最后更新: 2026-01-13 12:20 查看: 222 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

矩阵乘法（矩阵右乘）

## 什么是矩阵右乘？

**矩阵右乘**，是指将一个矩阵 **A** 放在另一个矩阵（或向量） **B** 的**右边**，进行乘法运算，记作 **B × A**。

*   **左乘**： A  在  B  的左边 ->  A * B 
*   **右乘**： A  在  B  的右边 ->  B * A

**关键点（再次强调）：** 由于矩阵乘法不满足交换律，**B * A  的结果通常与  A * B  完全不同**。右乘不是左乘的简单颠倒，它在不同的上下文中有着不同的、非常重要的意义。一个核心口诀是

> **左乘是行变换，右乘是列变换**

## 理解：矩阵右乘是列变换
下面例子演示了右乘的意思，对于$A \times B=C$，以$A$为参照物，即保持不变，观察结果C和A的关系。

$$
\left[
\begin{array}{l}
1 & 4 & 7 \\
2 & 5 & 8 \\
3 & 6 & 9 \\
\end{array}
\right ]

\left[
\begin{array}{l}
2 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right ]

=
 \begin{bmatrix}
2 & 4 & 7 \\
4 & 5 & 8 \\
6 & 6 & 9
\end{bmatrix}
$$

从结果看，

> **一个矩阵$A$右乘一个矩阵$B$，相当于对矩阵$A$的列进行了列变换。**

参考下图，比如A的第一列乘以矩阵后，结果C直接把第一列放大2倍。
同理，A的第二列乘以矩阵后，结果C直接把第二列放大2倍。

![图片](/uploads/2025-09/d9646c.jpg)

##  右乘的几何意义与物理意义：变换坐标系的视角

如果说**左乘**的几何意义是 **“主动变换”** （改变向量本身在空间中的位置和方向），那么**右乘**的一个核心几何意义就是 **“被动变换”** 或 **“基变换”**（改变我们观察这个向量的坐标系）。

让我们用一个比喻来理解：

*   **想象一个向量（箭头）画在一张橡皮膜上。**
*   **左乘**：你用手直接去**扭转、拉伸这张膜本身**。向量随着膜一起运动。（你改变了向量）。
*   **右乘**：你保持向量不动，而是**转动你自己的脑袋（或者坐标系）**，从一个新的角度去看这个向量。（你改变了观察视角，但向量本身没动）。

**数学表述：**
设有一个向量  $v$ ，它在标准基下的坐标是  $x$ （即  $v = I * x$ ，其中  $I$  是单位矩阵）。现在我们有一个新的坐标系，它由矩阵  $A$  的列向量构成（即  A  的列是新基向量在原基下的坐标）。

*   如果我们想知道向量  $v$  在新坐标系下的坐标  $y$ ，我们需要解方程  $v = A * y$ 。
*   这个方程的解就是  $y = A⁻¹ * v$ （假设  A  可逆）。
*   注意看，这里  $v$  被**右乘**了  $A⁻¹$  的逆矩阵。这个过程就体现了右乘在基变换中的作用。

### **一个更直观的例子：向量的旋转（从不同角度看）**

假设我们有一个点  P = [1; 0] 。我们想看看当它绕原点旋转-90度（顺时针90度）后在哪里。

*   **方法一（左乘 - 主动变换）：**
    我们用**旋转+90度**的矩阵  R_+90  **左乘**  P 。
    $$R_{+90} = \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0

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