最后更新: 2026-01-22 20:39 查看: 689 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

线性相关与线性无关★★★★★

>注意：从本节开始，将进行线性代数非常抽象概念的核心地带，必须细细品读。

## 线性相关与线性无关的通俗解释
举一个简单的例子: 甲，乙，丙，丁，小周五个同学去野炊，其中甲，乙，丙，丁四人分别擅长搭帐篷，钓鱼，生火，做饭，而小周是全能，如果每个任务只能要一个人，这四人必有一人滥竽充数。

但是"这个滥竽充数的锅究竟在谁"是未知的: 可能是甲滥竽充数，因为小周可以代替甲的搭帐篷的工作，导致甲无事可做；也可能是小周滥竽充数，因为如果甲，乙，丙，丁四人各司其职，那么小周就在滥竽充数。那这个这个滥竽充数的原因是什么? 是因为某人的工作能被其他人代替。

那向量之间的线性相关是什么? 类似上面的案例，一组向量 $v_1, v_2, v_3, \ldots, v_n$ 是线性相关，是指其中存在某个向量能被其他向量取代，而代替的方法是通过线性结合的方式。具体的定义的数学形式如下：

$$
\exists v_k: v_k=c_1 s_1+c_2 v_2+\ldots+c_{k-1} v_{k-1}+c_{k+1} v_{k+1}+\ldots+c_n v_n
$$

不难看出这里是 $v_k$ 可以被其他向量 $v_1, v_2, \ldots, v_{k-1}, v_{k+1}, \ldots, v_n$ 线性结合表示。

>**线性相关 = 有“替身”** (队伍里有可以被其他人完全替代或组合出来的成员，它是多余的)。

>**线性无关 = 都是“唯一”**  (队伍里每个成员都身怀绝技，缺一不可，没人能顶替别人的位置)。

再如 **盐（提供咸味） 和 糖（提供甜味） 线性无关**。因为你无法只用盐调出甜味，也无法只用糖调出咸味。盐和糖代表了两种独立、不可互相替代的基本味觉方向（咸和甜）。

但是，**盐（提供咸味）、 糖（提供甜味） 和 酱油（咸+鲜）线性相关**。酱油的味道可以被盐（提供咸）和糖（提供甜）组合出来吗？不能完全一样（酱油还有鲜味），但酱油的咸味部分是冗余的！酱油的咸味依赖于盐的存在。更关键的是，酱油的味道 不是独立于盐和糖的，它建立在咸（和鲜）的基础上。虽然酱油有额外的鲜味，但就“咸”这个维度而言，它与盐是相关的。数学上，可以考虑“咸度”分量，盐有咸度，酱油也有咸度（且无法仅用糖表示），糖没有咸度。但盐和酱油的咸度分量是线性相关的（一个倍数关系）。组合 **酱油 - k * 盐** (k是某个系数) 会得到一个没有咸味（可能只有鲜味）的向量，这说明了它们在这个风味分量上的相关性。

通过上面解释可以看到，在“盐，酱油，糖”这三个组合里，盐是多余的，因为 酱油= $k_1 \times $ 盐+$k_2 \times$ 鲜 ，只要$k_2=0$ 那么，酱油就可以取代盐。我们称呼“盐，酱油，糖”是线性相关的，而盐和糖是线性无关的，酱油和糖也是线性无关的，但是酱油还能提供鲜味，所以，在这2组线性无关的组合里，我们应该优先选择酱油和盐这个组合，而舍去盐和糖的组合，这个被选中的组合被称作**极大线性无关组**。

## 线性相关与线性无关的定义
设有 $m$ 个 $n$ 维向量构成的向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 如果存在一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ 使得

$$
k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}
$$

则称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ **线性相关**；

若当且仅当 $k_1=k_2=\cdots=k_m=0$ 时，才有 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$, 则称向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ **线性无关**.

下面给出一些线性相关的例子:

### 两个向量线性相关:

两个向量：$\binom{1}{2}$ 和$\binom{2}{4}$

可以发现 $\binom{2}{4}=2\binom{1}{2} ，\binom{1}{2}=\frac{1}{2}\binom{2}{4} ，$ 每个向量都可以通过线性结合表示对方. 所以，这2个向量只要一个即可。

### 三个向量线性相关:

$$
\alpha_1=\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right),\alpha_2=\left(\begin{array}{l}
2 \\
0 \\
4
\end{array}\right) \text { 和 } \alpha_3=\left(\begin{array}{l}
4 \\
0 \\
8
\end{array}\right)
$$

其中 $\alpha_3$ 可以被 $\alpha_1$  和 $\alpha_2$ 通过线性结合表示,即 $\left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 8\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$ ，所以它们是线性相关。

