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附录2：麦克斯韦方程组

数学来自于物理，所以，数学得学习必须以物理作为背景，本文从物理的角度整体上概况以下数学中遇到的物理知识,下面的介绍主要涉及高中物理，以及少量的大学物理，然后从高等数学的角度看待物理。

## 先驱知识

### 梯度
想象一下，你在山上，你要下山，你会怎么走？自然是沿着下山坡速度最快的方向走。 同样的，下图是一个等高线(你可以想象为海拔)，山坡曲面由$z=f(x,y)$给出，对于每一点$P_0(x_0,y_0)$，都会有一个速度，因为速度是矢量，通常分解为水平方向的$x$分量和垂直方向上的$y$分量, 但是我们都是使用$i$和$j$表示，即 $\boldsymbol{grad}$ 表示梯度，记号为：

$$
\boldsymbol{grad} f=  f_x(x_0,y_0)\boldsymbol{i} +f_y(x_0,y_0)\boldsymbol{j} 
$$

![图片](/uploads/2025-01/c24f06.svg){width=250px}
**方向导数**：是一个数,反映的是$f(x,y)$在$P_0$点沿方向$v$的变化率。就像你下山可以有多个方向，所以方向导数也可以有多个数。

**偏导数**：方向导数方向太多，我们通常关心的是只沿坐标轴方向的方向导数，因此二元函数就有两个偏导数。

**梯度**：梯度是一个向量；每个元素为函数对一元变量的偏导数；它既有大小（其大小为最大方向导数），也有方向。你可以把梯度想象为瞬时速度。

给定一个函数例如$f(x)=x^2+2y^2+3z^2$ 这是一个标量函数，你可以把这个函数理解为空间里温度的函数，每给定一个点，就会得到该点的温度。但是，在很多情况下，我们并不关心温度的大小，更关心**温度变化趋势**。要求在(1,1,1)这点的梯度，只要把该函数分别对$x,y,z$求偏导再带入改点的值即可得到。

$x=\frac{\partial P}{\partial x}=2x=1$
$y=\frac{\partial Q}{\partial x}=4y=4$
$z=\frac{\partial R}{\partial z}=6z=6$

所以，$f(x)$ 在$P(1,1,1)$的梯度就是$\vec{OP}=(1,4,6)$ ，换句话说，在$P(1,1,1)$点的文档，沿着$(1,4,6)$ 方向温差变化最大。把每一点的向量生成出来（温差标出来），就是该标量函数对应的向量场。

![图片](/uploads/2025-01/96c9f5.jpg){width=400px}
 
在区域 $D$ 上定义的数值函数 $f(x, y, z)$ 称为 $D$ 上的**数量场**，同样，在 $D$ 上定义的向量值函数 $a (x, y, z)=(P, Q, R)$ 称为 $D$ 上的**向量场**．，详见[梯度的作用](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2685)

对于数量场 $f$ 有梯度

$$
\operatorname{grad} f=\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
$$

即生成了一个向量场，称为 $f$ 的梯度场，$f$ 就是这个梯度场的势函数．梯度反映了 $f$ 增长的最快方向和大小．
 
> 梯度相当于连接了数量场和向量场的桥梁，一个数量场通过梯度就可以求出他的向量场。这就相当于给定一个标量函数$f(x)$ 对每点求导，就可以得到一个速度，所有速度的集合，就是一个速度场（速度是矢量，所以是向量场）。
 
 
 
 
 
 
 
### 法向量
在一个曲面上，取一个面积元，当这个面积非常小时，这个面积可以近似看成平面。既然是平面，就能找到一条直线和这个平面垂直，这个直线就是法线，正如我们后面要考虑方向，就给他一个更专业的名字：法向量。表示他处了有大小还要有方向，如下图
 ![图片](/uploads/2025-01/e98751.svg)

### 通量

想象水流以速度$v$通过面积是$S$的管道，那么$\Delta t$内通过的水流量就是$V=vS\Delta t$, 现在把管子开口倾斜，通过的水流量是$V=vS \cos \theta \Delta t$,
关注两个极端情况：
（1）$\theta=0$，此时水流量最大
（2）$\theta=\frac{\pi}{2}$, 也管口和水流平行，此时流量为零
 ![图片](/uploads/2025-01/9477a8.svg){width=400px}
 
