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古典模型2：“放”模型

> 古典概率里，常见两个模型：取模型和放模型。这是两个最经典也最实用的概率模型。

## “放”模型

在古典概率中，**放球模型**是一类经典的概率问题载体，核心是研究将 $n$个球放入 $N$个盒子的不同情形下，特定事件发生的概率。
这类问题的关键在于明确 **球是否可区分**、**盒子是否可区分**、**盒子是否允许空** 这三个前提条件，不同前提对应不同的样本空间总数。

**核心前提与样本空间**
我们先定义两个核心要素：
- 球：分为 **可区分**（如编号 1~n 的球）和 **不可区分**（如完全相同的球）
- 盒子：分为 **可区分**（如编号 1~N 的盒子）和 **不可区分**（如无差别的盒子）
- 规则：**允许空盒** 或 **不允许空盒**

古典概率的核心公式为：
$$
P(A)=\frac{\text{事件}A\text{包含的基本事件数}}{\text{样本空间的基本事件总数}}
$$

求放到盒子里，求可能有编号也可能没编号，可能放多个也可能空盒，所有整体还是很复杂的。
 ![图片](/uploads/2025-12/528a1f.jpg){width=400px}

下面我们重点讲解**可区分球 + 可区分盒子**的两种核心情形（最常考）。

## 情形1：可区分球，可区分盒子，允许空盒
这是最基础的放球模型。

**样本空间总数**：1个球放到N个盒子里有N种方法，那么n个球放到$N$个盒子里，就有总数为

$$
\Omega = N^n
$$
  
**本质**：这是**有放回抽样**的等价模型（每个球选择盒子的过程独立）。

`例`将 2 个不同的球放入 3 个不同的盒子，求每个盒子至多放 1 个球的概率。

解：每个球不同，每个盒子也不同，所有每个球可以独立地放入任意一个盒子，且球是不同的，

球 A 有 3 种选择（盒 1、盒 2、盒 3）。
球 B 也有 3 种选择（盒 1、盒 2、盒 3）。

所以：
$$
\text{总放法数} = 3 \times 3 = 9
$$

（这是允许一个盒子放多个球的情况）
 
计算满足条件的放法数 
条件：每个盒子至多 1 个球 → 两个球必须放在不同的盒子里。

方法一：排列思路  
先选两个不同的盒子放这两个球：从 3 个盒子中选 2 个盒子，有 $\binom{3}{2} = 3$ 种选法。
把两个不同的球分配到这两个盒子里，有 $2! = 2$ 种分配方式（A 在盒 X、B 在盒 Y，或 A 在盒 Y、B 在盒 X）。

所以：
$$
\text{满足条件的放法数} = \binom{3}{2} \times 2! = 3 \times 2 = 6
$$

方法二：直接枚举  
球 A 有 3 种选择，球 B 不能与球 A 同盒，所以球 B 只有 2 种选择：  
$$
3 \times 2 = 6
$$

计算概率 
$$
P = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}
$$

`例`将 3 个不同的球放入 2 个不同的盒子，求至少有一个盒子为空的概率。

解：1. 理解题意
- 有 **3 个不同的球**（例如球 A、B、C）。
- 有 **2 个不同的盒子**（例如盒 1、盒 2）。

其他版本
【高中数学】古典概率

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