最后更新: 2025-03-06 09:23 查看: 520 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

线性相关与线性无关

>注意：从本节开始，将进行线性代数非常抽象概念的核心地带，必须细细品读。

## 线性相关与线性无关的通俗解释
举一个简单的例子: 甲，乙，丙，丁，小周五个同学去野炊，其中甲，乙，丙，丁四人分别擅长搭帐篷，钓鱼，生火，做饭，而小周是全能，如果每个任务只能要一个人，这四人必有一人滥竽充数。

但是"这个滥竽充数的锅究竟在谁"是未知的: 可能是甲滥竽充数，因为小周可以代替甲的搭帐篷的工作，导致甲无事可做；也可能是小周滥竽充数，因为如果甲，乙，丙，丁四人各司其职，那么小周就在滥竽充数。那这个这个滥竽充数的原因是什么? 是因为某人的工作能被其他人代替。

那向量之间的线性相关是什么? 类似上面的案例，一组向量 $v_1, v_2, v_3, \ldots, v_n$ 是线性相关，是指其中存在某个向量能被其他向量取代，而代替的方法是通过线性结合的方式。具体的定义的数学形式如下：

$$
\exists v_k: v_k=c_1 s_1+c_2 v_2+\ldots+c_{k-1} v_{k-1}+c_{k+1} v_{k+1}+\ldots+c_n v_n
$$

不难看出这里是 $v_k$ 可以被其他向量 $v_1, v_2, \ldots, v_{k-1}, v_{k+1}, \ldots, v_n$ 线性结合表示。

## 线性相关与线性无关的定义
设有 $m$ 个 $n$ 维向量构成的向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 如果存在一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ 使得

$$
k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}
$$

则称向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关；若当且仅当 $k_1=k_2=\cdots=k_m=0$ 时，才有 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$, 则称向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性无关.

下面给出一些线性相关的例子:

#### 两个向量线性相关:

两个向量：$\binom{1}{2}$ 和$\binom{2}{4}$

可以发现 $\binom{2}{4}=2\binom{1}{2} ，\binom{1}{2}=\frac{1}{2}\binom{2}{4} ，$ 每个向量都可以通过线性结合表示对方. 所以，这2个向量只要一个即可。

#### 三个向量线性相关:

$$
\left(\begin{array}{l}
1 \\
2 \\
3
\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}
2 \\
0 \\
4
\end{array}\right) \text { 和 }\left(\begin{array}{l}
4 \\
0 \\
8
\end{array}\right)
$$

其中 $\left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 8\end{array}\right)$ 可以被 $\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ 通过线性结合表示: $\left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 8\end{array}\right)=2\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$ ，所以它们是线性相关。

但是这个例子出的很巧，巧在其中 $\left(\begin{array}{l}4 \\ 0 \\ 8\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ 本身就是线性相关的。
那三个向量线性相关和这三个向量其中有两个向量线性相关有什么关系呢?

首先，如果三个向量 $v_1, v_2, v_3$ 中有两个向量（比如 $v_1, v_2$ ）线性相关，这意味着 $v_1=k v_2$ 或者 $v_2=k v_1$ ，那么易得 $v_1=k v_2+0 v_3$ 或者 $v_2=k v_1+0 v_3$ ，这说明了这三个向量线性相关。

不过反过来，如果三个向量线性相关，是不是意味着其中一定有 2 个向量线性相关呢？答案是：不！举个例子: $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right) ，\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 7\end{array}\right)$ ，可以验证：其中任选 2 个向量都是线性无关的，但是二个放到一起，因为 $\cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 2 \\ 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ ，这三个向量是线性相关的。

那么理解了线性相关的定义，我们来验证一组向量是否是线性相关:

`例`$:\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ 是线性相关吗?
首先我们要判断: $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ 是否能通过 $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ 的线性结合表示，也就是假设 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)=t_1\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)+t_2\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$, 那么我们可以得到: $t_1+2 t_2=2, t_1+2 t_2=0$, $t_1+2 t_2=4$ ，显然这个方程组是无解的，但是这并不能说明这三个向量就不是线性相关，我们还需要判断判断 $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 是否能通过 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ 的线性结合表示, 可以发现 $\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)+0\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right)$ ，所以三个向量是线性相关的。

虽然找到了结果，但是这种方法操作性非常差，原因是需要一个个向量逐一验证是否能被其他向量线性结合表示。如果我们有 $n$ 个向量，想证明它们不是线性相关的，那意味着我们需要用上述的方法逐一证明它不能被其他向量通过线性结合表示，这种证明要进行 $n$ 次。所以如果采用这个定义去说明线性相关，虽然解释性强，但是操作性低。

