最后更新: 2025-01-06 16:55 ● 参与者查看: 118 次纠错分享参与项目词条搜索

阶梯形矩阵与行最简形矩阵

## 为何引入阶梯形矩阵
回顾[矩阵的初等变换](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=461),矩阵的初等变换共有三条规则：
①交换矩阵的某两行；
②矩阵的某一行乘以非零数;
③将矩阵的某一行的k倍加到另一行
利用这三条规则，可以化简矩阵为阶梯形矩阵。

为什么要化为阶梯形矩阵？因为通过阶梯形矩阵可以获取矩阵很多的性质，比如矩阵的秩，方程组的解等。请看一个方程组。

`例`解方程组
$$
\left\{\begin{aligned} 
x_1+2 x_2+x_3 & =3 \\
3 x_1-x_2-3 x_3 & =-1 \\
2 x_1+3 x_2+x_3 & =4
\end{aligned}\right.
$$

上面这个方程最终可化为下面的方程组：

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+2 x_2+ & x_3  =3 \\
-7 x_2- & 6 x_3  =-10 \\
 & - x_3  =-4 \\
\end{aligned}\right.
$$

利用回代法，从第三个方程开始，由下往上，即可顺利得到方程组的解。因此，在“效率”和“功能”方面，当一个方程化成类似上面的形式时，就能满足我们90%的任务了。如果继续化简，还可以换成行最简型。
因此，这里就引入阶梯形矩阵。

> 阶梯形矩阵在整个矩阵变换里占据极其重要的位置，务必掌握。

## 阶梯行矩阵
在上例中，线性方程组对应的增广矩阵有一个共同特点，就是: 可画一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行，台阶数就是非零行的行数；每一非零行的第一个非零元素位于上一行首元的右侧，

![图片](/uploads/2023-01/image_20230102f144a5d.png)

这样的矩阵，我们称为行阶梯形矩阵.  
即判断是否是阶梯形矩阵，主要在于2点：
(1) 若有零行，则零行都在矩阵的最下方；
(2) 首非零元(非零行的第一个不为零的元素)的列标随着行标的递增而**严格**增大.
在实际判断里，都是通过想象画下进行盘点，如下图两个都是阶梯形矩阵。
 ![图片](/uploads/2025-01/02f5f1.jpg)
 
**注意** 阶梯形矩阵，每次只能下降1个台阶，但是允许跨多列，如下图，第一个矩阵一下子下降2个阶梯，这种不是阶梯形矩阵。

![图片](/uploads/2024-09/e2d859.jpg)

## 行最简形矩阵 
在下图中，最下面这个矩阵，即
 ![图片](/uploads/2025-01/b22270.jpg){width=400px}
被称作行最简形矩阵 。最简形矩阵最大的好处是，如果直接把$x_1,x_2...x_n$ 带入，即可直接得到方程组的解。

因此，对于一个矩阵，如果他是阶梯形矩阵，且它的非零行的第一个非零元素全为 1 ，并且这些非零元素所在的列的其余元素全为零， 这样的矩阵，我们称为**行最简形矩阵**.
下图显示的是两个行最简形矩阵。
 ![图片](/uploads/2025-01/fedd7c.jpg)

再如下图，第3行都是零，再最下面，首行非零元都是1，而且又是阶梯形，因此他是行最简形矩阵
 ![图片](/uploads/2024-09/61901f.jpg){width=200px}
 
再次强调一下行最简形矩阵的条件
(1)非零行的首非零元为1
(2)首非零元所在列的其它元素都是零。

> 矩阵的阶梯形矩阵不是唯一的，但是行最简形矩阵是唯一的。

## 阶梯形矩阵的化法

`例`试用矩阵的初等行变换将矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & -3 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ -1 & 4 & -3 & 2 & 2\end{array}\right)$ 先化为
（1）行阶梯形矩阵 
（2）再进一步化 为行最简形矩阵.
（3）再进一步化为标准形。

解：（1）化为行阶梯形矩阵。
**第一步**：交换第一行和第三行的位置，想一想，为什么要交换第一行和第三行？因为第3行第一个元素是1，我们使用他来最为基础行，然后消去后面的行会计算比较方便。
$$
\begin{aligned}
&  A=\left(\begin{array}{ccccc}
2 & -3 & 1 & -1 & 2 \\
2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\
-1 & 4 & -3 & 2 & 2
\end{array}\right) \stackrel{r_1 \leftrightarrow r_3}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\
2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\
2 & -3 & 1 & -1 & 2 \\
-1 & 4 & -3 & 2 & 2
\end{array}\right)
\end{aligned}
$$