 仔细观察 $V=vS \cos \theta \Delta t$ 
 
①如果你这样打括号$V=v (S \cos \theta) \Delta t$, 他的意义是水流速度不变，而通过得面积为有效面积。

②如果你这样打括号$V=(v \cos \theta ) S  \Delta t$, 他的意义是面积不变，但是水流速度分解为垂直截面的速度和平行截面的速度。

这两个理解都对，所以他们的结果是一样的。

设给定一向量场 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k$, 其中函数 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z) 、 R(x, y, z)$ 具有一阶连续偏导数，
曲面$\Sigma$为场内的一片有向光滑曲面， $n$ 为$\Sigma$ 上的某一 $M(x, y, z)$ 处的单位法向量。对面积的曲面积分:

$$
\iint_{\Sigma} \vec{A} \bullet \vec{n} d S=\iint_{\Sigma} P d y d z+Q d x d z+R d x d y
$$
称为向量场 $A$ 通过有向曲面 $\Sigma$ 的通量 , 详见[通量](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2199)

### 散度
我们在矢量场中取一个闭合曲面 $S$ ，其内部空间记为 $V$ 。以向外为正方向，矢量场 $F ( r )$ 在闭合曲面的通量 $\Phi$ 可以用以下面积分表示，积分范围默认为 $S$

$$
\Phi=\oint F \cdot d s
$$

![图片](/uploads/2025-01/d1bf72.jpg){width=200px}
 
现在我们把该曲面以其内部一点 $r$ 为中心按比例不断缩小，若通量与体积 $V$ 的比值存在极限，就把该极限叫做该点的散度（divergence），用 $div$ 表示， 所以，$A$点的散度为 
$$
div \boldsymbol{A} = \frac{\partial P}{\partial x} +\frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} 
$$

这里建议大家把散度当做三维空间里的放射元素。

考虑三种特殊情况：
① $div \boldsymbol{A} >0 $ , 这表示有源源不断的速度向外，这表示这是有**正源**，例如这里点中心有一个粒子。

② $div \boldsymbol{A} <0 $ , 这表示有源源不断的速度进来，这表示这是有负源，换句话说，他在不断从外部吸收能量，通俗的叫法，这是**黑洞**。
③$div \boldsymbol{A} =0 $， 既不吸收也不释放源泉，称作 **无源**

对于向量场 $a =(P, Q, R)$ 有散度
$$
\operatorname{div} a =\nabla \cdot a =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
$$
即生成了一个数量场，称为 $a$ 的散度场．如前所述，散度反映了流体速度场中的＂源＂和＂汇＂。

假设密度不变的水以匀速流动， 对于任何一个闭合曲面，流入的流量（负值）和流出的流量（正值）相等，总通量为零。所以该场的散度处处为零。 详见[散度](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2196)

> 散度用于确定是“有源场”还是“无源场”

### 旋度
一个刚体放在磁场里，从左到右受力不同，如下图， 则刚体回进行转动。
  ![图片](/uploads/2025-01/c02757.jpg){width=300px}

物理学中我们知道旋转线速度 $=$ 角速度  $\times $ 半径 $(v=w r)$ ，所以角速度

$$
\omega=\frac{\partial v}{\partial r} \text {, 即 } \frac{\partial Q}{\partial X} \text { 。 }
$$

旋转轴方向垂直于 $X Y$ 平面。接下来我们看图中的 $A$ 点，如下图：

![图片](/uploads/2025-01/4f3061.jpg){width=300px}

这里的P1，P2和Q1，Q2指刚体上不同的点相对于 $Y$ 轴和X 轴 的角速度变化。
那么很容易发现该旋转是两个旋转的叠加，某一点的角速度

$$
\omega=\frac{\partial Q}{\partial X}-\frac{\partial P}{\partial Y}
$$

即旋度为

$$
\omega=\left(\frac{\partial Q}{\partial X}-\frac{\partial P}{\partial Y}\right) k
$$

由于这是在XOY平面得出的结果，同样在YOZ，XOZ平面也可以得出同样的推论，因此得到旋度公式,详细介绍请点击[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=435)

$$
\operatorname{rot} A=\left(\frac{\partial R}{\partial Y}-\frac{\partial Q}{\partial Z}\right) i+\left(\frac{\partial P}{\partial Z}-\frac{\partial R}{\partial X}\right) j+\left(\frac{\partial Q}{\partial X}-\frac{\partial P}{\partial Y}\right) K
$$

