最后更新: 2025-11-06 16:32 查看: 378 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

附录：麦克斯韦方程组

数学来自于物理，所以，数学得学习需要以物理作为背景，本文从物理的角度整体上概况一下数学中遇到的物理知识,下面的介绍主要涉及高中物理，以及少量的大学物理，然后从高等数学的角度看待物理。

## 标量场与矢量场
#### 标量场
假设有一个标量函数，这是我随便写的一个函数，
$$
f(x,y,z)=x^2+y^2-z  ...(1)
$$

![图片](/uploads/2025-04/e29d00.jpg){width=400px}

你可以把这个函数想象为空间里温度的表达式，给定一个点坐标$(x,y,z)$，就可以获得该点对应的温度值，例如取
$f(1,1,1)=1^2+1^2-1=1$ 则表示在空间坐标为 $(1,1,1)$的位置温度为1度，以此类推。
#### 矢量场
对于上面的温度，很多时候我们并不关心该点的温度的大小，而更关心该点“**温度变化趋势**”，很明显，只要两点有温度差，温度就会从高温传递到低温，而且直觉告诉我们，高温会选择最快的方向流向低温。

我们对$f$分别向坐标轴求偏导，就会得到3个数，这3个数组成一个向量，我们称呼他为“梯度”。 比如要求上面函数在(1,1,1)这点的梯度，只要把该函数分别对$x,y,z$求偏导再带入改点的值即可得到。
$x=\frac{\partial P}{\partial x}=2x=1$
$y=\frac{\partial Q}{\partial x}=4y=4$
$z=\frac{\partial R}{\partial z}=6z=6$

所以，$f(x)$ 在$P(1,1,1)$的梯度就是$\vec{OP}=(1,4,6)$ ，换句话说，**在$P(1,1,1)$点的温度，沿着$(1,4,6)$ 方向温差变化最大**。把每一点的向量生成出来（**温差标出来**），就是该标量函数(我们称作势函数)对应的向量场。
 
  ![图片](/uploads/2025-01/96c9f5.jpg){width=400px}

### 梯度
上面引入了梯度，下面再通俗解释一下，想象一下，你在山上，你要下山，你会怎么走？自然是沿着下山坡速度最快的方向走。 同样的，下图是一个等高线(你可以想象为海拔)，山坡曲面由$z=f(x,y)$给出，对于每一点$P_0(x_0,y_0)$，都会有一个速度，因为速度是矢量，通常分解为水平方向的$x$分量和垂直方向上的$y$分量, 但是我们都是使用$i$和$j$表示，即 $\boldsymbol{grad}$ 表示梯度，记号为：

$$
\boldsymbol{grad} f=  f_x(x_0,y_0)\boldsymbol{i} +f_y(x_0,y_0)\boldsymbol{j} 
$$

![图片](/uploads/2025-01/c24f06.svg){width=250px}
**方向导数**：是一个数,反映的是$f(x,y)$在$P_0$点沿方向$v$的变化率。就像你下山可以有多个方向，所以方向导数也可以有多个数。

**偏导数**：方向导数方向太多，我们通常关心的是只沿坐标轴方向的方向导数，因此二元函数就有两个偏导数。

**梯度**：梯度是一个向量；每个元素为函数对一元变量的偏导数；它既有大小（其大小为最大方向导数），也有方向。你可以把梯度想象为瞬时速度。 
 
 
在区域 $D$ 上定义的数值函数 $f(x, y, z)$ 称为 $D$ 上的**数量场**，同样，在 $D$ 上定义的向量值函数 $a (x, y, z)=(P, Q, R)$ 称为 $D$ 上的**向量场**．，详见[梯度的作用](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2685)

对于数量场 $f$ 有梯度

$$
\operatorname{grad} f=\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
$$

即生成了一个向量场，称为 $f$ 的梯度场，$f$ 就是这个梯度场的势函数．梯度反映了 $f$ 增长的最快方向和大小．
 
> 梯度相当于连接了数量场和向量场的桥梁，一个数量场通过梯度就可以求出他的向量场。这就相当于给定一个标量函数$f(x)$ 对每点求导，就可以得到一个速度，所有速度的集合，就是一个速度场（速度是矢量，所以是向量场）。
 
 
 
 
 
 
 
### 法向量
在一个曲面上，取一个面积元，当这个面积非常小时，这个面积可以近似看成平面。既然是平面，就能找到一条直线和这个平面垂直，这个直线就是法线，正如我们后面要考虑方向，就给他一个更专业的名字：法向量。表示他除了有大小还要有方向，如下图
 ![图片](/uploads/2025-01/e98751.svg)

**更炸了的是，梯度就是曲面的法向量。** ，假设函数为$z=f(x,y)$ ，移项后得到$f(x,y,z)=f(x,y)-1$， 对 $f(x,y,z)$ 求偏导，得到
$(f'(x), f'(y),-1)$ ,这样，我们就确定了曲面的法向量。具体推导请参考 [切平面与法线方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=395)

