最后更新: 2025-03-16 20:37 查看: 80 次反馈刷题

古典模型1：不放回抽样

> 组合里，组合记法有苏联式记法和美国式记法。苏式记法是 $C_n^m$  而美式记法 $\left(\begin{array}{l}n \\ m\end{array}\right)$, 国内教程多采用苏式记法，而数学竞赛等常采用美式计发。

## 不放回抽样
一批产品共有 $N$ 件, 其中 $M$ 件是不合格品, $N-M$ 件是合格品. 从中随机取出 $n$ 件 $(n \leqslant N)$, 试求事件 $A_m=$ "取出的 $n$ 件产品中有 $m$ 件不合格品"的概率 $(m \leqslant M, n-m \leqslant N-M)$ 。

解 先计算样本空间 $\Omega$ 中样本点的总数: 从 $N$ 件产品中任取 $n$ 件, 因为不讲次序,所以样本点的总数为 $\binom{N}{n}$. 又因为是随机抽取的, 所以这 $\binom{N}{n}$ 个样本点是等可能的.

下面我们先计算事件 $A_0, A_1$ 的概率, 然后再计算 $A_m$ 的概率.
因为事件 $A_0=$ "取出的 $n$ 件产品中有 0 件不合格品" = "取出的 $n$ 件产品全是合格品", 这意味着取出的 $n$ 件产品全是从 $N-M$ 件合格品中抽取, 所以有 $\binom{N-M}{n}$ 种取法, 故 $A_0$ 的概率为

$$
P\left(A_0\right)=\frac{\binom{N-M}{n}}{\binom{N}{n}}
$$

事件 $A_1=$ "取出的 $n$ 件产品中有 1 件不合格品", 要使取出的 $n$ 件产品中只有 1 件不合格品，其他 $n-1$ 件是合格品，那么必须分两步进行：

第一步: 从 $M$ 件不合格品中随机取出 1 件, 共有 $\binom{M}{1}$ 种取法.
第二步: 从 $N-M$ 件合格品中随机取出 $n-1$ 件, 共有 $\binom{N-M}{n-1}$ 种取法.

所以根据乘法原理, $A_1$ 中共有 $\binom{M}{1}\binom{N-M}{n-1}$ 个样本点. 故 $A_1$ 的概率为

$$
P\left(A_1\right)=\frac{\binom{M}{1}\binom{N-M}{n-1}}{\binom{N}{n}}
$$

有了以上对 $A_0$ 和 $A_1$ 的分析，我们就容易计算一般事件 $A_m$ 中含有的样本点个数：要使 $A_m$ 发生, 必须从 $M$ 件不合格品中抽 $m$ 件, 再从 $N-M$ 件合格品中抽 $n-m$ 件, 根据乘法原理, $A_m$ 含有 $\binom{M}{m}\binom{N-M}{n-m}$ 个样本点, 由此得 $A_m$ 的概率为

$$
P\left(A_m\right)=\frac{\binom{M}{m}\binom{N-M}{n-m}}{\binom{N}{n}}, \quad m=0,1,2, \cdots, r, \quad r=\min \{n, M\}
$$

注意, 在此应有 $m \leqslant n, m \leqslant M$, 所以 $m \leqslant \min \{n, M\}$, 否则其概率为 0 .
如果取 $N=9, M=3, n=4$, 则有

$$
\begin{aligned}
& P\left(A_0\right)=\frac{\binom{6}{4}}{\binom{9}{4}}=\frac{15}{126}=\frac{5}{42}, \\
& P\left(A_1\right)=\frac{\binom{6}{3}\binom{3}{1}}{\binom{9}{4}}=\frac{60}{126}=\frac{20}{42}, \\
& P\left(A_2\right)=\frac{\binom{6}{2}\binom{3}{2}}{\binom{9}{4}}=\frac{45}{126}=\frac{15}{42}, \\
& P\left(A_3\right)=\frac{\binom{6}{1}\binom{3}{3}}{\binom{9}{4}}=\frac{6}{126}=\frac{2}{42} .
\end{aligned}
$$

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