最后更新: 2025-11-06 14:24 查看: 255 次纠错评论(0) 课件开VIP

数量场与向量场

## 数量场与向量场
数学研究的函数主要包括两类：
（1）标值函数，即只有大小的函数。
（2）向量函数，同时有大小和方向的函数。

在物理学里，像质量、功，温度都是只有大小的量叫**标量**。而力，速度，加速度、磁场等既有大小又有方向的量这些量被称作**矢量(向量)**，这些矢量构成的函数叫做“向量函数”。

所谓场，就是一种分布。气压、气温、电位、电场强度、流体密度、速度等由空间位置及时间所确定的物理量，它们在空间或在部分空间上的分布就称为场. 下面以三维空间进行介绍。

## 数量场定义
若形成场的物理量是数量，则称为**数量场**，即如果对于空间区域 $G$ 内的任一点 $M$ ，都有一个确定的数量函数 $f$ ，则称在空间区域 $G$ 内确定了一个数量场；一个数量场可用一个数量函数 $f$ 来确定，比如：大气温度的分布、流体 密度的分布都形成数量场；下图显示了函数 $z=f(x,y)$ 在三维空间里的图像

![图片](/uploads/2025-04/e29d00.jpg){width=400px}

## 数量场的现实意义
下面通过一个简单的例子解释数量场的实际意义。假设有一个数量函数
$$
f(x,y,z)=x^2+y^2-z  ...(1)
$$

> **你可以把这个函数想象为空间里温度的表达式，给定一个点坐标，将对应该点的温度值**

例如取
$f(1,1,1)=1^2+1^2-1=1$ 表示在坐标为 $(1,1,1)$的位置温度为1度，
$f(0,0,0)=0^2+0^2-0=0$ 表示在坐标为 $(0,0,0)$的位置温度为0度，以此类推，下图换出了该函数的示意图。

![图片](/uploads/2025-09/e38999.jpg){width=400px}
 
 
 ##  等值面与等值线

### 为什么引入等值面
对称普通的三元二次函数，例如$F(x,y,z)=x^2+3y^2-5z^2$ 我们很难知道他表示的什么图像，在这种情况下，一个简单的解决方法是：**保持一个变量的值不变而让另外的值改变，观察变量生成的图像**。
因此，为了分析图像的几何形状，引入了等值面。

在三维空间里，曲面方程为$z=f(x,y)$  ，水平平面方程为$z=c$(c为常数), 用水平平面横向切割空间曲线，因此，可求得**等值线方程** $L:f(x,y)=c$ 即：
$$
\left\{
\begin{array}{c}
z=f(x,y) \\
z=c
\end{array}
\right.
$$
 
 下图显示了空间曲线$z=x e^{-5x^2-8 y^2}$ 被水平平面横切的计算机模拟图像。
 ![图片](/uploads/2025-04/627466.jpg){width=500px}
 
当水平平面与曲面相交时，会形成一个切痕，切痕上的值都是相等的，把切痕往下投影，就形成了一圈圈曲线称作**等值线**。如下图
 
 ![图片](/uploads/2025-04/6d2447.jpg){width=300px}
 
 下图是对上面的描述
 
  ![图片](/uploads/2025-11/24a34d.jpg){width=400px}
 
  
  
下图显示了地理课程里常见的等值线（也叫等高线）。用一个个水平的平面切割山体，投影后形成了一个个等值线。

![图片](/uploads/2024-12/850c4f.jpg){widht=300px}
 
 
 
## 向量场

### 为什么引入向量场
在生活中，我们都有这样的经验：很多时候，我们关注的是“数量差”而不是数值的绝对大小。比如对于商贩来说，一个产品进价是100元销售是101元，和另一个产品进价10元销售12元，虽然前者价格更高，但是并没有后者给商贩带来的利益更多。再如对于股票买卖，投资者更在乎的是股票差价而不是股票绝对值的大小。
生活中也有更多的例子，比如气温差、气压差、风速差等等，都迫使我们研究函数值的变化。

