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特征值与特征向量的几何意义

## 为什么要引入特征值与特征向量
我们在研究线性变换时. 特别关心这样一个问题：对给定线性空间 $R^n$ 上的线性变换，能否找到 $R^n$ 的一组基，使得该线性变换在这组基下的**表示矩阵**，他**具有特别简单的形状**. 比如, 若我们能找到 $R^n$ 的一组基 $\left\{e_1, e_2, \cdots, e_n\right\}$, 使线性变换 $\varphi$ 在这组基下的表示矩阵为对角阵:

$$
\left(\begin{array}{llll}
a_1 & & & \\
& a_2 & & \\
& & \ddots & \\
& & & a_n
\end{array}\right) .
$$

这时, 若 $\boldsymbol{\alpha}=k_1 \boldsymbol{e}_1+k_2 \boldsymbol{e}_2+\cdots+k_n \boldsymbol{e}_n$, 则

$$
\boldsymbol{\varphi}(\boldsymbol{\alpha})=a_1 k_1 \boldsymbol{e}_1+a_2 k_2 \boldsymbol{e}_2+\cdots+a_n k_n \boldsymbol{e}_n
$$

线性变换 $\varphi$ 的表达式非常简单. 线性变换 $\varphi$ 的许多性质也变得一目了然. 如若 $a_1, a_2, \cdots, a_r$ 不为零, 而 $a_{r+1}=\cdots=a_n=0$, 则 $\boldsymbol{\varphi}$ 的秩为 $r$, 且 $\operatorname{Im} \boldsymbol{\varphi}$ 就是由 $\left\{e_1, e_2, \cdots, e_r\right\}$ 生成的子空间, 而 $\operatorname{Ker} \varphi$ 则是由 $\left\{e_{r+1}, \cdots, e_n\right\}$ 生成的子空间,等等.

我们已经知道, 一个线性变换在不同基下的表示矩阵是相似的. 因此用矩阵的语言重述上面提到的问题就是: 能否找到一类特别简单的矩阵, 使任一矩阵与这类矩阵中的某一个相似？比如，我们可以问：是否所有的矩阵都相似于对角阵? 若不然, 哪一类矩阵可以相似于对角阵?

在分块矩阵里，我们曾经学过，每一个矩阵都可以按列进行分块，我们自然想到：我们提取矩阵的某一列作为行向量$\alpha$,上述的问题可以表述为：我们希望找到一个矩阵$A$和一个向量$\lambda$,使得$A \alpha= \lambda \alpha$ ，这样就相当于通过一个矩阵转换，把一个行向量转换为了一个数，这是最原始的想法。

> 从因式分解的角度或许更容易理解特征值与特征向量？ 比如，老师让我们求 $ 25 * 12 $ ，直接计算会比较麻烦，老师通常会要求我们对$12$进行分解，即 $12=4 * 3$ ,  这样 $ 25 * 12 = 25 * 4 * 3= 100 *3 =300$ 可以看到，分解后， 充分利用了 $25 * 4 =100 $ 简化了计算。

同样，给我们一个对称矩阵$A$ 能否分解为$A=P \Lambda P^{-1}$ ，这样你会发现，计算矩阵会变的简单。求特征值与特征向量，就是求新坐标基的过程。

## 从线性空间角度理解坐标

以经典的 $A x=b$ 为例，假设 $A$ 是一个 $\mathrm{n} \times n$ 的矩阵， $x$ 和 $b$ 都是 ${n} \times 1$ 的向量

$$
A=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right], x=\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c}
b_1 \\
b_2 \\
\vdots \\
b_n
\end{array}\right]
$$

不难看出，矩阵就是由一列列向量组成的，所以在说矩阵之前我们再来简单说一下向量。
向量有长度有方向，但这个长度方向要有意义，或者说可度量，这就必须要有参考系，也就是坐标系。坐标系不是唯一的，但我们有一个标准坐标，叫笛卡尔坐标，简称 $I$ 坐标。那由一系列向量组成的矩阵到底代表什么意思呢? 可以从 2 个角度理解矩阵:

(1)**矩阵是一个变换**，仔细盯着$A x=b$多看几次，这个等式表明，经过变换$A$，向量 $x$ 变成了向量 $b$ （在这里，$b$坐标终是隐含着使用$I$坐标）。你可以把$A$想象成一个传送门，任何向量经过这个传送门，嗖的一下就被瞬间传送到了另一个点成为另一个向量，而你到底能被传送到哪跟你本身的位置有关，也跟这个传送门的性能有关，换句话说同一个传送门，不同的向量被传送到不同的位置，同一个向量，换一个传送门，也会被传送到不同的位置。

(2)**矩阵本身就是一个坐标系**。这个不难理解，我们常见的 $I$ 坐标系，比如二维坐标，他的两个坐标轴就是 $(1,0) ，(0,1)$ 两个向量，把这两个向量按列排列就是一个矩阵，所以矩阵就代表了坐标系，每一个列向量就是他的一个坐标轴。

那一个矩阵乘以一个向量，比如 $A x$ 代表什么意思呢？我们说一个向量单看是没有意义的，你要放在一个坐标系下才能度量，而左乘一个矩阵$A$就代表它的坐标系是$A$，这个向量在$A$坐标系下的坐标为 $x$ ，也就是这个向量投影到 $A$ 的各个坐标轴的长度为 $x$ 。

$$
\begin{aligned}
& A x=\left[\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & \varepsilon_{1 n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & \varepsilon_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n 1} & a_{n 2} & \cdots & a_{n n}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_n
\end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{c}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{n 1}
\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{c}
a_{12} \\
a_{2 c} \\
\vdots \\
a_{n 2}
\end{array}\right]+\cdots 
& +x_n\left[\begin{array}{c}
a_{1 n} \\
a_{2 n} \\
\vdots \\
a_{n n}
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$

我们再来看 $A x=b$ ，发现什么了吗？上面说一个向量单看是没有意义的，你要放在一个坐标系下才能度量， $b$ 前面没有任何矩阵，但它也需要坐标系，没有指定坐标系的时候坐标系是 $I$ ，所以 $b$ 前面其实被略去了一个 $I$ ，也就是 $A x=I b$ 。 $A x$ 描述的是一个向量，它在$A$坐标系下的坐标是 $x ， I b$ 描述的也是一个向量，它在 $I$ 坐标系下的坐标是 $b$ ，二者相等，说明 $x$ 和 $b$ 其实是一个向量，他们只不过是在不同坐标系下的不同表示而已。
你可以理解为这个点从来没动过，它只是换了一个坐标系来看这个点而已。就好像拍照，你从正面拍侧面拍，仰拍俯拍，你拍的都是一个对象，但拍照角度不一样，你会得到不同的照片。

来看个数学上的例子

$$
A=\left[\begin{array}{cc}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{array}\right], x=\left[\begin{array}{l}
2 \\
1
\end{array}\right], I=\left[\begin{array}{ll}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{l}
1 \\
3
\end{array}\right]
$$

如果你计算，你会发现上面这个矩阵乘法 $Ax=Ib=b$, 换句话说，$(2,1)$ 和 $(1,3)$ 就是同一个向量，只不过前者是在$A$下的表示，后者是在 $I$ 下的表示。

![图片](/uploads/2025-04/c2307f.jpg){width=300px}

再看一个简单的类比，
$(5)*1=5*1$
前面这个$(5)$表示一个矩阵，后面这个$5$表示一个坐标值。这个等式告诉我们：有一个1，我用5个长度作为一个基准单位，等于以“1”为基准单位得5倍。同样 $(5)*2=10*1$ 等号右边表示，以1为基准单位，坐标为10的向量，等于“以5个单位为一个基准单位”，但是只需要2个这样的单位即可。

上式还可以简单类比，一件东西需要10元钱，我以1元人民币为单位，给他10次就可以了。但是我也可以以5元人民币为单位，只要给他2次就可以了。

### 通过物理对上面进行解释
 在高中学过运动，比如：甲在路边，乙在飞船上，一辆汽车以$v_汽$行驶，汽车里$A$质点在运动，问甲乙看到的$v_A$的速度是多少？当看到这个问题时，我们第一反应就是：你要以什么为参照物，同样一个汽车运动，选择的参照系不同，会有不同的运动速度（**这里的参照物可以理解为线性代数里的基坐标**）。比如甲在地面上，以地面为参照物，$

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