那有没有操作性很强的证明线性相关的方法，可以参照下面这个定义:

#### 线性相关推论
如果存在一组不全为 0 的数 $t_1, t_2, \ldots, t_n$ 使得 $t_1 v_1+t_2 v_2+\ldots+t_n \varsigma_n=0$ 则线性相关。

我们对比两个线性相关的定义：
在第一个定义，我们有 $n-1$ 个系数，可以全部为 0 ；
在第二个定义，我们有 $n$ 个系数，不能全部为 0 ；

第二个定义看上去比较难理解，但是我们能证明它与第一个定义的等价性：
虽然这个新的定义看上去没有任何的解释性，但是操作性很强，比如对于上面同样的例子，如果用新的定义去处理，会简便不少，我们接下里会用之前的例子去证明这一点：

>这有点类似反证法，命题的逆否命题和原命题等价[详细](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=97)。

`例` 同上例 : $\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 和 $\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)$ 是线性相关吗?
首先我们可以假设三个实数 $t_1, t_2, t_3$ 使得

$$
t_1\left(\begin{array}{l}
2 \\
0 \\
4
\end{array}\right)+t_2\left(\begin{array}{l}
1 \\
1 \\
1
\end{array}\right)+t_3\left(\begin{array}{l}
2 \\
2 \\
2
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
0 \\
0 \\
0
\end{array}\right) \Rightarrow\left\{\begin{array}{l}
2 t_1+t_2+2 t_3=0 \\
t_2+2 t_3=0 \\
4 t_1+t_2+2 t_3=0
\end{array}\right.
$$

最后我们可以发现一组不全为零的 $t_1=0, t_2=-2, t_3=1$ 满足上式，所以它们线性相关。
用这种方法我们一次计算就能解决，不用像依据之前的定义那样一个个验证。
而线性无关就是线性相关的反义词，也就是在线性相关的定义的"存在"前面加一个"不"即可。

`例`对于向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}3 \\ 5 \\ 7\end{array}\right)$ ，存在一组不全为零的数 $2,-1,0$ 使得 $2 \boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2+0 \boldsymbol{\alpha}_3=2\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)-\left(\begin{array}{l}2 \\ 2 \\ 2\end{array}\right)+0 \cdot\left(\begin{array}{l}3 \\ 5 \\ 7\end{array}\right)=\mathbf{0}$,

所以向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关.

**标准正交向量组**
对于向量组 $\boldsymbol{e}_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right), \boldsymbol{e}_2=\left(\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0\end{array}\right), \cdots, \boldsymbol{e}_n=\left(\begin{array}{c}0 \\ 0 \\ \vdots \\ 1\end{array}\right)$ 对任意一组数 $k_1, k_2, \cdots, k_n$, 有

$$
k_1 \boldsymbol{e}_1+k_2 \boldsymbol{e}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{e}_n=k_1\left(\begin{array}{c}
1 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)+k_2\left(\begin{array}{c}
0 \\
1 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)+\cdots+k_n\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
1
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}
k_1 \\
k_2 \\
\vdots \\
k_n
\end{array}\right) .
$$
显然，当且仅当 $k_1=k_2=\cdots=k_n=0$ 时，才有 $k_1 \boldsymbol{e}_1+k_2 \boldsymbol{e}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{e}_n=\boldsymbol{0}$所以向量组 $\boldsymbol{e}_1, \boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_n$ 线性无关.

特别地，
(1) 当向量组只含有一个向量 $\boldsymbol{\alpha}$ 时，若 $\boldsymbol{\alpha} \neq \boldsymbol{0}$ ，则只有 $k=0$ 时才有 $k \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ 所以 $\boldsymbol{\alpha}$ 线性无关；
(2)  若 $\alpha=\mathbf{0}$ ，则对任意非零常数 $k$ ，都有 $k \boldsymbol{\alpha}=\mathbf{0}$ ，所以 $\boldsymbol{\alpha}$ 线性相关.

`例` 证明: 任一含有零向量的向量组必定线性相关.
证明
设向量组 $A: \mathbf{0}, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots \boldsymbol{\alpha}_m$ 是任一含有零向量的 $n$ 维向量组，于是对任意非零常 数 $k$ ，都有

$$
k \mathbf{0}+0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_1+0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}
$$

所以向量组 $A: \mathbf{0}, \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots \boldsymbol{\alpha}_m$ 线性相关.