向量场 $a =(P, Q, R)$ 出发给出旋度公式

$$
\begin{aligned}
\operatorname{rot} a & =\nabla \times a =\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right| \\
& =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial z}, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right),
\end{aligned}
$$

这样就又生成了一个向量场，称为 $a$ 的**旋度场**．旋度反映了向量场的旋转程度。

旋度的理解可以参考大学物理中的[
毕奥-萨伐尔定律](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1161)  一根导线通电后放在磁场里，
![图片](/uploads/2024-01/image_202401110f4ed76.png){width=300px} 
我们在研究电子运动时，处了考虑他的运动，还要考虑他有没有自转。
 ![图片](/uploads/2025-02/abbf09.jpg){width=300px}

若向量场 $A$ 的旋度 $\operatorname{rot} A$ 处处为零，则称向量场 $A$ 为无旋场．而一个无源且无旋的向量场称为调和场．

利用旋度，可以退出：如果一个（三维）矢量场在某个方向上没有分量（即平面场），则其旋度的方向（面元的法向量）必然平行于该方向

### 梯度，散度和旋度的运算公式
设 $f, g$ 为数量场， $a , b$ 为向量场，假定都连续可微．则有以下用 nabla 算子写出的运算规则，它们都可以按照定义直接验证．
$$
\begin{aligned}
& \nabla(\alpha f+\beta g)=\alpha \nabla f+\beta \nabla g, \\
& \nabla \cdot(\alpha a +\beta b )=\alpha \nabla \cdot a +\beta \nabla \cdot b , \\
& \nabla \times(\alpha a +\beta b )=\alpha \nabla \times a +\beta \nabla \times b , \\
& \nabla(f g)=(\nabla f) g+f(\nabla g), \\
& \nabla \cdot(f a )=f(\nabla \cdot a )+(\nabla f) \cdot a , \\
& \nabla \times(f a )=f(\nabla \times a )+(\nabla f) \times a , \\
& \nabla \cdot(\nabla \times a )=0, \\
& \nabla \times(\nabla f)= 0 .
\end{aligned}
$$

特别注意最后两个公式，前者表明任何向量场的旋度的散度为零，即旋度不生不灭，后者表明任和数量场的梯度的旋度为零向量，即梯度场没有任何旋转性质。从格林定理知道这就是满足恰当条件，在单连通区域内与存在势函数等价．

### 三阶行列式
我们定义三阶行列式的计算为：详见[行列式教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=237)
$$
A=\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32} -a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}
$$

因为我们生活在三维空间，通常用$i,j,k$来表示$x,y,z$轴，那么
就可以得到
$$
\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{array}\right|= \left|\begin{array}{ll}
a_y & a_z \\
b_y & b_z
\end{array}\right| i +(-1)\left|\begin{array}{cc}
a_x & a_z \\
b_x & b_z
\end{array}\right| j +\left|\begin{array}{ll}
a_x & a_y \\
b_x & b_y
\end{array}\right| k
$$

$$
=\left(a_y b_z-a_z b_y\right) i -\left(a_x b_z-a_z b_x\right) j +\left(a_x b_y-a_y b_x\right) k
$$

如果设 $\boldsymbol{a} =\left(a_x, a_y, a_z\right)=a_x i +a_y j +a_z k , \boldsymbol{b} =\left(b_x, b_y, b_z\right)=b_x i +b_y j +b_z k$ ，
则可以得到

$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{array}\right| 
$$

这表示两个向量的叉积可以用一个三阶行列式表示。有了三阶行列式，就可以把一些复杂的公式简写了。

##  哈密顿算子$\nabla$ 与 拉普拉斯算子$\Delta$  
在进行进一步讲解前，我们介绍两个符号：哈密顿算子和 拉普拉斯算子。
所谓算子， 就是一个函数变为另外一个函数，最简单的$f(x)$求导变成$f'(x)$就是一个算子，更通俗的说，你可以想象为他是一个**简写**。就像我们说电视不说television，而说TV一样，使用算子，会让公式看起来非常简洁，但是苦了不懂算子的人。

在物理中，有2个重要的算子：哈密顿算子和拉普拉斯算子
### 哈密顿算子$\nabla$
形如这样的叫哈密顿算子，记做 $\nabla$，中文叫“那布拉”
$$
\nabla=\left\{\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right\} .
$$
这里的$f$表示一个函数，$x,y,z$表示对$f$分别求[偏导数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=380)。
所以，$f$带入不同的值，会有不同的物理意义，常见的有2个：

