最后更新: 2025-11-06 14:24 查看: 234 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

数量场与向量场

## 数量场与向量场
数学研究的函数主要包括两类：
（1）标值函数，即只有大小的函数。
（2）向量函数，同时有大小和方向的函数。

在物理学里，像质量、功，温度都是只有大小的量叫**标量**。而力，速度，加速度、磁场等既有大小又有方向的量这些量被称作**矢量(向量)**，这些矢量构成的函数叫做“向量函数”。

所谓场，就是一种分布。气压、气温、电位、电场强度、流体密度、速度等由空间位置及时间所确定的物理量，它们在空间或在部分空间上的分布就称为场. 下面以三维空间进行介绍。

## 数量场定义
若形成场的物理量是数量，则称为**数量场**，即如果对于空间区域 $G$ 内的任一点 $M$ ，都有一个确定的数量函数 $f$ ，则称在空间区域 $G$ 内确定了一个数量场；一个数量场可用一个数量函数 $f$ 来确定，比如：大气温度的分布、流体 密度的分布都形成数量场；下图显示了函数 $z=f(x,y)$ 在三维空间里的图像

![图片](/uploads/2025-04/e29d00.jpg){width=400px}

## 数量场的现实意义
下面通过一个简单的例子解释数量场的实际意义。假设有一个数量函数
$$
f(x,y,z)=x^2+y^2-z  ...(1)
$$

> **你可以把这个函数想象为空间里温度的表达式，给定一个点坐标，将对应该点的温度值**

例如取
$f(1,1,1)=1^2+1^2-1=1$ 表示在坐标为 $(1,1,1)$的位置温度为1度，
$f(0,0,0)=0^2+0^2-0=0$ 表示在坐标为 $(0,0,0)$的位置温度为0度，以此类推，下图换出了该函数的示意图。

![图片](/uploads/2025-09/e38999.jpg){width=400px}
 
 
 ##  等值面与等值线

### 为什么引入等值面
对称普通的三元二次函数，例如$F(x,y,z)=x^2+3y^2-5z^2$ 我们很难知道他表示的什么图像，在这种情况下，一个简单的解决方法是：**保持一个变量的值不变而让另外的值改变，观察变量生成的图像**。
因此，为了分析图像的几何形状，引入了等值面。

在三维空间里，曲面方程为$z=f(x,y)$  ，水平平面方程为$z=c$(c为常数), 用水平平面横向切割空间曲线，因此，可求得**等值线方程** $L:f(x,y)=c$ 即：
$$
\left\{
\begin{array}{c}
z=f(x,y) \\
z=c
\end{array}
\right.
$$
 
 下图显示了空间曲线$z=x e^{-5x^2-8 y^2}$ 被水平平面横切的计算机模拟图像。
 ![图片](/uploads/2025-04/627466.jpg){width=500px}
 
当水平平面与曲面相交时，会形成一个切痕，切痕上的值都是相等的，把切痕往下投影，就形成了一圈圈曲线称作**等值线**。如下图
 
 ![图片](/uploads/2025-04/6d2447.jpg){width=300px}
 
 下图是对上面的描述
 
  ![图片](/uploads/2025-11/24a34d.jpg){width=400px}
 
  
  
下图显示了地理课程里常见的等值线（也叫等高线）。用一个个水平的平面切割山体，投影后形成了一个个等值线。

![图片](/uploads/2024-12/850c4f.jpg){widht=300px}
 
 
 
## 向量场

### 为什么引入向量场
在生活中，我们都有这样的经验：很多时候，我们关注的是“数量差”而不是数值的绝对大小。比如对于商贩来说，一个产品进价是100元销售是101元，和另一个产品进价10元销售12元，虽然前者价格更高，但是并没有后者给商贩带来的利益更多。再如对于股票买卖，投资者更在乎的是股票差价而不是股票绝对值的大小。
生活中也有更多的例子，比如气温差、气压差、风速差等等，都迫使我们研究函数值的变化。

### 一个具体的例子
 以上面温度为例，我们知道当温度存在温度差时，温度会从高温向低温流动，所以，**我们要了解温度变化的大小与方向**。

为此，我们对$f(x,y,z)$ 求偏导得到导函数

$$
f'(x,y,z)=(2x,2z,-1)
$$

写成向量函数就是：

$$
\vec{F}(x, y, z)=<2 x, 2 y, -1>  ...(2)
$$

有了导函数，每给一个点坐标，就有一个向量函数值。

例如 取$x=1,y=1,z=1$ 得$F_{(1,1,1)}=<2,2,-1>$ ，也就是在空间坐标为$(1,1,1)$ 这点温差的方向是向量 $<2,2,-1>$的方向，温差的大小是  向量$<2,2,-1>$的模长。 这样，有了向量函数，就可以求出每一点的向量大小和方向。

利用计算机可以模拟（2）式中向量场的**三维空间**图像如下：
 
> **从图中可以很容易看到每一点温度变化的方向与大小**。

![图片](/uploads/2025-01/96c9f5.jpg){width=400px}

### 向量函数投影
有时候，为了研究的方便，我们通常使用二维平面进行研究向量场，常用的就

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