最后更新: 2025-01-01 21:48 ● 参与者查看: 45 次纠错分享参与项目词条搜索

矩阵的左乘与右乘

## 矩阵的左乘和右乘
假设矩阵$A$ 
$$
A=\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]
$$

又有一个单位向量。

$$
x=\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right]
$$

### 矩阵右乘

$$
\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]\left[\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{l}
a_{11} \\
a_{21} \\
a_{31}
\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{l}
a_{12} \\
a_{22} \\
a_{32}
\end{array}\right]+x_3\left[\begin{array}{l}
a_{13} \\
a_{23} \\
a_{33}
\end{array}\right]
$$

观察上式，不难发现，矩阵右乘相当于对矩阵 $A$ 中的**列向量**做线性组合，线性组合的系数就是向量 $x$ 中的每个对应位置的元素。

### 矩阵左乘

$$
\begin{aligned}
& {\left[\begin{array}{lll}
x_1 & x_2 & x_3
\end{array}\right]\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]=x_1\left[\begin{array}{lll}
a_{11} & a_{12} & a_{13}
\end{array}\right]+x_2\left[\begin{array}{lll}
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{array}\right] }  
&+x_3\left[\begin{array}{lll}
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right]
\end{aligned}
$$

观察上式，用矩阵左乘 $A$ ，相当于对矩阵 $A$ 中的**行向量**做线性组合，线性组合的系数就是向量 $x$ 中的每个对应位置的元素。

> 对矩阵 $A$ 施行某种初等行变换，相当于用相应的行初等矩阵左乘矩阵 $A$ 。
对矩阵 $A$ 施行某种初等列变换，相当于用相应的列初等矩阵右乘矩阵 $A$ 。

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