①设 $f=U(x, y, z)$ 为数量场，则梯度 $\operatorname{grad} U=\nabla U$ ．
②设 $f=\vec{F}(x, y, z)$ 为向量场，则散度 $\operatorname{div} \overrightarrow{ F }=\nabla \cdot \overrightarrow{ F }$ ，旋度 $\operatorname{rot} \overrightarrow{ F }=\nabla \times \overrightarrow{ F }$ ．

$\nabla$ • 符号（读作＂del dot＂）表示散度算符，
 $\nabla \times$ 符号（读作＂del cross＂）表示旋度算符。
 
### 拉普拉斯算子 $\Delta$
拉普拉斯算子 $\Delta$ 称作德尔塔
他的形状通常是
$$
\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}
$$

可以证明：
$\Delta =\nabla \cdot \nabla$

如果有一个函数$\varphi$.
①如果$\Delta \varphi=0$ 称 拉普拉斯（Laplace）方程
②如果$\Delta \varphi=f(x, y, z)$称 泊松方程

##  力、能、场、势
经典物理研究的一个重要对象就是[力](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1656)。比如牛顿力学的核心就是[牛顿第二定律](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=972) $F=m a$，剩下的什么[平抛运动](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1075)、[圆周运动](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1076)、[简谐运动](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=992)等可以用经典力学加上微积分推出来。
但是力有一点不好，它是个向量（既有大小又有方向），所以即便是简单的受力分析，想解出运动方程却难得要死。很多时候，从能量的角度出发反而问题会变得简单很多。 能量说到底就是力在空间上的积分（能量=功=[力×距离](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1693)），所以能和力是有紧密联系的，而且能量是个标量，加减乘除十分方便。分析力学中的拉格朗日力学和哈密顿力学就绕开了力，从能量出发，算运动方程比牛顿力学要简便得多。

在电磁学里，我们通过力定义出了场的概念，主要包括[电场](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1055)与[磁场](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1767)。其中还有一个重要的结论：变换的电场产生磁场，变换的磁场产生电场，基于此，麦克斯韦预测了[电磁波](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1813)的存在。

我们注意磁场对运动电荷也有力的租用，并命名为[洛伦兹力(高中版)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1004),  受限与高中数学知识，在高中里，讨论的磁场是均匀的，粒子运动的速度是匀变速的，方向是垂直的，总之就是尽可能的完美（参考下图）。
 
 ![图片](/uploads/2024-01/image_20240108bd60403.png)
 
 
 但是实际中粒子的速度可能随时改变，磁场也不是各处一样大，所以
到了大学开始从微积分角度看待洛仑兹力，洛仑兹力写成向量乘法的形式是 $F=q(v \times B)$ 详见[洛伦兹力(大学版)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1165)

为了和本文后面对应，现在我们捋一捋$F=q(v \times B)$这个公式的物理意义（参考下图），这对理解后面介绍的向量的乘法很有意义。

![图片](/uploads/2024-01/image_202401113fc9d42.png){width=300px}

四个物理量：(1)$q$:一个点电荷 (2)$v$:点电荷的运动速度 (3)$B$:磁场的强度(4)$F$:点电荷受到的力

> **整个表达式的意思是**：一个粒子$q$在磁场里运动，运动速度$v$和磁场强度$B$之间的夹角为$\theta$，那么粒子会受到洛伦兹力$F$的作用,力$F$的方向垂直于$v$和$B$张成的平面，力的大小是$F=q · (v \times B)$

我们不管数学上如何定义[向量的内积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167)或[向量的叉乘](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1537), 我们仅从物理上分析， 因为，F是矢量，所以就要求我们，$q · (v \times B)$的结果页必须是矢量。

现在我们把上面矢量换成数学语言：设三向量 $\boldsymbol{a} ， \boldsymbol{b} ， \boldsymbol{c}$ ，先作向量积 $\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}$ ，再作数量积 $(\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}) \cdot \boldsymbol{c}$ ，记作 $[a b c]$ ，称为三个向量 $a ， b ， c$ 的混合积.
这就是我们《高等数学》里，学习的[向量的混合积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=356)

![图片](/uploads/2022-12/image_202212301959b62.png){width=300px}

继续，具体物理细节不谈，单从数学上看这个公式就会发现力和电荷（或电荷×速度）程正比。那么我们便可以刨去电荷（或电荷×速度）的部分，仅仅看剩下的这个“系数”有着怎样的动力学性质。

