最后更新: 2025-08-23 12:09 查看: 265 次反馈同步训练

特征值与特征向量的求法

## 特征值与特征向量的求法

> 在上面介绍的特征值与特征向量的意义，主要是方便读者理解，线性代数的奇妙之处就在于，你哪怕完全不理解其意义，按照固定的套路，也能作对题目，考试时不会考察你理解不理解他的意义，考试主要还是做题。

一个任意给定的 $n$ 阶矩阵 $A$ 会有多少个特征值? 对应的特征向量又该如何求呢?请看下面定义
假设矩阵 $A$ 有特征值 $\lambda$ ， 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量为 $\alpha$, 则有 $A \alpha=\lambda \alpha$ 将 $A \alpha=\lambda \alpha$ 改写成

$$
(A-\lambda E) \alpha=\mathbf{0},
$$

可见， $\alpha$ 是 $n$ 个末知数 $n$ 个方程的齐次线性方程组 $(A-\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的非零解. 而方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，即

$$
|A-\lambda \boldsymbol{E}|=0
$$

记

$$
f(\lambda)=|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}|=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{n n}-\lambda
\end{array}\right|,
$$

则 $f(\lambda)$ 是 $\lambda$ 的 n次多项式，称为矩阵 $A$ 的**特征多项式**. 从而公式 $|A-\lambda E|=0$ 可以写成 $f(\lambda)=0$ 这是以 $\lambda$ 为未知数的一元 $n$ 次方程，称为 $\boldsymbol{A}$ 的**特征方程**，而 $\boldsymbol{A}$ 的特征值就 是特征方程的根.

我们知道，一元 $n$ 次方程在复数范围内恒有 $n$ 个根 (重根按重数计算). 因此， $n$ 阶矩阵 $A$ 在复数范围内有 $n$ 个特征值，通过解矩阵 $A$ 的特征方程就可以得到这 $n$ 个特征值.
设 $\lambda=\lambda_i$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，则由方程 $\left(\boldsymbol{A}-\lambda_i \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 可求得非零解 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\alpha}_{i^{\prime}}$ 那么 $\alpha_i$ 便是 $A$ 的对应于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量. (若 $\lambda_i$ 为实数，则 $\alpha$ 可取实向量； 若 $\lambda_i$ 为复数，则 $\alpha_i$ 可取复向量.)
由此，即可以求得特征值与特征向量。

## 例题

`例` 求 $A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]$ 的特征值与特征向量．
解： 令 $f(\lambda)=|\lambda E - A |=0$ ，即

$$
\begin{aligned}
\left|\begin{array}{ccc}
\lambda+1 & -1 & -1 \\
-1 & \lambda+1 & -1 \\
-1 & -1 & \lambda+1
\end{array}\right| & \xlongequal{r_3+r_2+r_1}\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & \lambda-1 & \lambda-1 \\
-1 & \lambda+1 & -1 \\
-1 & -1 & \lambda+1
\end{array}\right| \\
& =(\lambda-1)\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
-1 & \lambda+1 & -1 \\
-1 & -1 & \lambda+1
\end{array}\right| \\
& =(\lambda-1)\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
0 & \lambda+2 & 0 \\
0 & 0 & \lambda+2
\end{array}\right| \\
& =(\lambda-1)(\lambda+2)^2,
\end{aligned}
$$

得 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=\lambda_3=-2$ ．

①当 $\lambda_1=1$ 时，解方程组 $( E - A ) X = 0$ ．
对其系数矩阵作初等行变换

$$
E - A =\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & -1 \\
-1 & 2 & -1 \\
-1 & -1 & 2
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & -1 \\
0 & \frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \\
0 & -\frac{3}{2} & \frac{3}{2}
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & -1 \\
0 & \frac{3}{2} & -\frac{3}{2} \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

$E - A$ 的秩为 2，$( E - A ) X = 0$ 的基础解系含 1 个解向量。 关于基础解系的求法，如果忘记请点击 [齐次方程组求解](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=486)

令 $x_3=1$ ，得 $\xi _1=\left[\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right]$ ， $k_1 \xi _1\left(k_1 \neq 0\right)$ 是 $A$ 的属于特征值 1 的全部特征向量．

