最后更新: 2025-07-27 07:00 查看: 260 次反馈同步训练

附录3：麦克斯韦方程组

数学来自于物理，所以，数学得学习需要以物理作为背景，本文从物理的角度整体上概况一下数学中遇到的物理知识,下面的介绍主要涉及高中物理，以及少量的大学物理，然后从高等数学的角度看待物理。

## 标量场与矢量场
#### 标量场
假设有一个标量函数，这是我随便写的一个函数，
$$
f(x,y,z)=x^2+y^2-z  ...(1)
$$

![图片](/uploads/2025-04/e29d00.jpg){width=400px}

你可以把这个函数想象为空间里温度的表达式，给定一个点坐标$(x,y,z)$，就可以获得该点对应的温度值，例如取
$f(1,1,1)=1^2+1^2-1=1$ 则表示在空间坐标为 $(1,1,1)$的位置温度为1度，以此类推。
#### 矢量场
对于上面的温度，很多时候我们并不关心该点的温度的大小，而更关心该点“**温度变化趋势**”，很明显，只要两点有温度差，温度就会从高温传递到低温，而且直觉告诉我们，高温会选择最快的方向流向低温。

我们对$f$分别向坐标轴求偏导，就会得到3个数，这3个数组成一个向量，我们称呼他为“梯度”。 比如要求上面函数在(1,1,1)这点的梯度，只要把该函数分别对$x,y,z$求偏导再带入改点的值即可得到。
$x=\frac{\partial P}{\partial x}=2x=1$
$y=\frac{\partial Q}{\partial x}=4y=4$
$z=\frac{\partial R}{\partial z}=6z=6$

所以，$f(x)$ 在$P(1,1,1)$的梯度就是$\vec{OP}=(1,4,6)$ ，换句话说，**在$P(1,1,1)$点的温度，沿着$(1,4,6)$ 方向温差变化最大**。把每一点的向量生成出来（**温差标出来**），就是该标量函数(我们称作势函数)对应的向量场。
 
  ![图片](/uploads/2025-01/96c9f5.jpg){width=400px}

### 梯度
上面引入了梯度，下面再通俗解释一下，想象一下，你在山上，你要下山，你会怎么走？自然是沿着下山坡速度最快的方向走。 同样的，下图是一个等高线(你可以想象为海拔)，山坡曲面由$z=f(x,y)$给出，对于每一点$P_0(x_0,y_0)$，都会有一个速度，因为速度是矢量，通常分解为水平方向的$x$分量和垂直方向上的$y$分量, 但是我们都是使用$i$和$j$表示，即 $\boldsymbol{grad}$ 表示梯度，记号为：

$$
\boldsymbol{grad} f=  f_x(x_0,y_0)\boldsymbol{i} +f_y(x_0,y_0)\boldsymbol{j} 
$$

![图片](/uploads/2025-01/c24f06.svg){width=250px}
**方向导数**：是一个数,反映的是$f(x,y)$在$P_0$点沿方向$v$的变化率。就像你下山可以有多个方向，所以方向导数也可以有多个数。

**偏导数**：方向导数方向太多，我们通常关心的是只沿坐标轴方向的方向导数，因此二元函数就有两个偏导数。

**梯度**：梯度是一个向量；每个元素为函数对一元变量的偏导数；它既有大小（其大小为最大方向导数），也有方向。你可以把梯度想象为瞬时速度。 
 
 
在区域 $D$ 上定义的数值函数 $f(x, y, z)$ 称为 $D$ 上的**数量场**，同样，在 $D$ 上定义的向量值函数 $a (x, y, z)=(P, Q, R)$ 称为 $D$ 上的**向量场**．，详见[梯度的作用](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2685)

对于数量场 $f$ 有梯度

$$
\operatorname{grad} f=\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
$$

即生成了一个向量场，称为 $f$ 的梯度场，$f$ 就是这个梯度场的势函数．梯度反映了 $f$ 增长的最快方向和大小．
 
> 梯度相当于连接了数量场和向量场的桥梁，一个数量场通过梯度就可以求出他的向量场。这就相当于给定一个标量函数$f(x)$ 对每点求导，就可以得到一个速度，所有速度的集合，就是一个速度场（速度是矢量，所以是向量场）。
 
 
 
 
 
 
 
### 法向量
在一个曲面上，取一个面积元，当这个面积非常小时，这个面积可以近似看成平面。既然是平面，就能找到一条直线和这个平面垂直，这个直线就是法线，正如我们后面要考虑方向，就给他一个更专业的名字：法向量。表示他除了有大小还要有方向，如下图
 ![图片](/uploads/2025-01/e98751.svg)

**更炸了的是，梯度就是曲面的法向量。** ，假设函数为$z=f(x,y)$ ，移项后得到$f(x,y,z)=f(x,y)-1$， 对 $f(x,y,z)$ 求偏导，得到
$(f'(x), f'(y),-1)$ ,这样，我们就确定了曲面的法向量。具体推导请参考 [切平面与法线方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=395)