**第二步**
①第一行的-2倍加到第二行
②第一行的-2倍加到第三行
③第一行的1倍加到第四行
$$
A   \begin{aligned}
\stackrel{\substack{(-2 r_1)+r_2 \\
(-2 r_1)+r_3 \\
r_1+r_4}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\
0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\
0 & -5 & 5 & -3 & -6 \\
0 & 5 & -5 & 3 & 6
\end{array}\right) 
\end{aligned}
$$

现在第一列已经处理完毕（第1列主对角线下方都是0），后续第一列不再主动参与后面的变换（被动可以），可以想象一下，只要第一行主动加到下面的行，就会把已经化简的0，又变成非0。
下面开始处理第2列。我们注意到第3行和第4互为相反数，所以，先把第3行加到第4行。

$$
A   \begin{aligned}
\stackrel{\substack{r_3+r_4}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\
0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\
0 & -5 & 5 & -3 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) 
\end{aligned}
$$

现在第2行乘以$-\frac{5}{3}$ 然后加到第3行

$$
A   \begin{aligned}
\stackrel{\substack{r_2 * (-\frac{5}{3})+r_3}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\
0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\
0 & 0 & 0 & -\frac{4}{3} & 4 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) 
\end{aligned}
$$

此时，第3行出现了分数，已经不方便计算，因此，第三行乘以3，消去分数

$$
A   \begin{aligned}
\stackrel{\substack{r_3 *5}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\
0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\
0 & 0 & 0 & -4 & 12 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) 
\end{aligned}
$$

把第3行公约数-4提取出来

$$
A   \begin{aligned}
\stackrel{\substack{r_3 \div (-4)}}{\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\
0 & -3 & 3 & -1 & -6 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) 
\end{aligned}
$$

现在第2列已经处理完毕（第2列主对角线下方都是0），开始处理第3列。观察到第3列下方已经是0，此时就如果画出折现，就可以发现他已经是阶梯形矩阵了。

![图片](/uploads/2024-09/10cadb.jpg)

## 行最简形矩阵

（2）化为行最简形矩阵
在上图里，第一列已经满足行最简形矩阵，但是第2列不满足，为此需要把第2行第2列的元素变为1 因此第二行乘以$-\frac{1}{3}$

$$
A   \begin{aligned}
\stackrel{\substack{r_2 * (-\frac{1}{3})}}
 {\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\
0 & 1 & -1 & \frac{1}{3} & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) 
\end{aligned}
$$

因为第2列，首非零元都要是0，因此用第2行的-1倍，加上第一行上去。 （注意：此时只能**从下往上**加。因为，从上往下，一旦用第一行-1倍加到下面的第2行上去，那么前面第一列的0就会变成非0）

$$
A   \begin{aligned}
\stackrel{\substack{-r_2 +r_1}}
 {\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & -1 & \frac{2}{3} & 2 \\
0 & 1 & -1 & \frac{1}{3} & 2 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) 
\end{aligned}
$$

现在处理第4列， 把第3行乘以$-\frac{2}{3}$ 加到第一行，把第3行乘以$-\frac{1}{3}$ 加到第二行

$$
A   \begin{aligned}
 {\longrightarrow}\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 1 &  -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) 
\end{aligned}
$$
 
上述就是行最简形矩阵。

## 矩阵的标准形
对于行最简形矩阵再实施初等列变换，可变成一种形状更简单的矩阵. 例如， 将上面的行最简形矩阵再实施初等列变换将
①将第1列加到第三列
②将第2列加到第三列  得到

$$
\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & -1 & 0 & 4 \\
0 & 1 & -1 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) 
\xrightarrow[c_3+c_2]{c_3+c_1}

\left(\begin{array}{ccccc}
1 & 0 & 0 & 0 & 4 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & 1 & -3 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)
$$

将第一列的-4倍加到第5列
将第二列的-3倍加到第5列
将第四列的3倍加到第5列

$$
\left(\begin{array}{lllll}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right) .
$$

第三列和第四列交换位置
$$
\rightarrow\left(\begin{array}{lllll}
1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0
\end{array}\right)=F
$$

上面化简过程可以简记如下
![图片](/uploads/2023-01/image_20230102181cc60.png)

最后一个矩阵称为**矩阵的标准形**，写成分块矩阵的形式，则有

$\boldsymbol{F}=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{E}_3 & \boldsymbol{o} \\ \boldsymbol{o} & \boldsymbol{o}\end{array}\right)$

对于一般的矩阵，我们有下面的结论:

01任意一个 $m \times n$ 矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行阶梯形矩阵；
02 任意一个 $m \times n$ 矩阵总可以经过若干次初等行变换化为行最简形矩阵；
03 任意一个 $m \times n$ 矩阵总可以经过若干次初等变换化为它标准形 $F=\left(\begin{array}{ll}E_r & o \\ 0 & 0\end{array}\right)_{m, n}$,
04 其中 $r$ 为**行阶梯形矩阵中非零行的行数**.

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