信息的个数, 就是 “代表”中有这几个独立信息就足够表示其他所有的信息了.

极大线性无关组是向量组的“代表”, 而矩阵就是由向量组拼成的, 所以矩阵的秩、向量组的秩都反映了“代表”中向量的个数, 本质完全相同.

读者研读完这一部分就会得出下面这个重要结论:

**我们要搞清楚向量与向量之间的关系---这种关系要么线性无关 (“独立”), 要么线性相关 (“多余”).**  在充斥着诸多抽象理论和方法的向量组问题上, 只有把握住上述重要结论, 才不会迷失方向.

## n维向量的定义

定义1
由 $n$ 个数 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 组成的有序数组称为 $n$ 维向量.若 $n$ 维向量写成 $\left(\begin{array}{l}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)$ 的形式，称为 $n$ 维列向量；若 $n$ 维向量写成 $a_1, a_2, \cdots, a_n$ 的形式，称为 $n$ 维行向量.这 $n$ 个数称为该向量的 $n$ 个分量，其中 $a_i$ 称为第 $i$ 个分量.

我们常用 $\alpha, \beta, \gamma, \ldots$ 来表示 $n$ 维列向量，而用 $\alpha^{\top}, \beta^{\top}, \gamma^{\top}, \ldots$ 来表示 $n$ 维行向量.

分量都是零的向量称为零向量，记为 0 ，即 $0=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right)$ 或 $\boldsymbol{0}=(0,0, \cdots, 0)$.
向量 $\left(\begin{array}{c}-a_1 \\ -a_2 \\ \vdots \\ -a_n\end{array}\right)$ 称为向量 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right)$ 的负向量，记为 $-\boldsymbol{\alpha}$.

#### 向量的运算
   设 $\boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n\end{array}\right), \boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_n\end{array}\right), \boldsymbol{k} \in \mathbf{R}$ ，则有

$$
\text { (1) } \boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{\beta}=\left(\begin{array}{c}
a_1+b_1 \\
a_2+b_2 \\
\vdots \\
a_n+b_n
\end{array}\right) \text {; }
$$

$$
\text { (2) } k \boldsymbol{\alpha}=\left(\begin{array}{c}
k a_1 \\
k a_2 \\
\vdots \\
k a_n
\end{array}\right) \text {; }
$$

$$
\text { (3) } \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\beta}=\left(a_1, a_2, \cdots, a_n\right)\left(\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right)=a_1 b_1+a_2 b_2+\cdots+a_n b_n
$$

$$
(4) \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{c}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{array}\right)\left(b_1, b_2, \cdots, b_n\right)=\left(\begin{array}{cccc}
a_1 b_1 & a_1 b_2 & \cdots & a_1 b_n \\
a_2 b_1 & a_2 b_2 & \cdots & a_2 b_n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_n b_1 & a_n b_2 & \cdots & a_n b_n
\end{array}\right) .
$$

例1， 设有线性方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\
\cdots \\
a_{m 1} x_1+a_{m 2} x_2+\cdots+a_{m n} x_n=b_m
\end{array}\right.
$$

将第 $i$ 个末知量 $x_i$ 的系数写成一个 $m$ 维列向量 $\boldsymbol{\alpha}_i=\left(\begin{array}{c}a_{1 i} \\ a_{2 i} \\ \vdots \\ a_{m i}\end{array}\right)(i=1,2, \cdots, n)$ ，
常数写成一个 $m$ 维列向量 $\beta=\left(\begin{array}{c}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m\end{array}\right)$ ，则该方程组也可用向量的形式来表达:

$$
x_1 \alpha_1+x_2 \alpha_2+\cdots+x_n \alpha_n=\boldsymbol{\beta}
$$

定义 2
由若干个维数相同的向量构成的集合，称为向量组.
例如，例 1 中末知量的系数构成的 $m$ 维列向量

$$
\boldsymbol{\alpha}_i=\left(\begin{array}{c}
a_{1 i} \\
a_{2 i} \\
\vdots \\
a_{m i}
\end{array}\right)(i=1,2, \cdots, n) \text { 的全体构成一个向量组. }
$$

例2 设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}\end{array}\right)$, 对矩阵 $\boldsymbol{A}$ 分块如下:

$$
\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\
a_{m 1} & a_{m 2} & \cdots & a_{m n}
\end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n\right)=\left(\begin{array}{c}
\boldsymbol{\beta}_1^{\mathrm{T}} \\
\boldsymbol{\beta}_2^{\mathrm{T}} \\
\vdots \\
\boldsymbol{\beta}_m^{\mathrm{T}}
\end{array}\right),
$$

其中 $\quad \boldsymbol{\alpha}_j=\left(\begin{array}{c}a_{1 j} \\ a_{2 j} \\ \vdots \\ a_{n j}\end{array}\right)(j=1,2, \cdots, n), \quad \boldsymbol{\beta}_i^{\mathrm{T}}=\left(a_{i 1}, a_{i 2}, \cdots, a_{i n}\right)(i=1,2, \cdots, m)$.

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