最后更新: 2025-01-10 07:43 查看: 74 次反馈刷题

古典模型4：生日问题

## 盒子模型
设有 $n$ 个球,每个球都等可能地被放到 $N$ 个不同盒子中的任一个, 每个盒子所放球数不限. 试求
(1) 指定的 $n(n \leqslant N)$ 个盒子中各有一球的概率 $p_1$;
(2) 恰好有 $n(n \leqslant N)$ 个盒子各有一球的概率 $p_2$.

解 因为每个球都可放到 $N$ 个盒子中的任一个, 所以 $n$ 个球放的方式共有 $N^n$ 种,它们是等可能的。
（1）因为各有一球的 $n$ 个盒子已经指定,余下的没有球的 $N-n$ 个盒子也同时被指定, 所以只要考虑 $n$ 个球在这指定的 $n$ 个盒子中各放 1 个的放法数. 设想第 1 个球有 $n$种放法, 第 2 个球只有 $n-1$ 种放法, $\cdots \cdots$, 第 $n$ 个球只有 1 种放法, 所以根据乘法原理,其可能总数为 $n$ !, 于是其概率为

$$
p_1=\frac{n!}{N^n} .
$$

(2) 与（1）的差别在于:此 $n$ 个盒子可以在 $N$ 个盒子中任意选取。此时可分两步做:第一步从 $N$ 个盒子中任取 $n$ 个盒子准备放球, 共有 $\binom{N}{n}$ 种取法; 第二步将 $n$ 个球放人选中的 $n$ 个盒子中, 每个盒子各放 1 个球, 共有 $n!$ 种放法. 所以根据乘法原理共有

$$
\binom{N}{n} \cdot n!=P_N^n=N(N-1)(N-2) \cdots(N-n+1)
$$

种放法. 其实这个放法数可以更直接地考虑成: 第 1 个球可放在 $N$ 个盒子中的任一个,第 2 个球只可放在余下的 $N-1$ 个盒子中的任一个, $\cdots \cdots$, 第 $n$ 个球只可放在余下的 $N-$ $n+1$ 个盒子中的任一个,由乘法原理即可得以上放法数. 因此所求概率为

$$
p_2=\frac{P_N^n}{N^n}=\frac{N!}{N^n(N-n)!} .
$$

表面上看，盒子模型讨论的是球和盒子问题，似乎是一种游戏，但实际上我们可以将这个模型应用到很多实际问题中. 譬如将球解释为 "粒子", 把盒子解释为相空间中的小"区域"，则这个问题便是统计物理学中的麦克斯威 - 玻尔兹曼（MaxwellBoltzmann）统计。若 $n$ 个"粒子"是不可辨的，便是玻色-爱因斯坦（Bose-Einstein）统计。若 $n$ 个"粒子"是不可辨的, 且每个"盒子"里最多只能放一个"粒子", 这时就是费米-狄拉克（Fermi-Dirac）统计。这三种统计在物理学中有各自的适用范围.

下面我们用盒子模型来讨论概率论历史上颇为有名的"生日问题"。

$n$ 个人的生日全不相同的概率 $p_n$ 是多少?

解 把 $n$ 个人看成是 $n$ 个球, 将一年 365 天看成是 $N=365$ 个盒子, 则 $n $ 个人的生日全不相同" 就相当于 "恰好有 $n(n \leqslant N)$ 个盒子各有一球", 所以 $n$ 个人的生日全不相同的概率为

$$
p_n=\frac{365!}{365^n(365-n)!}=\left(1-\frac{1}{365}\right)\left(1-\frac{2}{365}\right) \cdots\left(1-\frac{n-1}{365}\right) .
$$

上式看似简单,但其具体计算是烦琐的,对此可用以下方法作近似计算:
(1) 当 $n$ 较小时, 上式右边中各因子的第二项之间的乘积 $\frac{i}{365} \times \frac{j}{365}$ 都可以忽略，于是有近似公式

$$
p_n \approx 1-\frac{1+2+\cdots+(n-1)}{365}=1-\frac{n(n-1)}{730} .
$$

(2) 当 $n$ 较大时, 因为对较小的正数 $x$, 有 $\ln (1-x) \approx-x$, 所以上式可以近似为

$$
\ln p_n \approx-\frac{1+2+\cdots+(n-1)}{365}=-\frac{n(n-1)}{730}
$$

例如当 $n=30$ 时, $n=30$ 时, 近似值为 0.3037

这个数值结果是令人吃惊的，因为许多人会认为：一年 365 天，30个人的生日全不相同的可能性是较大的, 至少会大于 $1 / 2$. 甚至有人会认为: 100 个人的生日全不相同的可能性也是较大的.

$$
\begin{array}{c|cccccc}
\hline n & 10 & 20 & 30 & 40 & 50 & 60 \\
\hline p_n & 0.8840 & 0.5942 & 0.3037 & 0.1180 & 0.0349 & 0.0078 \\
\hline 1-p_n & 0.1160 & 0.4058 & 0.6963 & 0.8820 & 0.9651 & 0.9922 \\
\hline
\end{array}
$$

表中最后一行是对立事件 " $n$ 个人中至少有两个人生日相同" 的概率 $1-p_n$. 当 $n=$ 60 时, $1-p_n=0.9922$ 表明在 60 个人的群体中至少有两个人生日相同的概率超过 $99 \%$, 这是出乎人们预料的. 而通过进一步的计算我们可以得出: 当 $n \geqslant 23$ 时, 有 $1-p_n>$ 0.5 .

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