但是这个例子出的很巧，巧在其中 $\alpha_2$  和 $\alpha_3$  本身就是线性相关的。

**那三个向量线性相关和这三个向量其中有两个向量线性相关有什么关系呢?**

如果$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 中，只要有一个线性相关，比如 $\alpha_2=k\alpha_3 ,(k \ne 0)$，那么就会有
 $0 \alpha_1+ k\alpha_3  +\alpha_2=k\alpha_3$  这说明了这三个向量线性相关，由此可以得到一个最简单的结论：**如果局部线性相关，则整体一定线性相关**。
 
不过反过来，如果三个向量线性相关，是不是意味着其中一定有 2 个向量线性相关呢？答案是：不！举个例子:  $\alpha_4=\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 7\end{array}\right)$ ，可以验证：其中任选 2 个向量都是线性无关的，但是二个放到一起，因为 $ \alpha_4=\alpha_1+alpha_2 $ 所以这三个向量是线性相关的。

用同样的思维，可以得到整体无关则局部无关。

## 理解：整体与局部的理解
我们可以通过班级理解线性相关和线性无关的核心本意，如果 **小组里有"闲人"是线性相关，全班全是"骨干"则是线性无关**

假设一个班级（整体）分成几个小组，其中A小组（局部）里有个人叫小明，小明什么都不用干(他是闲人)——因为A小组的另外两个人（小红、小刚）就能完成A小组的所有任务（相当于小明“依赖小红和小刚”，即A小组局部线性相关）。

现在看整个班级：小明还是不用干活啊！因为小红和小刚依然能替他完成他该做的部分——也就是说，整个班级里依然存在一个人（小明）“依赖其他人”，所以整个班级不可能是“每个人都必须干活才能运转”（对应线性无关）。

反过来想：如果整体线性无关（全班都是骨干，谁都不能被替代），那每个局部小组也得是线性无关的（每个小组里都是骨干）——因为如果某个局部小组已经有人能被替代（局部相关），那整体里这个人还是能被替代，整体就不可能“全骨干”了。  由此得到下面结论：

局部线性相关 → 局部里存在“依赖关系” → 这个依赖关系不会因为加入新元素就消失 → 整体里依然存在这个依赖关系 → 整体线性相关。

整体线性无关 → 班级里每个人都是骨干 → 如果任意分成小组 → 每个小组里的成员还是骨干→ 局部线性无关

简单说就是

> **局部相关则整体相关** 和 **整体无关则局部无关**

向量组整体与部分相关性结论对比表
|  结论 |  逻辑推导/关键说明  |举例|
|--------------|----------|--------|
| **正命题** | 局部相关 $\implies$ 整体相关 |  部分组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2)^T,\boldsymbol{\alpha}_2=(2,4)^T$ 相关，扩展为整体$\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3=(3,5)^T$ 仍相关 |   
| **正命题** | 整体无关 $\implies$ 局部无关 |  整体 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_2=(0,1,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_3=(0,0,1)^T$ 无关，任意部分组（如 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$）均无关 |  
| **错命题** | 局部无关 $\nRightarrow$ 整体无关 |   部分组 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_2=(0,1)^T$ 无关，整体 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2,\boldsymbol{\alpha}_3=(1,1)^T$ 相关（$\boldsymbol{\alpha}_3=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2$） | 
| **错命题** | 整体相关 $\nRightarrow$ 局部相关 |   整体 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,0)^T,\boldsymbol{\alpha}_2=(0,1)^T,\boldsymbol{\alpha}_3=(1,1)^T$ 相关，但部分组 $\boldsymbol{\alpha}_1,\boldsymbol{\alpha}_2$ 无关 |

那么理解了线性相关的定义，我们来验证一组向量是否是线性相关:

`例` $\alpha_1= \left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right),\alpha_2=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 和 $\alpha_3=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ 是线性相关吗?

解：首先我们要判断: $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ 是否能通过 $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ 的线性结合表示，也就是假设 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)=t_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+t_2\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$, 那么我们可以得到: $t_1+2 t_2=2, t_1+2 t_2=0$, $t_1+2 t_2=4$ ，显然这个方程组是无解的，但是这并不能说明这三个向量就不是线性相关，我们还需要判断判断 $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 是否能通过 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ 的线性结合表示, 可以发现 $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ ，所以三个向量是线性相关的。

虽然找到了结果，但是这种方法操作性非常差，原因是需要一个个向量逐一验证是否能被其他向量线性结合表示。如果我们有 $n$ 个向量，想证明它们不是线性相关的，那意味着我们需要用上述的方法逐一证明它不能被其他向量通过线性结合表示，这种证明要进行 $n$ 次。所以如果采用这个定义去说明线性相关，虽然解释性强，但是操作性低。

那有没有操作性很强的证明线性相关的方法，可以参照下面这个定义:

## 判断线性相关的推论

> **只要存在一个不为 0 的数$t_i$ 使得 $t_1 v_1+t_2 v_2+\ldots+t_n v_n=0$ 则线性相关。
如果存在

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