最后更新: 2025-07-27 07:00 查看: 208 次反馈同步训练

附录2：格林公式、高斯公式、斯托克斯公式想说的是什么

## 三大公式回顾

**格林公式（Green formula）**
若函数 $P(x, y), Q(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，且有一阶的连续偏导数，则有 $\iint_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y=\oint_L P d x+Q d y$ ，这里 $L$ 为闭区域的边界曲线并取正向。

**高斯公式（Gauss formula**）
设空间闭区域 $V$ 由分片光滑的双侧封闭曲面 $S$ 围城，若函数 $P, Q, R$ 在 $V$ 上连续，且有一阶的连续偏导数，则 $\iiint_V\left(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}\right) d x d y d z={\iint_S} P d y d z+Q d s d z+R d s d y$ ，其中 $S$ 取外侧。

**斯托克斯公式（Stokes formula）**
设光滑曲面 $S$ 的边界 $L$ 是按段光滑的连续曲线，若函数 $P, Q, R$ 在 $S$（连同 $L$ ）上连续，且有一阶的连续偏导数，则

$$
\begin{aligned}
& \oint_L P d x+Q d y+R d z=\iint_S\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) d y d z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) d z d x  +\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) d x d y
\end{aligned}
$$

，其中 $S$ 的侧与 $L$ 的方向按右手法则确定。

## 格林公式、高斯公式、斯托克斯公式想说的是什么意思
三大公式从本质上来说，就是流量守恒，进而引申为**能量守恒**。让我们从水流说起，我们知道，速度是矢量，水流过一个曲面，为了研究的方便，我们可以对水流进行分解：沿曲线**切线方向**的速度和沿曲线**法线方向**的速度。

![图片](/uploads/2025-05/bc34cb.jpg){width=300px}
 
很容易发现，沿切线方向的流量使得曲线旋转，因此给他一个名字叫**旋度**，记做 $rot A$。沿着法线方向的流量是真正通过曲线的流量，用他可以判断到底是流出还是流入，因此给他一个名字：**散度**，记做$div M$。但是有时候为了方便，我们统一称呼为：流量。 整个多元微积分就是对曲线的切线和法线进行研究的。

如果 $rot A =0$ 处处为零，就表示水流没有旋转，叫做**无旋场**，否则叫做“有旋场”，有旋转就会有能量损失，有些物理公式就不能使用，这是后话。

如果 $div M=0$ 表示水没有流出也没流入，所以叫做**无源场**，如果$div M >0$ 表示水流从该点向外流出，此时称为**正源**。 如果$div M <0$ 表示水流从各处流入该点，此时称为**负源**，对于负源，我们通常称呼为**黑洞**，意味着他吸收能量。

如果 $rot A =0$ 并且 $div M=0$ 表示水流即没有旋转，也没有流入流出，我们称呼为 **调和场**。 调和场在《复变函数》里大量使用并形成了调和函数。这就是三大公式的物理背景。
下面就从水流流过曲线沿切线方向和沿法线方向进行介绍。
 
 ## 环量与旋度

#### 环量
如下这是一汪湖水，其中箭头所指方向为水流方向，长短为水流的力量大小：
 ![图片](/uploads/2025-01/56eb22.jpg){width=300px}

要计算一艘船在水流中受到多少旋转的力，就把这艘船丢到水里去。船的轮廓曲线抽象为封闭曲线，我们称为 $\Gamma$ ：
 ![图片](/uploads/2025-01/444f3b.jpg){width=300px}
 
 可以比较直观的感受单位时间内，这艘船在水场中受到旋转的力就称为环流量。对于一个圆，我们可以比较直观的感受到：垂直方向上的作用力是不会导致船旋转的，只有切线方向的力会导致船旋转。
  ![图片](/uploads/2025-01/dd6e89.jpg){width=300px}
  