### 通量

想象水流以速度$v$通过面积是$S$的管道，那么$\Delta t$内通过的水流量就是$V=vS\Delta t$, 现在把管子开口倾斜，通过的水流量是$V=vS \cos \theta \Delta t$,
关注两个极端情况：
（1）$\theta=0$，此时水流量最大
（2）$\theta=\frac{\pi}{2}$, 也管口和水流平行，此时流量为零
 ![图片](/uploads/2025-01/9477a8.svg){width=400px}
 
 仔细观察 $V=vS \cos \theta \Delta t$ 
 
①如果你这样打括号$V=v (S \cos \theta) \Delta t$, 他的意义是水流速度不变，而通过得面积为有效面积。

②如果你这样打括号$V=(v \cos \theta ) S  \Delta t$, 他的意义是面积不变，但是水流速度分解为垂直截面的速度和平行截面的速度。

这两个理解都对，所以他们的结果是一样的。

设给定一向量场 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k$, 其中函数 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z) 、 R(x, y, z)$ 具有一阶连续偏导数，
曲面$\Sigma$为场内的一片有向光滑曲面， $n$ 为$\Sigma$ 上的某一 $M(x, y, z)$ 处的单位法向量。对面积的曲面积分:

$$
\iint_{\Sigma} \vec{A} \bullet \vec{n} d S=\iint_{\Sigma} P d y d z+Q d x d z+R d x d y
$$
称为向量场 $A$ 通过有向曲面 $\Sigma$ 的通量 , 详见[通量](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=434)

### 散度
我们在矢量场中取一个闭合曲面 $S$ ，其内部空间记为 $V$ 。以向外为正方向，矢量场 $F ( r )$ 在闭合曲面的通量 $\Phi$ 可以用以下面积分表示，积分范围默认为 $S$

$$
\Phi=\oint F \cdot d s
$$

![图片](/uploads/2025-01/d1bf72.jpg){width=200px}
 
现在我们把该曲面以其内部一点 $r$ 为中心按比例不断缩小，若通量与体积 $V$ 的比值存在极限，就把该极限叫做该点的散度（divergence），用 $div$ 表示， 所以，$A$点的散度为 
$$
div \boldsymbol{A} = \frac{\partial P}{\partial x} +\frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} 
$$

这里建议大家把散度当做三维空间里的放射元素。

考虑三种特殊情况：
① $div \boldsymbol{A} >0 $ , 这表示有源源不断的速度向外，这表示这是有**正源**，例如这里点中心有一个粒子。

② $div \boldsymbol{A} <0 $ , 这表示有源源不断的速度进来，这表示这是有负源，换句话说，他在不断从外部吸收能量，通俗的叫法，这是**黑洞**。
③$div \boldsymbol{A} =0 $， 既不吸收也不释放源泉，称作 **无源**

对于向量场 $a =(P, Q, R)$ 有散度
$$
\operatorname{div} a =\nabla \cdot a =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
$$
即生成了一个数量场，称为 $a$ 的散度场．如前所述，散度反映了流体速度场中的＂源＂和＂汇＂。

假设密度不变的水以匀速流动， 对于任何一个闭合曲面，流入的流量（负值）和流出的流量（正值）相等，总通量为零。所以该场的散度处处为零。 详见[散度](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2196)

> 散度用于确定是“有源场”还是“无源场”

### 环量
先看一个简单例子:如下这是一汪湖水，其中箭头所指方向为水流方向，长短为水流的力量大小：
 ![图片](/uploads/2025-01/56eb22.jpg){width=300px}

要计算一艘船在水流中受到多少旋转的力，就把这艘船丢到水里去。船的轮廓曲线抽象为封闭曲线，我们称为 $\Gamma$ ：
 ![图片](/uploads/2025-01/444f3b.jpg){width=300px}

详见 [环量](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2686)

### 旋度
上面小船的旋转是宏观体现，本质上是由微观一个个“漩涡”组成的，

![图片](/uploads/2025-04/b64e18.jpg){width=500px}

那么一个微体元，如何才能旋转呢？想象一个刚体放在磁场里，从左到右受力不同，如下图， 则刚体回进行转动。
  ![图片](/uploads/2025-01/c02757.jpg){width=300px}

物理学中我们知道旋转线速度 $=$ 角速度  $\times $ 半径 $(v=w r)$ ，所以角速度

$$
\omega=\frac{\partial v}{\partial r} \t

其他版本
【高等数学】数量场与向量场【高等数学】向量的混合积

免费注册看余下 70%

非VIP会员每天5篇文章，开通VIP 无限制查看

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

高等数学测评 函数与极限一元函数微分学一元函数积分学微分方程空间向量与代数多元微分学多元积分学无穷级数

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

线性代数测评 行列式矩阵向量空间

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

概率统计测评 事件与概率一维随机变量与事件多维随机变量与事件随机变量的数字特征大数定律与中心极限定理统计量与抽样分布参数估计假设检验

上一篇：哈密尔顿算子与拉普拉斯算子

下一篇：向量函数的导数与雅可比矩阵

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)