最后更新: 2026-01-17 19:59 查看: 497 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

阶梯形矩阵的求法（★★★★★）

> **阶梯形矩阵在整个矩阵系统里占据极其重要的位置，很多题目都涉及利用矩阵的初等变换化为阶梯形矩阵，因此务必掌握**

## 为何引入行阶梯形矩阵
回顾[矩阵的初等变换](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=465),矩阵的初等变换共有三条规则：
①交换矩阵的某两行；
②矩阵的某一行乘以非零数;
③将矩阵的某一行的k倍加到另一行
利用这三条规则，可以化简矩阵为阶梯形矩阵。

为什么要化为阶梯形矩阵？因为通过阶梯形矩阵可以获取矩阵很多的性质，比如矩阵的秩，方程组的解等。请看一个方程组。
 
$$
\left\{\begin{aligned} 
x_1+2 x_2+x_3 & =3 \\
3 x_1-x_2-3 x_3 & =-1 \\
2 x_1+3 x_2+x_3 & =4
\end{aligned}\right.
$$

上面这个方程最终可化为下面的方程组：

$$
\left\{\begin{aligned}
x_1+2 x_2+ & x_3  =3 \\
-7 x_2- & 6 x_3  =-10 \\
 & - x_3  =-4 \\
\end{aligned}\right.
$$

利用回代法，从第三个方程开始，由下往上，即可顺利得到方程组的解。因此，在“效率”和“功能”方面，当一个方程化成类似上面的形式时，就能满足我们90%的任务了。如果继续化简，还可以换成行最简型。
因此，这里就引入阶梯形矩阵。

## 行阶梯行矩阵
一个矩阵被称为行阶梯形矩阵，需满足以下条件：

>1.  **零行置底**：所有元素全为 0 的行（零行），都位于矩阵的最下方。
>2.  **主元右移**：每个非零行的第一个非零元素（称为**主元**或**先导元素**），其所在列的列标必须严格大于上一行主元的列标。即主元的位置逐行向右移动。
>3.  **主元下方为零**：每个主元所在列中，位于该主元下方的所有元素都必须为 0。

**直观理解 从矩阵左侧观察，非零行构成一阶一阶的“台阶”（每次只能下降一阶），每一级台阶都比上一级更靠右，且台阶下方全为0**

**示例**：
$$
\begin{bmatrix}
\color{red}{2} & * & * & * \\
0 & \color{red}{5} & * & * \\
0 & 0 & \color{red}{3} & * \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
$$

注：其中 $\color{red}{2}, \color{red}{5}, \color{red}{3}$为主元

### 判别阶梯型矩阵的方法
下面2个矩阵都是阶梯型矩阵。 他们的特点是: 可画一条阶梯线，线的下方全为零；每个台阶只有一行，台阶数就是非零行的行数；每一非零行的第一个非零元素位于上一行首元的右侧，

![图片](/uploads/2026-01/f5d326.jpg)
  
  
  
> **注意 阶梯形矩阵，每次只能下降1个台阶，但是允许跨多列**
 
 如下图，第一个矩阵一下子下降2个阶梯，这种不是阶梯形矩阵。

![图片](/uploads/2024-09/e2d859.jpg)

任何矩阵都可以通过初等行变换化为行阶梯形。但行阶梯形矩阵本身不唯一，而进一步化为行最简形矩阵（Reduced Row Echelon Form, RREF）则是唯一的。

## 行最简形矩阵

行最简形矩阵（RREF）是在行阶梯形的基础上，增加了更严格的条件：

> 所有主元都必须为 1。
> 每个主元 1 所在的列中，除了该主元本身，其他所有元素都为 0。

下图显示的是两个行最简形矩阵。
 ![图片](/uploads/2025-01/fedd7c.jpg)

最简形矩阵最大的好处是，如果直接把$x_1,x_2...x_n$ 带入，即可直接得到方程组的解。

> 矩阵的阶梯形矩阵不是唯一的，但是行最简形矩阵是唯一的。

## 阶梯形矩阵的化法
 
`例`试用矩阵的初等行变换将矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccccc}2 & -3 & 1 & -1 & 2 \\ 2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\ -1 & 4 & -3 & 2 & 2\end{array}\right)$ 先化为阶梯形矩阵.

解：**第一步**：交换第一行和第三行的位置，想一想，为什么要交换第一行和第三行？因为第3行第一个元素是1，我们使用他来作为基础行，然后消去后面的行会计算比较方便。
$$
\begin{aligned}
&  A=\left(\begin{array}{ccccc}
2 & -3 & 1 & -1 & 2 \\
2 & -1 & -1 & 1 & 2 \\
1 & 1 & -2 & 1 & 4 \\
-1 & 4 & -3 & 2 & 2
\end{array}\right) \stackrel{r_1 \leftrightarrow r_3}{\longrightarrow}\left(

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