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古典模型3：彩票中奖概率

## 彩票中奖概率
一种福利彩票称为幸运 35 选 7 , 即购买时从 $01,02, \cdots, 35$中任选 7 个号码, 开奖时从 $01,02, \cdots, 35$ 中不重复地选出 7 个基本号码和一个特殊号码.中各等奖的规则如下:
$$
\begin{array} 
\hline 中奖级别 & { 中 奖 规 则 } \\
\hline 一等奖 & 7 个基本号码全中 \\
二等奖 & 中 6 个基本号码及特殊号码 \\
三等奖 & 中 6 个基本号码 \\
四等奖 & 中 5 个基本号码及特殊号码 \\
五等奖 & 中 5 个基本号码 \\
六等奖 & 中 4 个基本号码及特殊号码 \\
七等奖 & 中 4 个基本号码,或中 3 个基本号码及特殊号码 \\
\hline
\end{array}
$$

试求各等奖的中奖概率.

解 因为不重复地选号码是一种不放回抽样，所以样本空间 $\Omega$ 含有 $\binom{35}{7}$ 个样本点.要中奖应把抽取看成是在三种类型中抽取：

第一类号码：7 个基本号码。
第二类号码： 1 个特殊号码。
第三类号码： 27 个无用号码。
注意到例1.2.3 中是在两类元素（合格品和不合格品）中抽取，如今在三类号码中抽取, 若记 $p_i$ 为中第 $i$ 等奖的概率 $(i=1,2, \cdots, 7)$, 仿照例 1.2 .3 的方法, 可得各等奖的中奖概率如下:

$$
\begin{aligned}
& p_1=\frac{\binom{7}{7}\binom{1}{0}\binom{27}{0}}{\binom{35}{7}}=\frac{1}{6724520}=0.149 \times 10^{-6}, \\
& p_2=\frac{\binom{7}{6}\binom{1}{1}\binom{27}{0}}{\binom{35}{7}}=\frac{7}{6724520}=1.04 \times 10^{-6}, \\
& p_3=\frac{\binom{7}{6}\binom{1}{0}\binom{27}{1}}{\binom{35}{7}}=\frac{189}{6724520}=28.106 \times 10^{-6},
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& p_4=\frac{\binom{7}{5}\binom{1}{1}\binom{27}{1}}{\binom{35}{7}}=\frac{567}{6724520}=84.318 \times 10^{-6}, \\
& p_5=\frac{\binom{7}{5}\binom{1}{0}\binom{27}{2}}{\binom{35}{7}}=\frac{7371}{6724520}=1.096 \times 10^{-3},
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& p_6=\frac{\binom{7}{4}\binom{1}{1}\binom{27}{2}}{\binom{35}{7}}=\frac{12285}{6724520}=1.827 \times 10^{-3}, \\
& p_7=\frac{\binom{7}{4}\binom{1}{0}\binom{27}{3}+\binom{7}{3}\binom{1}{1}\binom{27}{3}}{\binom{35}{7}}=\frac{204750}{6724520}=30.448 \times 10^{-3} .
\end{aligned}
$$

若记 $A$ 为事件 "中奖", 则 $\bar{A}$ 为事件 "不中奖", 且由 $P(A)+P(\bar{A})=P(\Omega)=1$ 可得

$$
\begin{aligned}
P(\text { 中奖 }) & =P(A)=p_1+p_2+p_3+p_4+p_5+p_6+p_7 \\
& =\frac{225170}{6724520}=0.033485, \\
P(\text { 不中奖 }) & =P(\bar{A})=1-P(A)=0.966515 .
\end{aligned}
$$

这就说明：一百个人中约有 3 人中奖，而中头奖的概率只有 $0.149 \times 10^{-6}$ ，即两千万个人中约有 3 人中头奖. 因此购买彩票要有平常心,期望值不宜过高.

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