最后更新: 2025-11-06 10:42 查看: 380 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

附录：格林公式、高斯公式、斯托克斯公式想说的是什么

## 三大公式回顾

**格林公式（Green formula）**
若函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，且有一阶的连续偏导数，则有 $\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\oint_L P d x+Q d y$ ，这里 $L$ 为闭区域的边界曲线并取正向。

**高斯公式（Gauss formula**）
设空间闭区域 $V$ 由分片光滑的双侧封闭曲面 $S$ 围城，若函数 $P, Q, R$ 在 $V$ 上连续，且有一阶的连续偏导数，则 $\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) d x d y d z={\iint_S} P d y d z+Q d s d z+R d s d y$ ，其中 $S$ 取外侧。

**斯托克斯公式（Stokes formula）**
设光滑曲面 $S$ 的边界 $L$ 是按段光滑的连续曲线，若函数 $P, Q, R$ 在 $S$（连同 $L$ ）上连续，且有一阶的连续偏导数，则

$$
\begin{aligned}
& \oint_L P d x+Q d y+R d z=\iint_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) d y d z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) d z d x  +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y
\end{aligned}
$$

，其中 $S$ 的侧与 $L$ 的方向按右手法则确定。

### 公式比较列表

| 特征 | **格林公式** | **高斯公式** | **斯托克斯公式** |
| :--- | :--- | :--- | :--- |
| **别名** | 平面上的斯托克斯公式 | 散度定理、奥斯特罗格拉德斯基公式 | 旋度定理 |
| **空间维度** | **平面** (二维) | **空间** (三维) | **空间** (三维) |
| **积分区域** | 平面区域 $ D $ | 空间立体区域 $ \Omega $ | 空间曲面 $ \Sigma $ |
| **区域边界** | 平面闭曲线 $ L $ (正向) | 空间闭曲面 $ S $ (外侧) | 空间闭曲线 $ \Gamma $ (与曲面定向相符) |
| **内部运算** | **二维旋度** $ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} $ | **三维散度** $$ \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + {\partial R}{\partial z} $$ | **三维旋度** $ \nabla \times \vec{F} $ |
| **边界运算** | 切向分量线积分 | 通量 (法向分量) 面积分 | 环量 (切向分量) 线积分 |
| **物理意义** | 平面向量场的**环量** (旋转趋势) | 向量场的**通量源** (产生或汇聚) | 空间向量场的**环量** (旋转趋势) |
| **数学表达式** | $ \oint_{L} Pdx + Qdy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dxdy $ | $ \oint_{S} \vec{F} \cdot d\vec{S} = \iiint_{\Omega} (\nabla \cdot \vec{F}) dV $ | $ \oint_{\Gamma} \vec{F} \cdot d\vec{r} = \iint_{\Sigma} (\nabla \times \vec{F}) \cdot d\vec{S} $ |
| **相互关系** | 可以看作是斯托克斯公式在**平面**上的特例。 | 是更一般的**广义斯托克斯公式**在三维空间的一种表现形式。 | 是更一般的**广义斯托克斯公式**在三维空间的另一种表现形式。 |

---

### 关系与联系

1.  **格林公式是斯托克斯公式的特例**
    *   当斯托克斯公式中的曲面 $ \Sigma $ 是一个**平面区域** (例如 xy-平面) 时，向量场 $ \vec{F} = (P, Q, 0) $，其旋度 $ \nabla \times \vec{F} $ 的 z-分量正好是 $ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} $。此时，斯托克斯公式就退化成了格林公式。

2.  **统一于广义斯托克斯公式**
    *   这三个公式，乃至更高维的微积分基本定理，都可以被一个非常优美和统一的**广义斯托克斯公式**所概括：
        $$
        \int_{\Omega} d\omega = \int_{\partial \Omega} \omega
        $$
    *   其中 $ \Omega $ 是一个带边界的区域，$ \partial \Omega $ 是其边界，$ \omega $ 是一个微分形式，$ d\omega $ 是 $ \omega $ 的外微分。
    *   这个公式是微积分学的顶峰，它简洁地表达了“边界上的积分等于内部微分的积分”。

### 记忆技巧与类比

可以把这三个公式与**微积分基本定理**进行类比：

*   **微积分基本定理**：$ \int_a^b F'(x)dx = F(b) - F(a) $
    *   **左边**：函数在区间 **[a, b]** **内部**的“变化率”的积分。
    *   **右边**：函数在区间**边界 {a, b}** 上的“值”的差值。

*   **格林/高斯/斯托克斯公式**：
    *   **左边**：向量场在**区域边界**上的积分 (环量或通量)。
    *   **右边**：向量场的某种“微分特性” (旋度或散度) 在**区域内部**的积分。

### 总结

| 公式 | 从...到... | 核心量 |
| :--- | :--- | :--- |
| **格林公式** | **平面曲线积分** → **二重积分** | **(二维)旋度** |
| **高斯公式** | **曲面积分** → **三重积分** | **散度** |
| **斯托克斯公式** | **空间曲线积分** → **

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