`例`设有向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_2=\left(\begin{array}{c}2 \\ 1 \\ -1\end{array}\right), \boldsymbol{\alpha}_3=\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 2\end{array}\right)$, 判断向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 的线性相关性.
按照向量组线性相关和线性无关的定义，我们只需验证使得等式 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+k_3 \boldsymbol{\alpha}_3=\mathbf{0}$ 成立的一组数 $k_1, k_2, k_3$ 是不全为零还是全为零. 将等式 $k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+k_3 \boldsymbol{\alpha}_3=\mathbf{0}$ 改写为:

$$
\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3\right)\left(\begin{array}{l}
k_1 \\
k_2 \\
k_3
\end{array}\right)=\mathbf{0} \text {, 即 }\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
1 & -1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
k_1 \\
k_2 \\
k_3
\end{array}\right)=\mathbf{0}
$$

于是，问题转化为齐次线性方程组

$$
\left(\begin{array}{ccc}
1 & 2 & 1 \\
2 & 1 & 3 \\
1 & -1 & 2
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=\mathbf{0}
$$

是有非零解, 还是只有零解. 如果只有零解，则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，
若有非零解，则 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性相关.
由于 $\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 1 & -1 & 2\end{array}\right|=\left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 2 & 1 & 3\end{array}\right|=0$, 方程组有非零解，所以 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性相关.

`例`已知向量组 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 线性无关， $\beta_1=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$ ，试证明:
向量组 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 也线性无关.
证明
设 $k_1 \boldsymbol{\beta}_1+k_2 \boldsymbol{\beta}_2+k_3 \boldsymbol{\beta}_3=0$ 将 $\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\alpha}_2+\boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\beta}_3=\boldsymbol{\alpha}_3+\boldsymbol{\alpha}_1$ 代入并整理得:

$$
\left(k_1+k_3\right) \boldsymbol{\alpha}_1+\left(k_1+k_2\right) \boldsymbol{\alpha}_2+\left(k_2+k_3\right) \boldsymbol{\alpha}_3=\mathbf{0}
$$

所以只有零解 $k_1=k_2=k_3=0$ 因此 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 也线性无关.

## 定理2
$m$ 个 $n$ 维向量构成的向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m$ 线性相关的充分必要条件是齐次线性方程组

$$
k_1 \alpha_1+k_2 \alpha_2+\cdots+k_m \alpha_m=\mathbf{0}
$$

有非零解； 线性无关的充分必要条件是上述齐次线性方程组只有零解

$$
k_1=k_2=\cdots=k_m=0
$$

已知齐次线性方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_1 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_1 \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$ ，将系数矩阵 $A=\left(\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right)$ 实施初等行 变换化为矩阵 $B=\left(\beta_1 \beta_2, \cdots, \beta_n\right)$ ，则齐次线性方程组 $x_1 \beta_1+x_2 \beta_2+\cdots+x_n \beta_m=0$ 与齐次线性方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_1 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_1 \boldsymbol{\alpha}_m=0$ 是同解线性方程组，从而向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 与向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m$ 具有相同的线性相关性.

## 定理3
向量组 $\alpha_1, \alpha_2 ..., \alpha_m(m \geq 2)$ 线性相关的充分必要条件是存在某一个向量 $\alpha_j(1 \leq j \leq m)$ 可由其余向量线性表示.
证明 
①充分性：若存在某一个向量 $\alpha_j(1 \leq j \leq m)$ 可由其余向量线性表示， 即存在一组数 $k_1, \mathrm{~L}, k_{j-1}, k_{j+1}, \mathrm{~L}, k_m$ ，使得

$$
\boldsymbol{\alpha}_j=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\mathrm{L}+k_{j-1} \boldsymbol{\alpha}_{j-1}+k_{j+1} \boldsymbol{\alpha}_{j+1}+\mathrm{L}+k_m \boldsymbol{\alpha}_m,
$$

移项得: $\quad k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+\mathrm{L}+k_{j-1} \boldsymbol{\alpha}_{j-1}+\boldsymbol{\alpha}_j+k_{j+1} \boldsymbol{\alpha}_{j+1}+\mathrm{L}+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$,
显然这组数 $k_1, \mathrm{~L}, k_{j-1}, 1, k_{j+1}, \mathrm{~L}, k_m$ 不全为零，所以向量组 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \mathrm{~L}, \boldsymbol{\alpha}_m(m \geq 2)$ 线性相关.

