最后更新: 2025-12-29 14:35 查看: 270 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

古典模型3：彩票中奖概率

## 彩票中奖概率

彩票的本质是从一个大的数字集合（或集合的集合）中，随机抽取若干个数字。中奖与否取决于你选择的号码与开奖号码的匹配程度。
*   **总可能组合数**：所有可能被抽中的号码组合的总数。
*   **中奖组合数**：符合特定奖项等级（如一等奖、二等奖）的号码组合的数量。
*   **单注中奖概率**：`P(中奖) = 中奖组合数 / 总可能组合数`

计算组合数使用**组合公式**（因为顺序不重要）：
$$
C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!}
$$
其中 $n$ 是可选数字的总数，$k$ 是需要选择的数字个数。

`例` 某福利彩票游戏规则如下：购买者从 $01 \sim 35$ 共 35 个号码中选取 7 个号码作为一注进行投注， 7 个号码中有 6 个为基本号码，另外 1 个号码为特别号码，每注彩票 2 元，每期销售彩票总金额的 $50 \%$ 用来作为奖金。

![图片](/uploads/2025-12/4cb977.jpg){width=400px}

奖项设置如下 （不考虑基本号码的顺序）：
①一等奖为选 7 中 $6+1$；
②二等奖为选 7 中 6；
③三等奖为选 7 中 $5+1$ ；
④四等奖为选 7 中 5；
⑤五等奖为选 7 中 $4+1$ ；
⑥六等奖为选 7 中 4 ；
⑦七等奖为选 7中 $3+1$ ．
试计算单注中奖概率．

解： 这一类型的彩票游戏可以看作不放回摸球问题：一个袋中有 35 个（同类型）球，其中 6 个红球、 1 个黄球、 28 个白球。现不放回地从袋中取 7 个球，求 7 个球中恰有 $i$ 个红球和 $j$个黄球的概率 $(i=0,1, \cdots, 6 ; j=0,1)$ ．

记 $A_{i j}$ 表示＂恰有 $i$ 个红球、 $j$ 个黄球＂，则有

$$
P\left(A_{i j}\right)=\frac{\mathrm{C}_6^i \mathrm{C}_1^j \mathrm{C}_{28}^{7-i-j}}{\mathrm{C}_{35}^7}, \quad i=0,1, \cdots, 6 ; j=0,1 .
$$

因此，中一等奖的概率 $p_1=P\left(A_{61}\right)=\frac{\mathrm{C}_6^6 \mathrm{C}_1^1}{\mathrm{C}_{35}^7}=1.49 \times 10^{-7}$ ．
类似可求得单注中 $k$ 等奖的概率 $p_k(k=2,3, \cdots, 7)$ ：

$$
\begin{aligned}
& p_2=P\left(A_{60}\right)=\frac{\mathrm{C}_6^6 \mathrm{C}_1^0 \mathrm{C}_{28}^1}{\mathrm{C}_{35}^7}=4.16 \times 10^{-6} ; \\
& p_3=P\left(A_{51}\right)=\frac{\mathrm{C}_6^5 \mathrm{C}_1^1 \mathrm{C}_{28}^1}{\mathrm{C}_{35}^7}=2.50 \times 10^{-5} ; \\
& p_4=P\left(A_{50}\right)=\frac{\mathrm{C}_6^5 \mathrm{C}_1^0 \mathrm{C}_{28}^2}{\mathrm{C}_{35}^7}=3.37 \times 10^{-4} ; \\
& p_5=P\left(A_{41}\right)=\frac{\mathrm{C}_6^4 \mathrm{C}_1^1 \mathrm{C}_{28}^2}{\mathrm{C}_{35}^7}=8.43 \times 10^{-4} ; \\
& p_6=P\left(A_{40}\right)=\frac{\mathrm{C}_6^4 \mathrm{C}_1^0 \mathrm{C}_{28}^3}{\mathrm{C}_{35}^7}=7.30 \times 10^{-3} ; \\
& p_7=P\left(A_{31}\right)=\frac{\mathrm{C}_6^3 \mathrm{C}_1^1 \mathrm{C}_{28}^3}{\mathrm{C}_{35}^7}=9.74 \times 10^{-3} .
\end{aligned}
$$

单注中奖概率为

$$
\sum_{k=1}^7 p_k=0.018
$$

通过以上计算结果可以看出单注中奖的概率不到 $2 \%$ ，而中一等奖的概率为 $1.49 \tim

其他版本
【高中数学】古典概率

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