最后更新: 2026-01-16 21:42 查看: 583 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

逆矩阵(上)★★★★★

## 逆矩阵的定义
在数学里，数字有加减乘除运算，自然，我们想把这个运算规律推广到矩阵上。在矩阵里，前面介绍了矩阵的加减和乘法，只有除法没有说过。 在数字运算中, 除法是乘法的逆运算, 它可以通过求倒数来实现. 即若求数 $a$ 除以 $b(b \neq 0)$ 的商, 则只需求出 $b^{-1}=\frac{1}{b}$, 于是 $\frac{a}{b}=a b^{-1}$. 对矩阵我们也可以这样做, 先定义矩阵的逆阵, 然后将矩阵的除法归结为一个矩阵和另外一个矩阵的逆阵之积.

### 定义
**定义1**    设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶方阵，如果存在 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{B}$ 使得

$$
A B=B A=E \text {, }
$$

其中 $E$ 为 $n$ 阶单位方阵，则称矩阵 $A$ 是**可逆**的，矩阵 $B$ 称为 $A$ 的逆矩阵，记作$B=A^{-1}$；否则称 $A$ 是**不可逆**的.

矩阵的求逆运算有它自己的特点，我们必须注意：
①根据上述定义，只有对方阵才有逆阵的定义，长方阵没有逆阵．

②并非任一非零方阵都有逆阵．比如，矩阵

$$
A=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right)
$$

就没有逆阵．因为对任一 $\boldsymbol{B}=\left(b_{i j}\right)_{2 \times 2}$ ，有

$$
\boldsymbol{A B}=\left(\begin{array}{ll}
1 & 1 \\
0 & 0
\end{array}\right)\left(\begin{array}{ll}
b_{11} & b_{12} \\
b_{21} & b_{22}
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}
b_{11}+b_{21} & b_{12}+b_{22} \\
0 & 0
\end{array}\right) .
$$

$\boldsymbol{A B}$ 不可能是单位阵．
注 从这里我们可以发现，若某个矩阵有一行元素全等于零，则这个矩阵一定不是可逆阵．同理不难证明，若某个矩阵的一列元素全等于零，则该矩阵也必不是可逆阵．

③由于矩阵的乘法一般不满足交换律，因此一般来说， $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}^{-1} \neq \boldsymbol{B}^{-1} \boldsymbol{A}$ ，即右除不一定等于左除。

一个 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 若有逆阵，则逆阵唯一吗？设 $\boldsymbol{B}, \boldsymbol{C}$ 是 $n$ 阶方阵，且都是 $\boldsymbol{A}$的逆阵，即

$$
A B=B A=I_n, \quad A C=C A=I_n,
$$

则

$$
B=B I_n=B(A C)=(B A) C=I_n C=C .
$$

因此只要矩阵可逆，其逆阵必唯一。
 
 
若方阵$A$得行列式$|A|=0$,则称$A$为**奇异矩阵**，也叫退化矩阵或降秩矩阵。

若方阵$A$得行列式$|A| \ne 0$,则称$A$**非奇异矩阵**，也叫非退化矩阵或非降秩矩阵。

## 矩阵可逆的充要条件

> **定理** $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充分必要条件为 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$ ，且此时 $A^{-1}=\dfrac{1}{|A|} A^*$

证明：必要性．因为 $\boldsymbol{A}$ 可逆，所以存在 $\boldsymbol{A}^{-1}$ ，使得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{-1}= \boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ ，两边取行列式，有

$$
\left|\boldsymbol{A} \boldsymbol{A}^{-1}\right|=|\boldsymbol{A}|\left|\boldsymbol{A}^{-1}\right|=|\boldsymbol{E}|=1,
$$