### 一个具体的例子
 以上面温度为例，我们知道当温度存在温度差时，温度会从高温向低温流动，所以，**我们要了解温度变化的大小与方向**。

为此，我们对$f(x,y,z)$ 求偏导得到导函数

$$
f'(x,y,z)=(2x,2z,-1)
$$

写成向量函数就是：

$$
\vec{F}(x, y, z)=<2 x, 2 y, -1>  ...(2)
$$

有了导函数，每给一个点坐标，就有一个向量函数值。

例如 取$x=1,y=1,z=1$ 得$F_{(1,1,1)}=<2,2,-1>$ ，也就是在空间坐标为$(1,1,1)$ 这点温差的方向是向量 $<2,2,-1>$的方向，温差的大小是  向量$<2,2,-1>$的模长。 这样，有了向量函数，就可以求出每一点的向量大小和方向。

利用计算机可以模拟（2）式中向量场的**三维空间**图像如下：
 
> **从图中可以很容易看到每一点温度变化的方向与大小**。

![图片](/uploads/2025-01/96c9f5.jpg){width=400px}

### 向量函数投影
有时候，为了研究的方便，我们通常使用二维平面进行研究向量场，常用的就是从上往下观察向量空间，用数学语言描述就是 令向量函数里的 $z=0$，让其投影到 $XOY$ 平面上，即
$$
\vec{F}(x, y, z)=<2 x, 2 y, 0> ...(3)
$$

投影后，就更容易看到温差变化的大小与趋势，越靠近中心向量场越稀疏(表示中心温差变化小)，越靠近外面，向量场稠密（表示周围温差变化大）。
 ![图片](/uploads/2025-01/ea80f1.jpg){width=400px}
 
### 梯度
在上面（2）式里，我们给他一个专业的名字叫做**梯度**，通过梯度就可以了解温差变化的规律，这就是梯度的作用。

### 数量场转为向量场
在上面方程（1）的函数$f(x)$称作数量场，而方程（2）称作数量场生成的向量场，具体定义如下。

## 数量场转为向量场
对于数量场 $f=f(x,y,z)$ ，分别对$x,y,z$ 求偏导，这样得到三个分量，这3个分量可以组成一个向量，称为数量场$f$生成的对应向量场

如果向量场用$\boldsymbol{R}$ 表示，则
$\boldsymbol{R}= \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right) $ 。

上面的记发过于麻烦，为此我们引入一个记法：$grad$ 用他来表示梯度。即
$$
\operatorname{grad} f= \left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
$$

上面的的记法还是过于麻烦，为此引入一个简写：$\nabla$ 算子。

$$
\nabla f=\operatorname{grad} f=\left(\frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z}\right)
$$

> 看到 $\nabla$ 就表示他是对各个分量求偏导

`例` 设$f=x^2+y^2$ 求 $\nabla f$
解：$ \frac{\partial f}{\partial x} =2x,  \frac{\partial f}{\partial x} =2y$

所以 $\nabla f=(2x,2y)$

在例1里，这样数量场$f$即生成了一个向量场，称为 $f$ 的**梯度场**，$f$ 就是这个梯度场的**势函数**． 梯度反映了 $f$ 增长的最快方向和大小．

对于向量场 $a =(P, Q, R)$ 有散度
$$
\operatorname{div} a =\nabla \cdot a =\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
$$

即生成了一个数量场，称为 $a$ 的**散度场**，具体后面会介绍。

## 梯度运算公式

在数学中或物理学中，梯度 grad 还可用 $\nabla$（nabla）表示，即

$$
\nabla u=\operatorname{grad} u .
$$

它有如下的运算法则：
（1）$\nabla C=\mathbf{0}$（ $C$ 为常数）；
（2）$\nabla(u \pm v)=\nabla u \pm \nabla v$ ；
（3）$\nabla(u v)=u \nabla v+v \nabla u$ ；
（4）$\nabla\left(\frac{u}{v}\right)=\frac{1}{v^2}(v \nabla u-u \nabla v)$ ．
这与求导的公式很相似．但是，我们应提醒读者，上述等式是向量等式，而不是数量等式。

比上述运算规则更为一般的是
（5）$\nabla \varphi(u)=\varphi^{\prime}(u) \nabla u$ ；
（6）$\nabla \psi(u, v)=\psi^{\prime}{ }_u \nabla u+\psi^{\prime}{ }_v \nabla v$ ．
有了这些公式，计算梯度就方便些了。

`例` 设 $r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ，求数量场 $u=\varphi(r)$ 在一点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 的梯度，其中 $x_0, y_0, z_0$ 不全为零．