②必要性：
如果向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_m(m \geq 2)$ 线性相关，则存在一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_m$ ，使得

$$
k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+k_m \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0} .
$$

在 $k_1, k_2, \cdots, k_n$ 中不妨设 $k_j \neq 0$ ，则对上式移项得

$$
k_j \alpha_j=k_1 \alpha_1+\cdots+k_{j-1} \alpha_{j-1}+k_{j+1} \alpha_{j+1}+\cdots+k_m \alpha_m,
$$

从而有:

$$
\boldsymbol{\alpha}_j=\frac{k_1}{k_j} \boldsymbol{\alpha}_1+\cdots+\frac{k_{j-1}}{k_j} \boldsymbol{\alpha}_{j-1}+\frac{k_{j+1}}{k_j} \alpha_{j+1}+\cdots+\frac{k_m}{k_j} \boldsymbol{\alpha}_m,
$$

即 $\alpha_j$ 可由其余向量线性表示.

### 推论1
两个向量 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性相关的充分必要条件是它们的分量对应成比例.
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3\end{array}\right) ， \alpha_2=\left(\begin{array}{l}3 \\ 6 \\ 9\end{array}\right), \quad \alpha_3=\left(\begin{array}{l}3 \\ 4 \\ 7\end{array}\right)$ ，则 $\alpha_2=3 \alpha_1$ ，因此 $\alpha_1, \boldsymbol{\alpha}_2$ 线性相关.
而 $\alpha_3$ 与 $\alpha_1$ 的分量不对应成比例， $\alpha_3$ 与 $\alpha_2$ 的分量也不对应成比例，
从而 $\alpha_1, \alpha_3$ 线性无关， $\alpha_2, \alpha_3$ 也线性无.

给定一个向量组后，从这个向量组中抽取一部分向量构成一个新的向量组，这个新的向量组称为原向量组的部分组.
设有 $n$ 维向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 不妨设其部分组记为 $B: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_r(1 \leq r<m)$.

### 推论2
若部分组 $B$ 线性相关，则向量组 $A$ 也线性相关.
证明 若部分组 $B$ 线性相关，则存在一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_r$ ，使得

$$
k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots k_r \boldsymbol{\alpha}_r=\mathbf{0} .
$$

于是有 $\quad k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots k_r \boldsymbol{\alpha}_r+0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_{r+1}+0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_{r+2}+\cdots+0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_m=\mathbf{0}$,
显然， $k_1, k_2, \cdots, k_r, 0, \cdots, 0$ 也是一组不全为零的数，因此向量组 $A$ 也线性相关.

推论2 可以说成：**部分相关，则整体相关**.

### 推论3
推论3 若向量组 $A$ 线性无关，则其部分组 $B$ 也线性无关.
证明 反证法:
若部分组 $B$ 线性相关，则向量组 $A$ 线性相关，与已知条件矛盾. 所以部分组 $B$ 也线性无关. 推论 3 也可说成：**整体无关，则部分必无关**.

### 推论4 
设 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 是 $m$ 个 $n$ 维向量组成的向量组，当 $n<m$ 时该向量组一定线性相关.特别 地， $n+1$ 个 $n$ 维向量一定线性相关.
证明
记矩阵 $A=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right)$ ，当 $n<m$ 时，齐次线性方程组 $A X=0$ 中方程的个数小于末知量的个数， 因此一定有非零解， 所以向量组 $A$ 线性相关.

**记忆技巧：** 背景：新冠疫情具有极强的传染性，当发现有人感染新冠，为了防止疫情扩展， 会扩大封闭范围。
学校可以看成一个集合，而班级可以看成学校的一个子集。考虑现实情况是：如果发现学校里有人感觉新冠病毒，那么就会封校（自然班级也会封），同样的，如果班级被封，那么学校也会被封（防止疫情扩散）

（1）向量组线线性相关的充分必要条件条件是一个向量可由其余向量线性表示。
>学校被封的充分必要条件是发现有一个人感染了新冠。

（2）若部分组B线性相关，则整体向量组B也线性相关.
> 若班级被封，则全校也必须封（防止疫情扩散，封闭圈会默认扩大）。

（3）若向量组A线性无关，则其部分组B也线性无关.
>如学校没被封，则其班级也不被封

`例`已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，向量组 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关，证明: 向量 $\alpha_4$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示.
证明：因为向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关，于是部分组 $\alpha_2, \alpha_3$ 也线性无关. 而向量组 $\alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 线性相关， 于是向量 $\alpha_4$ 可由向量组 $\alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，即存在一组数 $k_2, k_3$ ，使

$$
\alpha_4=k_2 \alpha_2+k_3 \alpha_3,
$$

从而有

$$
\boldsymbol{\alpha}_4=0 \cdot \boldsymbol{\alpha}_1+k_2 \boldsymbol{\alpha}_2+k_3 \boldsymbol{\alpha}_3,
$$

即: 向量 $\alpha_4$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示.