所以 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$ ．
充分性．由 $A A^*=A^* A=|A| E$ ，因为 $|A| \neq 0$ ，所以 $A \frac{A^*}{|A|}= \frac{\boldsymbol{A}^*}{|\boldsymbol{A}|} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}$ ，由定义知 $\boldsymbol{A}$ 可逆．又由逆矩阵唯一知 $\boldsymbol{A}^{-1}=\frac{\boldsymbol{A}^*}{|\boldsymbol{A}|}$ ．

注：$|\boldsymbol{A}| \neq 0$ ，称 $\boldsymbol{A}$ 为非奇异矩阵、非退化矩阵，非奇异、非退化与可逆是等价的概念；$|\boldsymbol{A}|=0$ ，称 $\boldsymbol{A}$ 为奇异矩阵、退化矩阵。

> 上面结论记忆技巧，当$a \ne 0$ 时，$a$有倒数。同样，当$|A| \ne 0$ 时，$|A|$ 可逆。

下面三个说法是等价的

> **A可逆 $\Leftrightarrow$ $Ax=0$只有零解  $\Leftrightarrow$  与单位阵E等价**

上面可以拆解为两个意思
① $|A|=0$ 则 $Ax=0$有非零解
② $|A|\ne 0$ 则 $Ax=0$只有零解

记忆技巧：零-非零，  非零-零，这个口诀在后面判断方程的解时经常用到，详见 [对立与统一](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1369)

##  矩阵可逆的几何意义
一个矩阵的逆，其几何意义就是“撤销”原矩阵所代表的线性变换。比如你往东走5米，可逆矩阵让你往西走5米，这样你又回到了原点。当你用一个矩阵 $A$ 乘以一个向量$x$（即 $A * x$），你实际上是在对这个向量进行一个操作，比如是旋转、缩放或剪切变换，而逆矩阵相当于“撤销”这些操作。

**缩放变换**

矩阵 A： $\left(\begin{array}{ll}2& 0 \\0 & 3 \end{array}\right)$。这是一个将$x$方向放大2倍，$y$方向放大3倍的变换。
几何效果：一个正方形会被拉伸成一个 2x3 的矩形。
逆矩阵 $A^{-1}$： $\left(\begin{array}{ll} \frac{1}{2} & 0 \\0 & \frac{1}{3}  \end{array}\right)$。
逆的几何意义：将变换后的图形在x方向缩小到1/2，在y方向缩小到1/3。这样，那个被拉伸的 2x3 的矩形就准确地变回了原来的正方形。

**旋转变换**

矩阵 $A$：$\left(\begin{array}{ll} 0 & -1 \\ 1 & 0  \end{array}\right)$ 。这是一个将向量逆时针旋转90度的变换。
几何效果：一个指向右边的箭头，会变成指向上边的箭头。
逆矩阵 $A^{-1}$： $\left(\begin{array}{ll} 0 & 1 \\ -1 & 0  \end{array}\right)$（这恰好也是 A 的转置，对于旋转矩阵，其逆等于其转置）。
逆的几何意义：将变换后的图形顺时针旋转90度。这样，指向上边的箭头就又变回了指向右边的箭头。

### 矩阵不可逆的几何意义
并非所有矩阵都有逆矩阵，有些矩阵没有逆矩阵的本质是：**数据丢失**。

比如一个矩阵作用在一个单位圆上，单位圆变成了椭圆，因此后续能找到一个逆矩阵再把椭圆变成了圆。
但是如果矩阵作用在单位圆上，单位圆变成了直线，那么后续就无法找到一个逆矩阵，把直线还原成圆，详见 [向量的秩](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=482)

![img-text](/uploads/2025-09/9cff66.jpg)