解 根据前面的公式，$\nabla u=\varphi^{\prime}(r) \nabla r$ ．而 $\nabla r=\left(\frac{x}{r}, \frac{y}{r}, \frac{z}{r}\right)$ ．因此，$u= \varphi(r)$ 在 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的梯度是

$$
\left.\nabla u\right|_{\left(x_0, y_0, z_0\right)}=\varphi^{\prime}\left(r_0\right) \frac{1}{r_0}\left(x_0, y_0, z_0\right),
$$

其中 $r_0=\sqrt{x_0^2+y_0^2+z_0^2}$ ．
有时将梯度运算写成向量形式

$$
\nabla u=\frac{\partial u}{\partial x} i+\frac{\partial u}{\partial y} j+\frac{\partial u}{\partial z} k \text { 或 } \nabla=\frac{\partial}{\partial x} i+\frac{\partial}{\partial y} j+\frac{\partial}{\partial z} k \text {, }
$$

其中 $i, j, k$ 分别是 $x$ 轴，$y$ 轴及 $z$ 轴的单位向量。
在一个向量场 $\boldsymbol{F}$ 中，若曲线 $\Gamma$ 上的每一点 $M$ 处的切线都与向量场 $\boldsymbol{F}$ 在 $M$ 点的向量 $\left.\boldsymbol{F}\right|_M$ 共线，则 $\Gamma$ 被称为向量线，如图所示。

![图片](/uploads/2025-11/c456e5.jpg)

电场中的电力线及磁场中的磁力线都是向量线的例子。

显然，若 $u$ 为一数量场，那么它的梯度 $\operatorname{grad} u$ 所形
 
成的向量场的向量线与它穿越的 $u$ 的等值面垂直．

建议读者联系物理中常见的数量场说明这一结论．

### 完整公式

设 $f, g$ 为数量场， $a , b$ 为向量场，假定都连续可微．则有以下用 nabla 算子写出的运算规则，它们都可以按照定义直接验证．
$$
\boxed{
\begin{aligned}
& \nabla(\alpha f+\beta g)=\alpha \nabla f+\beta \nabla g, \\
& \nabla \cdot(\alpha a +\beta b )=\alpha \nabla \cdot a +\beta \nabla \cdot b , \\
& \nabla \times(\alpha a +\beta b )=\alpha \nabla \times a +\beta \nabla \times b , \\
& \nabla(f g)=(\nabla f) g+f(\nabla g), \\
& \nabla \cdot(f a )=f(\nabla \cdot a )+(\nabla f) \cdot a , \\
& \nabla \times(f a )=f(\nabla \times a )+(\nabla f) \times a , \\
& \nabla \cdot(\nabla \times a )=0, \\
& \nabla \times(\nabla f)= 0 .
\end{aligned}
}
$$

特别注意最后两个公式，**前者表明任何向量场的旋度的散度为零，即旋度不生不灭，后者表明任和数量场的梯度的旋度为零向量，即梯度场没有任何旋转性质**
从 Green 定理知道这就是满足恰当条件，在单连通区域内与存在势函数等价．

下面是关于 $\nabla \cdot(\nabla \times a )=0$ 的验证．由以下计算得到

$$
\begin{aligned}
\nabla \cdot(\nabla \times a ) & =\left|\begin{array}{ccc}
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right| \\
& =\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right)+\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right)+\frac{\partial}{\partial z}\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)
\end{aligned}
$$

可见对于二阶连续可微的向量场来说，由于二阶混合偏导数与求偏导顺序无关，因此一定成立。

同样可以直接验证 $\nabla \times(\nabla f)= 0$ ．为此只要作如下计算：

$$
\nabla \times(\nabla f)=\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} & \frac{\partial f}{\partial z}
\end{array}\right|
$$

就可以直接看出当数量场 $f$ 二阶连续可微时，同样由于二阶混合偏导数与求偏导的顺序无关，因此上述向量场的三个分量都恒等于 0 ．这表明有势场一定满足恰当条件，且对一般区域都如此。

此外还有常用记号为
$$
\nabla \cdot \nabla f=\Delta f
$$

其中 $\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}$ 为 Laplace 算子，二阶偏微分方程方程 $\Delta u=0$ 称为 Laplace 方程或调和方程，满足该方程的函数称为**调和函数**． 关于调和函数可以在《复变函数与积分变换》课程里，会给出进一步研究，详见[复变函数里的调和函数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=854)。

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