最后更新: 2025-08-26 11:52 查看: 39 次反馈同步训练

为什么引入特征值与特征向量

## 为什么引入特征值与特征向量

### 引例1
**特征值与特征向量反映的是矩阵变换里的不变量（方向不变）**。这句话可能不好理解，所以，先看初中学过的凸透镜成像。
在初中物理里，我们都学过凸透镜成像，凸透镜成像核心口诀有2句：
（1）平行于主轴的光线经过成像后经过焦点
（2）经过凸透镜中心的光线方向不变
这2个直线相交，就获得了“像”的位置，所以，物体成像虽然复杂，但是抓住**核心的几个不变点**，就能找到像的规律
 ![图片](/uploads/2025-08/0c0ec7.jpg){width=600px}

### 引例2
矩阵作用向量，会使得向量发生缩放与旋转，**但是总有一些向量只伸缩不旋转**。因为线性的关系，通常我们只需要抓住几个关键点，就能描述变换的规律。比如 [剪切矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2605)  K 
$$
K=\left[\begin{array}{cc}1 & 1.5 \\ 0 & 1\end{array}\right]
$$

$K$作用在  $OAG$上， 如果我们能找到 $A',G'$ 这两个关键点，那么 自然的 $ O A ' G'$ 就是 $OAG$ 变换后的像,如下图所示

![图片](/uploads/2025-07/d5300d.jpg)

直角三角形 $\triangle O A G$ 内部的无数向量被水平方向切变到 $\triangle O A^{\prime} G^{\prime}$ 钝角三角形内部的向量。图中，原向量与被变换的向量由一根根虚线段 $\left(A A^{\prime}, B B^{\prime}, \cdots, G G^{\prime}\right)$ 连接，因为是水平切变，因此这根虚线段所代表的向量差是水平的。

显然，这些虚线段 $A A^{\prime}, B B^{\prime}, \cdots, G G^{\prime}$ 所表示的向量变化量是由矩阵 $\left[\begin{array}{cc}1 & 1.5 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 带来的；这些变换量的特点是 $A A^{\prime}$ 线段最长，$B B^{\prime}$ 线段长度次之，$\cdots \cdots$ 直到 $G G^{\prime}$ 线段长度变为 0 。这时原向量 $\overrightarrow{O G}$ （ $x$ 坐标单位向量）和变换向量 $\overrightarrow{o G^{\prime}}$ 重合。由特征值和特征向量的定义可知，向量 $\overrightarrow{o G}=(1,0)$是矩阵 $\left[\begin{array}{cc}1 & 1.5 \\ 0 & 1\end{array}\right]$ 的特征向量，因为这个特征向量的变化量为 0 ，原向量与被变换向量相等，变换的比例为 1 ，所以特征值是 1 。

进一步的，复杂图像是由简单几何体构成而成，而几何体由一根根向量组成,这样，对微观向量的改变就会导致宏观图像的改变。下图展示了矩阵作用图片后的水平拉伸效果。

![图片](/uploads/2025-04/6f1344.jpg){width=500px}

>**因此，矩阵的特征值和特征向量相当于帮助我们找到矩阵变换里的不变量。**

## 特征值和特征向量的作用

为了方便理解为什么要引入特征值与特性向量，我们先看一个结论：**如果有了特征值与特征向量他们有什么作用**。 一个简单的作用是可以找到一个新基，在新基下可以实现对图形进行“扶正”。

假设给你一个斜椭圆方程 $x^2+xy+y^2=1$ ,画出其图像如下，如果问椭圆长轴长和短轴长是多少，其实并不容易求出，因为他们不是我们遇到的标准椭圆（椭圆的标准方程是 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$），但是利用特征值与特征向量就可以把图像扶正。

![图片](/uploads/2025-07/93b54b.jpg){width=500px}

“扶正”的过程可能比较难理解，这时候我们反向思考，如果最开始是一个圆，它通过某个线性变换，拉伸并旋转成了上面的椭圆，我们现在要做的就是看看圆是怎么变成椭圆的。
在这里，要插入一个小知识（关于[二次型](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=500)）：因为笛卡尔直角坐标系是最基础的坐标系，所以，所有图形都是以该坐标系为基础，而

$$
\left[\begin{array}{ll}
x & y
\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0& 1
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x \\
y
\end{array}\right]=1
$$

表示的正好是单位圆 (即$x^2+y^2=1$)，所以上面的问题可以描述为圆是怎么通过下面的矩阵A变为斜椭圆的。
$$
A=\left[\begin{array}{cc}
1 & \frac{1}{2} \\
\frac{1}{2} & 1
\end{array}\right]
$$

提示：事实上，圆不应该把他当做由点组成，而应该把圆当做由一个个向量组成。这里直接说由点组成，只是为了方便理解。

![图片](/uploads/2025-07/4380b9.jpg){width=500px}

## 矩阵分解
矩阵分解和因式分解类似，比如$25 * 12 =25 * 4 * 3 $,把$12$分解为$4 * 3 $,然后利用$25 * 4=100$ 就很容易计算。 矩阵作用于向量，相当于对向量进行了“缩放”和“旋转”，而特征值相当于缩放倍数，特征向量相当于找到了一组正交基。
现在把上面的矩阵A进行分解的，参考下图 （矩阵A分解成了3个矩阵相乘，可能你会疑惑这3个矩阵相乘真的等于$A$吗？你可以自己验算一下，确实等于$A$，即$A=P \Lambda P^{-1}$）

![图片](/uploads/2025-08/7ce1d1.jpg){width=500px}
 
 
 
对角矩阵的对角线上是特征值，一个矩阵表示的线性变换，只有特征值才有拉伸作用，拉伸方向就是对应的特征向量方向，显然特征值越大拉伸得越长，其它方向上的拉伸都是“被动拉伸”，所以椭圆的长轴就是最大特征值的拉伸结果。

两边的矩阵是旋转矩阵，这里进行了单位化，稍后进行解释，

至此，我们大致能了解“圆”是怎么变成“斜椭圆”的，首先坐标轴先逆时针旋转$45^{\circ}$,接着把圆想象为弹性皮筋，手捏住两端拉伸，往上拉伸了$\frac{3}{2}$， 往左右拉伸了$\frac{1}{2}$ , 即可得到斜椭圆。

注意：

$$
P=\left[\begin{array}{cc}
\frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\
\frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2}
\end{array}\right] 
$$ 
是线性变换里常使用的一个旋转$45^{\circ}$ 矩阵， 关于旋转矩阵见[旋转矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2605)

当然后面又乘以了$P^{-1}$，他是顺时针旋转$45^{\circ}$，相当于再把坐标系再还原回来。

## 特征值与特征向量的作用
通过上面的操作，可以看到**特征向量相当于帮助我们找到了一个正交基，而特征值相当于在找到的正交基里，各个维度缩放的倍数**，参考下图红色的虚坐标轴。

![图片](/uploads/2025-07/041ca6.jpg){

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