因此，我们定义： 水流沿着曲线**切线**方向的流量为环量。

环流量的定义是：设有向量场
$$
A (x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k,
$$

$\tau$ 是 $\Gamma$在点 $(x, y, z)$ 处的**单位切向量**，则积分

$$
\oint_{\Gamma} A \cdot \tau d s
$$
 
称为向量场 $A$ 沿有向闭曲线 $\Gamma$ 的环流量．其实具体定义你不用管，反正就是求切线方向里累加就可以了。

#### 旋度
环量是宏观角度，如果我们取一个微元，那么怎么才能使得微元旋转呢？考虑如下二维平面，假设速度场沿 X 方向速度分量是 $P(x, y) i$ ，沿 $Y$ 方向的速度分量是 $Q(x, y) j$ 在 $X Y$ 平面中有一刚体。如下图：
 ![图片](/uploads/2025-01/625730.jpg){width=400px}
 
 如果各个分量都是Q，并不会让物体旋转，
 
  ![图片](/uploads/2025-01/ecfcb3.jpg){width=400px}
  
  当向量 $Q 1= Q 2= Q 3=\ldots \ldots Qn$ 的时候，其中 Q 向量代表速度，向量的长度代表速度的大小。大家可以发现刚体将沿着平行于 $Y$ 轴的方向运动，而不会发生旋转，那么我们说刚体的旋度是 0 。即
  
**$\frac{\partial Q}{\partial x}=0$ 刚体将不发生旋转。**
  
  
  那么刚体如何才能旋转呢？当两点有速度差时，才会旋转
  
   ![图片](/uploads/2025-05/ef9b57.jpg){width=400px}
   
   因此，旋度的公式就是
   
$$
\operatorname{rot} A=\left(\frac{\partial R}{\partial Y}-\frac{\partial Q}{\partial Z}\right) i+\left(\frac{\partial P}{\partial Z}-\frac{\partial R}{\partial X}\right) j+\left(\frac{\partial Q}{\partial X}-\frac{\partial P}{\partial Y}\right) k
$$
 
他的意思就是把每个方向上速度累加，如果等于0，就表示没有旋转，否则就表示有旋转。

下图很形象的展示了旋度和环量的关系

![图片](/uploads/2025-04/b64e18.jpg){width=500px}

## 通量与散度
#### 通量
想象水流以速度$v$通过面积是$S$的管道，那么$\Delta t$内通过的水流量就是$V=vS\Delta t$, 现在把管子开口倾斜，通过的水流量是$V=vS \cos \theta \Delta t$,
关注两个极端情况：
（1）$\theta=0$，此时水流量最大
（2）$\theta=\frac{\pi}{2}$, 也管口和水流平行，此时流量为零
 ![图片](/uploads/2025-01/9477a8.svg){width=400px}
 
 我们不难发现，河水流过曲线的为水流沿着曲线**法线**的方向。

通量的数学定义是：给定一向量场 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k$,  
曲面$\Sigma$为场内的一片有向光滑曲面， $n$ 为 单位法向量。对面积的曲面积分:

$$
\boxed{
\iint_{\Sigma} \vec{A} \bullet \vec{n} d S=\iint_{\Sigma} P d y d z+Q d x d z+R d x d y
}
$$
称为向量场 $A$ 通过有向曲面 $\Sigma$ 的通量

不用管数学定义，反正理解为水流过曲面法线的流量即可。

#### 散度
为了进一步观察流量，我们取一个“立方体”微元。在此微元下计算流过立方体的流量，如下图
  ![图片](/uploads/2025-05/826b54.jpg)

可以证明，流过的微元体流量如下，我们称呼他为散度，具体推导可以参考 [此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=434)

$$
div F=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}
$$

散度的意义很明显，如果 $div F=0$ 表示无源，如果 $div F> 0$ 流出，如果 $div F < 0$ 流入。 散度这块解释没有在高斯公式里解释的好，请点击 [高斯公式](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=433) 查看对散度的理解。

## 格林公式
#### 视角1
想象一下，你站在合并，你前面有一条河流，河水以一定的速度流动，这个速度可以用向量场 $\vec{F}$ 来表示。现在，你在河中设置一个＂水坝＂，但这个水坝上有一些孔，允许水流通过。通量就衡量了每单位时间内有

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