最后更新: 2025-12-29 13:28 查看: 183 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

古典模型4：生日问题(★★★★★)

## 概率论里的生日模型  
**背景** 在一个房间里有 $n$ 个人（假设一年有 365 天，忽略闰年，且每个人的生日在一年中均匀分布、相互独立），问至少有两个人生日相同的概率是多少？

我们通常关心的是：  
- 当 $n$ 是多少时，这个概率超过 50%？  
- 或者给定 $n$，计算概率 $P(n)$。

### 思路与推导

直接计算“至少两人生日相同”的概率比较麻烦，因为它的对立事件是 **“所有人生日都不同”**，这个更容易计算。

设：
$$
P_{\text{same}}(n) = \text{至少两人生日相同的概率}
$$
$$
P_{\text{diff}}(n) = \text{所有人生日都不同的概率}
$$
显然：
$$
P_{\text{same}}(n) = 1 - P_{\text{diff}}(n)
$$

---

### 计算 $P_{\text{diff}}(n)$

对于这类问题，通常采用“盒子模型”，把365天想象为365个盒子，然后有$n$个人，让他们分别占据一个盒子

![图片](/uploads/2025-12/a0b2d7.jpg){width=400px}
 
具体的说：
**第一个人可以是任意一天：$365/365$  
第二个人要与第一个人不同：$364/365$  
第三个人要与前两个不同：$363/365$ 
第四个人要与前三个不同：$362/364$**  
……  
第 $n$ 个人要与前 $n-1$ 个人不同：$(365 - n + 1)/365$

所以：
$$
P_{\text{diff}}(n) = \frac{365}{365} \times \frac{364}{365} \times \frac{363}{365} \times \cdots \times \frac{365 - n + 1}{365}
$$
即：
$$
P_{\text{diff}}(n) = \prod_{k=0}^{n-1} \frac{365 - k}{365}
$$
或写作：
$$
P_{\text{diff}}(n) = \frac{365!}{(365-n)! \cdot 365^n}, \quad n \le 365
$$
若 $n > 365$，则 $P_{\text{diff}}(n) = 0$（鸽笼原理）。

### 计算 $P_{\text{same}}(n)$

$$
P_{\text{same}}(n) = 1 - \prod_{k=0}^{n-1} \left( 1 - \frac{k}{365} \right)
$$

---

##   近似公式

对于较

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