最后更新: 2025-10-13 16:20 查看: 144 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

为什么引入特征值与特征向量

> 本章内容总体概述：假设有一头猪，我们要给他拍照，首先会选一个视角，这个视角就是矩阵（你也可以把这个矩阵理解为一个“参照物”），我们可以从不同视角给猪拍照，这些不同的视角和最初的视角是彼此相似的，如何找到不同的视角利用的就是特征值与特征向量。在这些视角里，会有一个比较好的视角（你可以理解为给猪正面拍照），这就是矩阵的对角化。 我们发现不是每个矩阵都可以对角化的，但是实对称矩阵一定可以对角化，所以，我们提出了正交相似（矩阵是一个二维表格，如果是对称矩阵，则他相当于对$x,y$轴进行了同比例缩放，自然图像不会坍塌）。如果这个对称矩阵的行列式的值为1或者-1，这个矩阵就是正交矩阵。使用正交矩阵产生的变换就是正交变换。当使用正交变换时，图像不变（长度、角度都不变），进一步可以简单的理解为正交变换就是坐标轴的旋转。

> 从上面的介绍，可以看到，在对矩阵的变换里，我们是层层推进的 （1）先找相似矩阵 （2）在找相似对角化 （3）再找对称矩阵的对角化 （4）再找行列式的值为1或者-1的对称矩阵的对角化，即正交矩阵。 而普通矩阵转为正交矩阵使用的是 施密特正交化工具。

## 为什么引入特征值与特征向量

### 引例1
**特征值与特征向量反映的是矩阵变换里的不变量（方向不变）**。这句话可能不好理解，所以，先看初中学过的凸透镜成像。
在初中物理里，我们都学过凸透镜成像，凸透镜成像核心口诀有2句：
（1）平行于主轴的光线经过成像后经过焦点
（2）经过凸透镜中心的光线方向不变
这2个直线相交，就获得了“像”的位置，所以，物体成像虽然复杂，但是抓住**核心的几个不变点**，就能找到像的规律
 ![图片](/uploads/2025-08/0c0ec7.jpg){width=600px}

### 引例2
矩阵作用向量，会使得向量发生缩放与旋转，**但是总有一些向量只伸缩不旋转**。因为线性的关系，通常我们只需要抓住几个关键点，就能描述变换的规律。比如 [剪切矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2605)  K 
$$
K=\left[\begin{array}{cc}1 & 1.5 \\ 0 & 1\end{array}\right]
$$

$K$作用在  $OAG$上， 如果我们能找到 $A',G'$ 这两个关键点，那么 自然的 $ O A ' G'$ 就是 $OAG$ 变换后的像,如下图所示

![图片](/uploads/2025-07/d5300d.jpg)

直角三角形 $\triangle O A G$ 内部的无数向量被水平方向切变到 $\triangle O A^{\prime} G^{\prime}$ 钝角三角形内部的向量。图中，原向量与被变换的向量由一根根虚线段 $\left(A A^{\prime}, B B^{\prime}, \cdots, G G^{\prime}\right)$ 连接，因为是水平切变，因此这根虚线段所代表的向量差是水平的。

显然，这些虚线段 $A A^{\prime}, B B^{\prime}, \cdots, G G^{\prime}$ 所表示的向量变化量是由矩阵 $\left[\begin{array}{cc}1 & 1.5 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 带来的；这些变换量的特点是 $A A^{\prime}$ 线段最长，$B B^{\prime}$ 线段长度次之，$\cdots \cdots$ 直到 $G G^{\prime}$ 线段长度变为 0 。这时原向量 $\overrightarrow{O G}$ （ $x$ 坐标单位向量）和变换向量 $\overrightarrow{o G^{\prime}}$ 重合。由特征值和特征向量的定义可知，向量 $\overrightarrow{o G}=(1,0)$是矩阵 $\left[\begin{array}{cc}1 & 1.5 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 的特征向量，因为这个特征向量的变化量为 0 ，原向量与被变换向量相等，变换的比例为 1 ，所以特征值是 1 。

进一步的，复杂图像是由简单几何体构成而成，而几何体由一根根向量组成,这样，对微观向量的改变就会导致宏观图像的改变。下图展示了矩阵作用图片后的水平拉伸效果。

![图片](/uploads/2025-04/6f1344.jpg){width=500px}

>**因此，矩阵的特征值和特征向量相当于帮助我们找到矩阵变换里的不变量。**

## 特征值和特征向量的作用

为了方便理解为

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