## 逆矩阵的性质

### (1) 唯一性
若 $A$ 可逆，则 $A^{-1}$ 唯一。

**证明**：假设 $B, C$ 都是 $A$ 的逆，则  
$$
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.
$$

---

### (2) $(A^{-1})^{-1} = A$
逆矩阵的逆是原矩阵本身。

**证明**：由 $AA^{-1} = I$ 可知 $A$ 是 $A^{-1}$ 的逆。

---

### (3) $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$（假设 $A, B$ 均可逆）
乘积的逆等于逆的反序乘积。

**证明**：  
$$
(AB)(B^{-1}A^{-1}) = A(BB^{-1})A^{-1} = AIA^{-1} = AA^{-1} = I
$$  
同理可验证右乘也成立。

推广：  
$$
(A_1 A_2 \cdots A_k)^{-1} = A_k^{-1} \cdots A_2^{-1} A_1^{-1}.
$$

---

### (4) $(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T$（转置的逆等于逆的转置）
**证明**：  
由 $(A^T)(A^{-1})^T = (A^{-1}A)^T = I^T = I$，且右乘也成立。

---

### (5) $(A^H)^{-1} = (A^{-1})^H$（共轭转置，复矩阵情形）
类似转置性质，其中 $A^H = \overline{A}^T$。

---

### (6) 数乘：$(\lambda A)^{-1} = \frac{1}{\lambda} A^{-1}$，其中 $\lambda \neq 0$
**证明**：  
$$
(\lambda A)\left( \frac{1}{\lambda} A^{-1} \right) = \lambda \cdot \frac{1}{\lambda} \cdot A A^{-1} = 1 \cdot I = I.
$$

---

### (7) 行列式：$\det(A^{-1}) = (\det A)^{-1}$
**证明**：  
由 $AA^{-1} = I$ 得 $\det(A) \det(A^{-1}) = \det(I) = 1$，所以  
$$
\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det A}.
$$

推论：若 $\det A = 0$，则 $A$ 不可逆。

---

### (8) 秩：$\mathrm{rank}(A^{-1}) = n$（满秩）
因为可逆矩阵等价于满秩矩阵。

---

### (9) 可逆的充要条件
- $A$ 可逆 $\iff \det A \neq 0$  
- $A$ 可逆 $\iff$ 行（列）向量线性无关  
- $A$ 可逆 $\iff$ 齐次方程 $Ax=0$ 只有零解  
- $A$ 可逆 $\iff$ 对任意 $b$，$Ax=b$ 有唯一解  
- $A$ 可逆 $\iff$ $A$ 可表示为初等矩阵的乘积

---

### (10) 逆的伴随矩阵公式
若 $A$ 可逆，则  
$$
A^{-1} = \frac{1}{\det A} \, \mathrm{adj}(A)
$$  
其中 $\mathrm{adj}(A)$ 是 $A$ 的伴随矩阵（代数余子式矩阵的转置）。

---

### (11) 幂运算：$(A^k)^{-1} = (A^{-1})^k = A^{-k}$
对整数 $k \ge 0$ 成立（$k<0$ 时表示逆的幂）。

---

### (12) 分块对角矩阵的逆
若  
$$
A = \begin{pmatrix}
A_{11} & 0 \\
0 & A_{22}
\end{pmatrix}, \quad A_{11}, A_{22} \text{ 可逆}
$$  
则  
$$
A^{-1} = \begin{pmatrix}
A_{11}^{-1} & 0 \\
0 & A_{22}^{-1}
\end{pmatrix}.
$$

更一般的分块三角矩阵也有求逆公式（但非对角块需满足一定条件）。

---

### (13) 正交矩阵：$Q^{-1} = Q^T$
若 $Q^T Q = I$，则 $Q^{-1} = Q^T$。

---

### (14) 相似变换下的逆
若 $B = P^{-1}AP$，则 $B^{-1} = P^{-1}A^{-1}P$。

---

`例` 判断下列矩阵是否可逆:
(1) $A=\left(\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right)$;
(2) $B=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & -2 & 1\end{array}\right)$.

解：(1)因为 $\quad|\boldsymbol{A}|=\left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 1 & -1 & -1 \\ -1 & -1 & 1\end{array}\right|=\left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & -2 \\ 0 & -2 & 2\end{array}\right|=-\left|\begin{array}{ccc}-1 & 1 & -1 \\ 0 & -

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