### 通量

想象水流以速度$v$通过面积是$S$的管道，那么$\Delta t$内通过的水流量就是$V=vS\Delta t$, 现在把管子开口倾斜，通过的水流量是$V=vS \cos \theta \Delta t$,
关注两个极端情况：
（1）$\theta=0$，此时水流量最大
（2）$\theta=\frac{\pi}{2}$, 也管口和水流平行，此时流量为零
 ![图片](/uploads/2025-01/9477a8.svg){width=400px}
 
 仔细观察 $V=vS \cos \theta \Delta t$ 
 
①如果你这样打括号$V=v (S \cos \theta) \Delta t$, 他的意义是水流速度不变，而通过得面积为有效面积。

②如果你这样打括号$V=(v \cos \theta ) S  \Delta t$, 他的意义是面积不变，但是水流速度分解为垂直截面的速度和平行截面的速度。

这两个理解都对，所以他们的结果是一样的。

设给定一向量场 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k$, 其中函数 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z) 、 R(x, y, z)$ 具有一阶连续偏导数，
曲面$\Sigma$为场内的一片有向光滑曲面， $n$ 为$\Sigma$ 上的某一 $M(x, y, z)$ 处的单位法向量。对面积的曲面积分:

$$
\iint_{\Sigma} \vec{A} \bullet \vec{n} d S=\iint_{\Sigma} P d y d z+Q d x d z+R d x d y
$$
称为向量场 $A$ 通过有向曲面 $\Sigma$ 的通量 , 详见[通量](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=434)

### 散度
我们在矢量场中取一个闭合曲面 $S$ ，其内部空间记为 $V$ 。以向外为正方向，矢量场 $F ( r )$ 在闭合曲面的通量 $\Phi$ 可以用以下面积分表示，积分范围默认为 $S$

$$
\Phi=\oint F \cdot d s
$$

![图片](/uploads/2025-01/d1bf72.jpg){width=200px}
 
现在我们把该曲面以其内部一点 $r$ 为中心按比例不断缩小，若通量与体积 $V$ 的比值存在极限，就把该极限叫做该点的散度（divergence），用 $div$ 表示， 所以，$A$点的散度为 
$$
div \boldsymbol{A} = \frac{\partial P}{\partial x} +\frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} 
$$

这里建议大家把散度当做三维空间里的放射元素。

考虑三种特殊情况：
① $div \boldsymbol{A} >0 $ , 这表示有源源不断的速度向外，这表示这是有**正源**，例如这里点中心有一个粒子。

② $div \boldsymbol{A} <0 $ , 这表示有源源不断的速度进来，这表示这是有负源，换句话说，他在不断从外部吸收能量，通俗的叫法，这是**黑洞**。
③$div \boldsymbol{A} =0 $， 既不吸收也不释放源泉，称作 **无源**

对于向量场 $a =(P, Q, R)$ 有散度
$$
\operatorname{div} a =\nabla \cdot a =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
$$
即生成了一个数量场，称为 $a$ 的散度场．如前所述，散度反映了流体速度场中的＂源＂和＂汇＂。

假设密度不变的水以匀速流动， 对于任何一个闭合曲面，流入的流量（负值）和流出的流量（正值）相等，总通量为零。所以该场的散度处处为零。 详见[散度](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2196)

> 散度用于确定是“有源场”还是“无源场”

### 环量
先看一个简单例子:如下这是一汪湖水，其中箭头所指方向为水流方向，长短为水流的力量大小：
 ![图片](/uploads/2025-01/56eb22.jpg){width=300px}

要计算一艘船在水流中受到多少旋转的力，就把这艘船丢到水里去。船的轮廓曲线抽象为封闭曲线，我们称为 $\Gamma$ ：
 ![图片](/uploads/2025-01/444f3b.jpg){width=300px}

详见 [环量](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2686)

### 旋度
上面小船的旋转是宏观体现，本质上是由微观一个个“漩涡”组成的，

![图片](/uploads/2025-04/b64e18.jpg){width=500px}

那么一个微体元，如何才能旋转呢？想象一个刚体放在磁场里，从左到右受力不同，如下图， 则刚体回进行转动。
  ![图片](/uploads/2025-01/c02757.jpg){width=300px}

物理学中我们知道旋转线速度 $=$ 角速度  $\times $ 半径 $(v=w r)$ ，所以角速度

$$
\omega=\frac{\partial v}{\partial r} \text {, 即 } \frac{\partial Q}{\partial X} \text { 。 }
$$

旋转轴方向垂直于 $X Y$ 平面。接下来我们看图中的 $A$ 点，如下图：

![图片](/uploads/2025-01/4f3061.jpg){width=300px}

这里的P1，P2和Q1，Q2指刚体上不同的点相对于 $Y$ 轴和X 轴 的角速度变化。
那么很容易发现该旋转是两个旋转的叠加，某一点的角速度

$$
\omega=\frac{\partial Q}{\partial X}-\frac{\partial P}{\partial Y}
$$

即旋度为

$$
\omega=\left(\frac{\partial Q}{\partial X}-\frac{\partial P}{\partial Y}\right) k
$$