也就是说，场是某种遍布在空间中的东西，当电荷置于场中时便会受力。具体到两个电荷间的库仑力的例子，就可以理解为一个电荷制造了电场，而另一个电荷在这个电场中受到了力，反之亦然。类似地我们也可以对能量做相同的事情，刨去能量中的电荷（或电荷×速度），剩下的部分便是势。

一张图表明关系：
 ![图片](/uploads/2025-01/6d6f67.jpg)

### 保守力场
一个显而易见的答案是＂保守力场＂。在这样一个场中，能量（做功）不取决于你选择什么样的路径。打个比方，你爬一座山，无论选择什么路径，只要起点和终点一样，那么垂直方向上的差别都是一样的，做的功也一样多。在这种情况下，我们对力场有了诸多限制，也就是说，我假如知道了一个保守力场的$x$一个分量，那么另两个分量$yz$就随之确定了，我没得选（自由度其实只有一个标量场）。有了保守力场这样的额外限制，向量场 $F$（3个标量场）和（1个）标量场$V$之间的转化便不会失去信息了。具体而言，二者关系可以写作 $F =-\nabla V$ 。这里不说具体细节，你只要知道 $\nabla$ 是一种固定的，把一个标量场变成三个标量场的算法就可以了（这个通常叫做算子）。

那么我们想问，电场和磁场是不是保守力场呢？很不幸，不是。就像我们在热学学过的，在热量传递过程中，能量一定有损失，想让机器功率达到100%是不可能的一样。 在静电学中，静止的电场是保守的，但在电动力学中，只要有变化的电场和磁场，电场就不是一个保守力场了；而磁场从来都不是保守力场。这也就是说明，在电磁学中，我们很少涉及能量这个概念，因为它不能完整地描述一个电磁场。我们更多时候只关注＂场＂这个概念，

尽管因此我们不得不涉足很多向量微积分，但我们没有办法，这是不让信息丢掉的唯一办法。那么，既然势也是标量，它是否也是一个没什么用的概念呢？恰恰相反，在电动力学中我们定义出了＂向量势＂vector potential，以保留额外的自由度。

总而言之， 那就是电磁学的主要研究对象是电场和磁场，而麦克斯韦方程组就是描述电场和磁场的方程。势（包括电势和磁向量势）也是有用的概念，而且不像引力势是一个标量，在电磁学中势不得不变成一个向量。

## 麦克斯韦方程组

前边说到， 麦克斯韦方程组Maxwell equations是描述电场和磁场的方程。前边也说到，因为电磁场不是保守力场，它们有三个标量场的自由度，所以我们必须用向量微积分来描述电磁场。因此，麦克斯韦方程组每个式子都出现了向量微积分，而整个方程组也有 积分形式和 微分形式两种。**这两种形式是完全等价的**，只是两种不同的写法。这里我先全部写出。

**积分形式：**
$(1-1)\quad \oint_{\partial V} E \cdot d a =\frac{Q_V}{\epsilon_0}$,
$(1-2)\quad \oint_{\partial S} E \cdot d l =-\frac{d}{d t} \int_S B \cdot d a$,
$(1-3) \quad \oint_{\partial V} B \cdot d a =0$,
$(1-4) \quad \oint_{\partial S} B \cdot d l =\mu_0 I_S+\mu_0 \epsilon_0 \frac{d}{d t} \int_S E \cdot d a$.

**微分形式：**
$(2-1) \quad \nabla \cdot E =\frac{\rho}{\epsilon_0}$,
$(2-2) \quad \nabla \times E =-\frac{\partial}{\partial t} B$,
$(2-3) \quad \nabla \cdot B =0$,
$(2-4) \quad \nabla \times B =\mu_0 J +\mu_0 \epsilon_0 \frac{\partial}{\partial t} E$ ．

## 麦克斯韦方程第三组的解释
麦克斯韦方程组内多，其中第三组也就是上面公式(1-3)和(2-3)最容易理解，他也被称为磁场的高斯定律。
 
磁场的高斯定律：对于任意磁场 $B $ 和任意闭合曲面，曲面上的磁通量为零。

$$
\oint B  \cdot d s =0
$$

从磁场线的角度看，这意味着如果统计穿过任意的闭合曲面的磁感线数量，那么从内部穿到外面和从外面穿到内部的磁感线是相等的。也就是说空间任意一点的磁场散度为零。
我们知道电荷有正电荷和负电荷，磁极有N极和S极，多年来人类一直寻找有没有单独的磁北极或磁南极。**这个定律也从根本上否定了世界上是没有磁单极存在的**。

