最后更新: 2026-01-17 21:41 查看: 652 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

矩阵的等价

## 矩阵等价的方程视角
矩阵的等价最初来源于“同解方程组”，请看下面两个方程
$$
\begin{cases}
x+y=4 \\
2x-y=-1
\end{cases} ...(1)
$$

和

$$
\begin{cases}
x+2y=7 \\
x-y=-2
\end{cases} ...(2)
$$

虽然这是两个完全不同的方程，但是他们的**解是一样都是**，即他们的解都是

$$
\begin{cases}
x=1 \\
y=3
\end{cases} ...(3)
$$

如果把上面(1)(2)(3)用矩阵乘法写出来[参见](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1234)，令

$$
\boldsymbol{ A}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 1 \\
2&-1  
\end{array}\right) ,

\boldsymbol{ X}=\left(\begin{array}{cc}
1 \\
3  
\end{array}\right)

\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc}
4 \\
-1  
\end{array}\right)  
$$

则第一个方程矩阵乘法就是
$$
\boxed{AX=B ...(4)}
$$

令
$$
\boldsymbol{ Q}=\left(\begin{array}{cc}
1 & 2 \\
1&-1  
\end{array}\right) ,

\boldsymbol{ X}=\left(\begin{array}{cc}
1 \\
3  
\end{array}\right)

\boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{cc}
7 \\
-2  
\end{array}\right)

则第二个方程矩阵乘法就是
$$
\boxed{QX=P ...(5)}
$$

> 还记得初中学过的代数式吗？假如 $ax=b$ 和 $qx=p$，解第一个式子中的$x=\frac{b}{a}=a^{-1}b$,然后带入第二个式子$qa^{-1}b=p$即$p=qa^{-1}b$, 如果$a \ne 0$,再令$a^{-1}=t$,就得到 $p=qtb$，即我们可以说 $p \sim t$

同样的根据(4)(5),因为这2个方程的解相同，我们有理由相信，(4)中的$X$可以带入(5)，带入后应该是

$QA^{-1}B=P$

如果$A$可逆，可以把$A^{-1}$命名为$T$,带入上式就是
$QTB=P$

这里的$T$就是一个矩阵的名字，上式等号左右调换一下即
$$
P=QTB
$$
我们给他一个名字：称矩阵$P$和矩阵$T$是**等价**的。

## 矩阵的等价的定义
 设 $ A, B$ 为 $ m \times n$ 矩阵（在同一个数域上，比如实数域），如果存在可逆矩阵 $ P$（$ m \times m$）和可逆矩阵 $ Q$（$ n \times n$），使得：
$$
B = P A Q
$$
则称 $ A$ 与 $ B$ **等价**（相抵）。

**关键前提**

矩阵等价的**必要前提**是**同型**，即行数和列数分别相等。
  例如 $2\times3$ 矩阵和 $3\times2$ 矩阵一定不等价。

## 二、 等价的充要条件（3种等价表述）
对于 $m\times n$ 矩阵 $A,B$，以下3个条件互相等价：
1.  存在可逆矩阵 $P(m$ 阶$)$、$Q(n$ 阶$)$，使得 $B=PAQ$；
2.  矩阵 $A$ 可通过**有限次初等行变换 + 初等列变换**转化为 $B$；
3.  $A$ 和 $B$ **秩相等**，即 $r(A)=r(B)$。

直观理解
初等变换不改变矩阵的秩，所以等价矩阵的秩必然相等；反过来，秩相等的同型矩阵，都可以通过初等变换化为同一个等价标准形。

##  等价标准形
任意 $m\times n$矩阵 $A$，若 $r(A)=r$，则 $A$等价于如下形式的矩阵：
$$
\begin{pmatrix}
E_r & O \\
O & O
\end{pmatrix}
$$
这个矩阵称为 $A$的**等价标准形**，其中 $E_r$是 $r$阶单位矩阵，$O$是零矩阵。

### 例子
- 若 $A$是 $3\times4$矩阵，且 $r(A)=2$，则 $A$的等价标准形为
$$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
$$
- 任意 $n$阶可逆矩阵的秩为 $n$，等价标准形是 $n$阶单位矩阵 $E_n$，因此**所有 $n$阶可逆矩阵彼此等价**。

## 矩阵等价的性质

等价矩阵的性质包括：
1.反身性：矩阵A与自身等价，即 $A = A$。
2.对称性：若矩阵A与B等价，则B与A也等价。
3.传递性：若矩阵A与B等价，且B与C等价，则A与C等价。
4.相同秩：等价矩阵具有相同的秩，即rank(A) = rank(B)。
5.相同特

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