由于这是在XOY平面得出的结果，同样在YOZ，XOZ平面也可以得出同样的推论，因此得到旋度公式,详细介绍请点击[此处](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=435)

$$
\operatorname{rot} A=\left(\frac{\partial R}{\partial Y}-\frac{\partial Q}{\partial Z}\right) i+\left(\frac{\partial P}{\partial Z}-\frac{\partial R}{\partial X}\right) j+\left(\frac{\partial Q}{\partial X}-\frac{\partial P}{\partial Y}\right) K
$$

向量场 $a =(P, Q, R)$ 出发给出旋度公式

$$
\begin{aligned}
\operatorname{rot} a & =\nabla \times a =\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right| \\
& =\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial z}, \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right),
\end{aligned}
$$

这样就又生成了一个向量场，称为 $a$ 的**旋度场**．旋度反映了向量场的旋转程度。

## 调和场
若向量场 $A$ 的旋度 $\operatorname{rot} A$ 处处为零，则称向量场 $A$ 为无旋场．而一个无源且无旋的向量场称为调和场．

利用旋度，可以推出：如果一个（三维）矢量场在某个方向上没有分量（即平面场），则其旋度的方向（面元的法向量）必然平行于该方向

### 梯度，散度和旋度的运算公式
设 $f, g$ 为数量场， $a , b$ 为向量场，假定都连续可微．则有以下用 nabla 算子写出的运算规则，它们都可以按照定义直接验证．
$$
\begin{aligned}
& \nabla(\alpha f+\beta g)=\alpha \nabla f+\beta \nabla g, \\
& \nabla \cdot(\alpha a +\beta b )=\alpha \nabla \cdot a +\beta \nabla \cdot b , \\
& \nabla \times(\alpha a +\beta b )=\alpha \nabla \times a +\beta \nabla \times b , \\
& \nabla(f g)=(\nabla f) g+f(\nabla g), \\
& \nabla \cdot(f a )=f(\nabla \cdot a )+(\nabla f) \cdot a , \\
& \nabla \times(f a )=f(\nabla \times a )+(\nabla f) \times a , \\
& \nabla \cdot(\nabla \times a )=0, \\
& \nabla \times(\nabla f)= 0 .
\end{aligned}
$$

特别注意最后两个公式，前者表明任何向量场的旋度的散度为零，即旋度不生不灭，后者表明任和数量场的梯度的旋度为零向量，即梯度场没有任何旋转性质。从格林定理知道这就是满足恰当条件，在单连通区域内与存在势函数等价．

### 三阶行列式
我们定义三阶行列式的计算为：详见[行列式教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=237)
$$
A=\left|\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32} -a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}
$$

因为我们生活在三维空间，通常用$i,j,k$来表示$x,y,z$轴，那么
就可以得到
$$
\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{array}\right|= \left|\begin{array}{ll}
a_y & a_z \\
b_y & b_z
\end{array}\right| i +(-1)\left|\begin{array}{cc}
a_x & a_z \\
b_x & b_z
\end{array}\right| j +\left|\begin{array}{ll}
a_x & a_y \\
b_x & b_y
\end{array}\right| k
$$

$$
=\left(a_y b_z-a_z b_y\right) i -\left(a_x b_z-a_z b_x\right) j +\left(a_x b_y-a_y b_x\right) k
$$

如果设 $\boldsymbol{a} =\left(a_x, a_y, a_z\right)=a_x i +a_y j +a_z k , \boldsymbol{b} =\left(b_x, b_y, b_z\right)=b_x i +b_y j +b_z k$ ，
则可以得到

$$
\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b}=\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
a_x & a_y & a_z \\
b_x & b_y & b_z
\end{array}\right| 
$$

这表示两个向量的叉积可以用一个三阶行列式表示。有了三阶行列式，就可以把一些复杂的公式简写了。

##  哈密顿算子$\nabla$ 与 拉普拉斯算子$\Delta$  
在进行进一步讲解前，我们介绍两个符号：哈密顿算子和 拉普拉斯算子。
所谓算子， 就是一个函数变为另外一个函数，最简单的$f(x)$求导变成$f'(x)$就是一个算子，更通俗的说，你可以想象为他是一个**简写**。就像我们说电视不说television，而说TV一样，使用算子，会让公式看起来非常简洁，但是苦了不懂算子的人。

在物理中，有2个重要的算子：哈密顿算子和拉普拉斯算子
### 哈密顿算子$\nabla$
形如这样的叫哈密顿算子，记做 $\nabla$，中文叫“那布拉”
$$
\nabla=\left\{\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right\} .
$$
这里的$f$表示一个函数，$x,y,z$表示对$f$分别求[偏导数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=380)。
所以，$f$带入不同的值，会有不同的物理意义，常见的有2个：

①设 $f=U(x, y, z)$ 为数量场，则梯度 $\operatorname{grad} U=\nabla U$ ．
②设 $f=\vec{F}(x, y, z)$ 为向量场，则散度 $\operatorname{d

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