②当 $\lambda_2=\lambda_3=-2$ 时，解方程组 $(-2 E - A ) X = 0$ ．

对其系数矩阵作初等行变换

$$
-2 E - A =\left[\begin{array}{lll}
-1 & -1 & -1 \\
-1 & -1 & -1 \\
-1 & -1 & -1
\end{array}\right] \rightarrow\left[\begin{array}{ccc}
-1 & -1 & -1 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

$-2 E - A$ 的秩为 $1,(-2 E - A ) X = 0$ 的基础解系含 2 个解向量。

令 $x_2=0, x_3=1$和 $x_2=1, x_3=0$ ，得

$$
\xi _2=\left[\begin{array}{c}
-1 \\
0 \\
1
\end{array}\right], \quad \xi _3=\left[\begin{array}{c}
-1 \\
1 \\
0
\end{array}\right]
$$

故 $k_2 \xi _2+k_3 \xi _3$（ $k_2, k_3$ 不全为零）是 $A$ 的属于特征值 -2 的全部特征向量。

`例`求矩阵的特征值与特征向量。
$$
 A =\left[\begin{array}{ccc}
-1 & 1 & 0 \\
-4 & 3 & 0 \\
1 & 0 & 2
\end{array}\right] 
$$
解：  $A$ 的特征多项式为

$$
\begin{aligned}
& |\lambda E - A |=\left|\begin{array}{ccc}
\lambda+1 & -1 & 0 \\
4 & \lambda-3 & 0 \\
-1 & 0 & \lambda-2
\end{array}\right|=(\lambda-2)\left|\begin{array}{cc}
\lambda+1 & -1 \\
4 & \lambda-3
\end{array}\right| \\
& =(\lambda-2)[(\lambda+1)(\lambda-3)+4]=(\lambda-2)(\lambda-1)^2
\end{aligned}
$$

故 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=2, \lambda_2=\lambda_3=1$ ，因此特征值 $\lambda_1=2$ 的代数重数为 1 ，而 $\lambda_2=1$ 的代数重数为 2 。

①当 $\lambda_1=2$ 时，求解线性方程组 $\left(\lambda_1 E - A \right) X =0$ 就可得到对应于特征值 $\lambda_1=2$ 的特征向量

$$
\lambda_1 E - A =\left[\begin{array}{ccc}
3 & -1 & 0 \\
4 & -1 & 0 \\
-1 & 0 & 0
\end{array}\right] \stackrel{\underset{\sim}{r}}{\sim}\left[\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$
其基础解系为 $\alpha _1=[0,0,1]^{ T }$ ，故 $k \alpha _1(k \neq 0)$ 为对应于 $\lambda_1=2$ 的所有特征向量。

② $\lambda_2=\lambda_3=1$ ，求解线性方程组 $\left(\lambda_2 E - A \right) X =0$ 就可得到对应于特征值 $\lambda_2=\lambda_3=1$ 的特征向量

$$
\lambda_2 E - A =\left[\begin{array}{ccc}
2 & -1 & 0 \\
4 & -2 & 0 \\
-1 & 0 & -1
\end{array}\right] \stackrel{r}{\sim}\left[\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 2 \\
0 & 0 & 0
\end{array}\right]
$$

故基础解系为 $\alpha _2=[-1,-2,1]^{ T }$ ，故 $k \alpha _2(k \neq 0)$ 为对应于 $\lambda _2=\lambda_3=1$ 的所有特征向量。

`例`求矩阵
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 \\
0 & 0 & 3
\end{array}\right) 
$$ 
的特征值和特征向量.

解：矩阵 $A$ 的特征多项式为

$$
|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}|=\left|\begin{array}{ccc}
1-\lambda & 0 & 0 \\
0 & 2-\lambda & 0 \\
0 & 0 & 3-\lambda
\end{array}\right|=(1-\lambda)(2-\lambda)(3-\lambda),
$$

所以 $A$ 的全部特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=2 ， \lambda_3=3$.

①当 $\lambda_1=1$ 时，解方程 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ ，
这是一个齐次方程组，求其解系[齐次方程组解系求法](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=486)：
由
$$
\boldsymbol{A}-\bolds

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