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函数单调性的判别

## 函数单调性
设函数 $f(x)$ 的定义域为 $D$ 区间 $I \subset D$ ，如果对于区间 $I$ 上任意两 点 $x_1 、 x_2$ ，当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ ，则称函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调增加（见图2-24)，当 $x_1<x_2$ 时，恒有 $f\left(x_1\right)<f\left(x_2\right)$ ，则称函 数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上单调减少（见图2-25），单调增加或单调减少的函数统称单调函数.

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228809c00b.png)

>此处为函数单调性大学高数版，要查看高中版请点击 [此处](http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=114)

有时我们还需要研究曲线的弯曲方向， 如果曲线上任意弧段位于所张弦的下方，这样的曲线称为凹弧（见图2-26），如果曲线上任意弧段位于所张弦的上方，这样的曲线称为凸弧（见图2-27）.

![图片](/uploads/2022-12/image_202212286f8041f.png)

先从函数图形来观察单调函数有什么特点.
由图2-28可知，(１) 曲线沿   轴正向上升，(２) 曲线的切线的斜率均非负，即  $f'(x) \ge 0$ ；
由图2-29可知，(１) 曲线沿   轴正向下降，(２) 曲线的切线的斜率均非正，即               $f'(x) \le 0$ ；

![图片](/uploads/2022-12/image_20221228274407d.png)

因此可得到，函数的单调性与函数的导数符号之间有着密切的关系。能否用一个区间上的导数符号来判定函数在该区间上的单调性呢?

拉格朗日中值定理建立了函数与导数之间的联系，利用中值定理可以得出函数单调性的判别法.

##  单调性的判别法
**定理1** (单调性的判别法) 设函数 $f(x)$ 在区间 $I$ 上连续，且在 $I$ 内可导， 若在 $I$ 内 $f^{\prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调增加，若在 $I$ 内 $f^{\prime}(x)<0$ ，则 $f(x)$ 在 $I$ 上单调减少.
证明 任取 $x_1 ， x_2 \in I$ ，不妨设 $x_1<x_2 ， f(x)$ 在 $\left[x_1, x_2\right]$ 上满足拉格朗日中值定理的条件，则有

$$
f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)=f^{\prime}(\xi)\left(x_2-x_1\right) \text { ， 其中 } \xi \in\left(x_1, x_2\right)
$$

因此，若在定义域内 $ f^{\prime}(x)>0 \quad$ 则 $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)>0 \quad$ 即在区间上 单调增加；
若在定义域内 $f^{\prime}(x)<0$ 则 $f\left(x_2\right)-f\left(x_1\right)<0$ 即在区间内单调减少.

`例` 讨论函数 $y=\arctan x -x$ 的单调性.
解 $y^{\prime}=\frac{1}{1+x^2}-1=-\frac{x^2}{1+x^2}$ ， 在 $(-\infty,+\infty)$ 内，除 $x=0$ 时 $y^{\prime}=0$ 外，恒有 $\frac{x^2}{1+x^2}>0$ ，所以在 $(0,+\infty)$ 及 $(-\infty, 0)$ 内恒有 $y^{\prime}<0 ，$ 因此 $y=\arctan x-x$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内是单调减少的 (见图2-30).

![图片](/uploads/2022-12/image_202212285648366.png)

`例` 讨论函数 $y=\mathrm{e}^x-x-1$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内的单调性.
解 $y^{\prime}=\mathrm{e}^x-1$ ，当 $x \in(-\infty, 0]$ 时， $y^{\prime}<0$ ， 即函数 $y=\mathrm{e}^x-x-1$ 在 $(-\infty, 0]$ 上单调减少，当 $x \in[0,

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