适用高斯定理可以写成微分形式：

$$
\nabla \cdot B =0
$$

上式表达的意思就是磁场的散度为零。如果将空间中某一点的磁场矢量看作是流体在该点的流速，那么磁场是无源无汇的。

下图是一个磁铁，并画出了磁力线。
 ![图片](/uploads/2025-01/4a9afa.jpg){width=300px}
 
想象一下现在把这个磁铁放到圆球里。因为N极磁极是向外，S极磁极是向内，那么最终结果，通过圆球的磁通量为零。
更一般的，这个圆球，可以是任意的体积，长方体，不规则空间体积都行，只有一个条件：他是密闭的。
 
 ### 简单推导过程
下面给出第三组方程的数学证明过程，这里需要使用[毕奥-萨伐尔定律](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1161)
 
由毕奥-萨伐尔定律定律
假设源位置为 $r ^{\prime}$ 的微小线元素 $d l ^{\prime}$ 有电流 $I$ ，则 $d l ^{\prime}$ 作用于场位置 $r$ 的磁场为：

$$
d B =\frac{\mu_0 I}{4 \pi} d l ^{\prime} \times \frac{ r - r ^{\prime}}{\left| r - r ^{\prime}\right|^3}
$$

由电流密度定义： $J =\lim _{S \rightarrow 0} \frac{I}{S}$ 
其中 $I$ 为通过单位面积 $S$ 电流
则 $r ^{\prime}$ 处的电流：$I=\int_{S^{\prime}} J \left(\tau^{\prime}\right) \cdot d S ^{\prime}$

$$
d B =\frac{\mu_0 J\left( r ^{\prime}\right)}{4 \pi} d S ^{\prime} \cdot d l ^{\prime} \times \frac{ r - r ^{\prime}}{\left| r - r ^{\prime}\right|^3}=\frac{\mu_0 J \left( r ^{\prime}\right)}{4 \pi} d V^{\prime} \times \frac{r- r ^{\prime}}{\left| r - r ^{\prime}\right|^3}
$$

两边积分 ：
$B ( r )=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{V^{\prime}} J \left( r ^{\prime}\right) \times \frac{ r - r ^{\prime}}{\left| r - r ^{\prime}\right|^3} d V^{\prime}$

以上给出 $B$ 的表达式，

下面证明 $\nabla \cdot B =0$

由 $\frac{ r - r ^{\prime}}{\left| r - r ^{\prime}\right|^3}=-\nabla\left(\frac{1}{\left| r - r ^{\prime}\right|}\right)$又因为 $\nabla$ 只对 $r$ 作用，即 $\nabla$ 对 $J \left( r ^{\prime}\right)$ 操作等于 0 ．
由分部积分 ：
$- J \left( r ^{\prime}\right) \times \nabla\left(\frac{1}{\left| r - r ^{\prime}\right|}\right)=\nabla \times\left(\frac{ J \left( r ^{\prime}\right)}{\left| r - r ^{\prime}\right|}\right)$ 可得：

$$
\begin{aligned}
& B ( r )=\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{V^{\prime}}- J \left( r ^{\prime}\right) \times \nabla\left(\frac{1}{\left| r - \xi ^{\prime}\right|}\right) d V^{\prime} \\
& =\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{V^{\prime}} \nabla \times\left(\frac{ J \left( r ^{\prime}\right)}{\left| r - \xi ^{\prime}\right|}\right) d V^{\prime} \\
& =\frac{\mu_0}{4 \pi} \nabla \times \int_{V^{\prime}}\left(\frac{ J \left( r ^{\prime}\right)}{\left| r - \xi ^{\prime}\right|}\right) d V^{\prime} \\
& =\nabla \times A , \text { 其中 } A =\frac{\mu_0}{4 \pi} \int_{V^{\prime}}\left(\frac{ J \left( r ^{\prime}\right)}{\left| r - r ^{\prime}\right|}\right) d V^{\prime}
\end{aligned}
$$

由矢量恒等式 $\nabla \cdot(\nabla \times A )=0$

$$
\Longrightarrow \nabla \cdot B =0
$$

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