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线性代数
第二篇 矩阵
矩阵的初等变换与矩阵等价
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2025-01-01 21:50
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矩阵的初等变换与矩阵等价
## 矩阵初等变换的意义 ### 求解方程组 求解线性方程组 $$ \left\{\begin{array}{l} 2 x_1+x_2=3 \\ x_1-x_2+x_3=4 \\ 2 x_1+x_2-x_3=-1 \end{array}\right. $$ 解：线性方程组 $$ \begin{aligned} & \left\{\begin{array}{l} 2 x_1+x_2=3, \\ x_1-x_2+x_3=4, \\ 2 x_1+x_2-x_3=-1 \end{array}\right. \\ & \text { 对应的增广矩阵 } \\ & \left(\begin{array}{cccc} 2 & 1 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & -1 & -1 \end{array}\right) \\ & \end{aligned} $$ 提示：增广矩阵（又称扩增矩阵）就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是线性方程组的等号右边的值。 下图中，通过方程的变形来理解矩阵的初等变换。    上面解方程组的过程中，我们主要用到了下列三种方程之间的变换: (1) 交换两个方程; (2) 一个方程乘上一个非零数； (3) 一个方程乘上一个非零数加到另一个方程上. ## 矩阵的初等变换 从上例看到，对方程组实施上面三种变换，等价于对方程组的增广矩阵的行实施了类似地三种变换，而这种变换并不改变矩阵本身的性质。 这三种初等变换是 (1)
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