## 定理4
设有两个 $n$ 维向量组 $A: \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s ; B: \boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t$, 如果向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 可由向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_i$ 线性表示，并且 $s>t$ ， 则向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关.
证明
要证明 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 线性相关，只需证明方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_s \boldsymbol{\alpha}_s=\mathbf{0}$ 有非零解即可. 因为向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 可由向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_t$ 线性表示， 所以存在一个矩阵 $K_{t \times s}$ ，使得

$$
\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right) \boldsymbol{K}_{t \times s} .
$$

于是方程组 $x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_s \boldsymbol{\alpha}_s=\mathbf{0}$ 等价于

$$
x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_s \boldsymbol{\alpha}_s=\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)\left(\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_s
\end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right) \boldsymbol{K}_{t s}\left(\begin{array}{c}
x_t \\
x_2 \\
\vdots \\
x_s
\end{array}\right)=\mathbf{0} .
$$

齐次线性方程组 $\boldsymbol{K}_{t \times s}\left(\begin{array}{c}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_s\end{array}\right)=\mathbf{0}$ 中方程的个数小于末知量的个数 $S$ ，从而必有非零解， 即一定存在一组不全为零的数 $k_1, k_2, \cdots, k_s$ ，使得 $\boldsymbol{K}_{t \times s}\left(\begin{array}{c}k_1 \\ k_2 \\ \vdots \\ k_s\end{array}\right)=\mathbf{0}$. 因此

$$
\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s\right)\left(\begin{array}{c}
k_1 \\
k_2 \\
\vdots \\
k_s
\end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right) \boldsymbol{K}_{t \times s}\left(\begin{array}{c}
k_1 \\
k_2 \\
\vdots \\
k_s
\end{array}\right)=\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_t\right)\left(\begin{array}{c}
0 \\
0 \\
\vdots \\
0
\end{array}\right)=\mathbf{0} .
$$

即方程组
$$
 x_1 \boldsymbol{\alpha}_1+x_2 \boldsymbol{\alpha}_2+\cdots+x_s \boldsymbol{\alpha}_s=\mathbf{0} \text { 有非零解 } k_1, k_2, \cdots, k_s \text { ，从而 } \boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s
$$
线性相关.

### 推理5
如果向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 可由向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_i$ 线性表示，并且向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_s$ 线性无关，则 $s \leq t$.

### 推论6
如果向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_t$ 与向量组 $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_i$ 均线性无关，并且这两个向量组等价 则 $s=t$.

本节的内容比较抽象，点击 [线性相关的几何意义](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=480)进一步理解线性相关与线性无关。

## 疑难解答
问 **线性相关与线性表示这两个概念有什么区别和联系？**
答 向量组 $A: a_1, a_2, \cdots, a_m$ 线性相关的方程语言是齐次线性方程组 $\left(a_1, a_2, \cdots\right.$ ， $\left.a_m\right) x=0$ 有非零解，向量 $b$ 能由 $A$ 线性表示的方程语言是非齐次线性方程组 $\left(a_1, a_2, \cdots\right.$ ， $\left.a_m\right) x=b$ 有解．齐次方程 $A x=0$ 是否有非零解与非齐次方程 $A x=b$ 是否有解，显然是两个不同的问题，由此可知线性相关与线性表示这两个概念的区别．

另一方面， 向量组 $A$ 线性相关的充要条件是 $A$ 中至少有一个向量能由其余向量线性表示．这个充要条件就把线性相关与线性表示这两个概念联系了起来，我们常把这个充要条件作为向量组线性相关性的等价定义。向量组 $A$ 中至少有一个向量能由其余向量线性表示，也就是 $A$ 的向量之间至少有一个线性关系式，这就是向量组 $A$ 线性相关的涵义。

按此等价定义，向量组 $A$ 线性无关的充要条件是 $A$ 中任意一个向量均不能由其余向量线性表示．形象地说，即＂谁也表示不了谁＂，这种＂独立＂性正是向量组 $A$ 线性无关（ linearly independent，也有人称之为线性独立）所包含的意义．

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