最后更新: 2025-09-21 10:40 查看: 515 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

特征值与特征向量的求法(★★★★★)

## 特征值与特征向量的求法

> 在上面介绍的特征值与特征向量的意义，主要是方便读者理解，线性代数的奇妙之处就在于，你哪怕完全不理解其意义，按照固定的套路，也能作对题目，考试时不会考察你理解不理解他的意义，考试主要还是做题。

一个任意给定的 $n$ 阶矩阵 $A$ 会有多少个特征值? 对应的特征向量又该如何求呢?请看下面定义
假设矩阵 $A$ 有特征值 $\lambda$ ， 对应于特征值 $\lambda$ 的特征向量为 $\alpha$, 则有 $A \alpha=\lambda \alpha$ 将 $A \alpha=\lambda \alpha$ 改写成

$$
(A-\lambda E) \alpha=\mathbf{0},
$$

可见， $\alpha$ 是 $n$ 个末知数 $n$ 个方程的齐次线性方程组 $(A-\lambda \boldsymbol{E}) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 的非零解. 而方程组有非零解的充分必要条件是系数行列式等于零，即

$$
|A-\lambda \boldsymbol{E}|=0
$$

记

$$
f(\lambda)=|\boldsymbol{A}-\lambda \boldsymbol{E}|=\left|\begin{array}{cccc}
a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{n n}-\lambda
\end{array}\right|,
$$

则 $f(\lambda)$ 是 $\lambda$ 的 n次多项式，称为矩阵 $A$ 的**特征多项式**. 从而公式 $|A-\lambda E|=0$ 可以写成 $f(\lambda)=0$ 这是以 $\lambda$ 为未知数的一元 $n$ 次方程，称为 $\boldsymbol{A}$ 的**特征方程**，而 $\boldsymbol{A}$ 的特征值就 是特征方程的根.

我们知道，一元 $n$ 次方程在复数范围内恒有 $n$ 个根 (重根按重数计算). 因此， $n$ 阶矩阵 $A$ 在复数范围内有 $n$ 个特征值，通过解矩阵 $A$ 的特征方程就可以得到这 $n$ 个特征值.
设 $\lambda=\lambda_i$ 为矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征值，则由方程 $\left(\boldsymbol{A}-\lambda_i \boldsymbol{E}\right) \boldsymbol{x}=\mathbf{0}$ 可求得非零解 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{\alpha}_{i^{\prime}}$ 那么 $\alpha_i$ 便是 $A$ 的对应于特征值 $\lambda_i$ 的特征向量. (若 $\lambda_i$ 为实数，则 $\alpha$ 可取实向量； 若 $\lambda_i$ 为复数，则 $\alpha_i$ 可取复向量.)
由此，即可以求得特征值与特征向量。

> 在构造特征多项式时，使用$|\lambda \boldsymbol{E}-A=0|$ 或$|A-\lambda \boldsymbol{E}|=0$ 都可以，从计算上看，后者应该更简单一些，但是基本上所有教材都使用前者，我们也不知道为什么，因此，这里我们也使用前者。

## 特征值与特征向量求解套路

`例` 求 $A=\left[\begin{array}{ccc}-1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 1 & -1\end{array}\right]$ 的特征值与特征向量．
解：
**STEP1 构造特征多项式**

令 $f(\lambda)=|\lambda E - A |=0$ ，即

$$
\left|\begin{array}{ccc}
\lambda+1 & -1 & -1 \\
-1 & \lambda+1 & -1 \\
-1 & -1 & \lambda+1
\end{array}\right|=0
$$

**STEP2 化简三阶行列式** 这是一个三阶行列式，三阶行列式是三次方程，我们并没有三次方程的通用公式，此时要尽可能因式分解，提取一个系数。
从这里也看到，第一章介绍的**行列式**其实也是作为一个工具，为此处服务的。

$$
\begin{aligned}
 & D\xlongequal{r_3+r_2+r_1}\left|\begin{array}{ccc}
\lambda-1 & \lambda-1 & \lambda-1 \\
-1 & \lambda+1 & -1 \\
-1 & -1 & \lambda+1
\end{array}\right| \\
& =(\lambda-1)\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
-1 & \lambda+1 & -1 \\
-1 & -1 & \lambda+1
\end{array}\right| \\
& =(\lambda-1)\left|\begin{array}{ccc}
1 & 1 & 1 \\
0 & \lambda+2 & 0 \\
0 & 0 & \lambda+2
\end{array}\right| \\
& =(\lambda-1)(\lambda+2)^2,
\end{aligned}
$$

得 $A$ 的特征值为 $\lambda_1=1, \lambda_2=\lambda_3=-2$

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