最后更新: 2025-04-01 07:51 查看: 43 次反馈同步训练

计算曲面面积-X型

## 计算曲面面积-X型
由曲线 $y=f(x) , y=g(x)$ 及直线 $x=a, x=b$ 所围成的平面图形的面积,假设曲线 $y=f(x)$ 位于曲线 $y=g(x)$ 的上方 (见 图 3-23)，则其面积为

$$
S=\int_a^b[f(x)-g(x)] \mathrm{d} x
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230ad8531d.png)
 
 
`例` 求由两条曲线 $y^2=a x$ 和 $a y=x^2 \quad(a>0)$ 围成的平面图形的面积.
解  ① 求两曲线的交点，解方程组

$$
\left\{\begin{array}{l}
y^2=a x \\
a y=x^2
\end{array}\right.
$$
 交点为 $(0,0),(a, a)$
  
 ②画出两条曲线的图形 (见图 3-25)，它们 均为抛物线，并将它们的方程变形为

$$
y=\pm \sqrt{a x} \text { 和 } y=\frac{x^2}{a} .
$$

![图片](/uploads/2022-12/image_20221230222c19f.png)

③ 求面积：
  在求面积时，仔细观察 **红线一直在绿线的上方**，所以被积函数的“大减小”就变成“上减下”即 $\sqrt{ax}-\frac{x^2}{a}$
  ![图片](/uploads/2025-04/3e6277.jpg)
   
  因而所求面积为 $S=\int_0^a\left(\sqrt{a x}-\frac{x^2}{a}\right) \mathrm{d} x$

④ 计算积分
根据上面分析，计算
$$
\begin{aligned}
S & =\int_0^a\left(\sqrt{a x}-\frac{x^2}{a}\right) \mathrm{d} x=\sqrt{a} \int_0^a x^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d} x-\frac{1}{a} \int_0^a x^2 \mathrm{~d} x \\
& =\left.\sqrt{a} \cdot \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}\right|_0 ^a-\left.\frac{1}{a} \cdot \frac{1}{3} x^3\right|_0 ^a \\
& =\frac{1}{3} a^2 .
\end{aligned}
$$

> 在求曲面面积时，脑海里必须时刻牢记“大减小”，不是每个图形都那么容易看出大减小赖，一个简单的解决对策是**想象在原点你手拿旗杆，从左走到右，找到“交叉”点**，要特别留意在交叉点看看函数大小有没有变化。

请看下面例题

`例` 求抛物线 $y^2=2 x$ 与直线 $y=x-4$ 所围成的平面图形的面积.
解 求曲线与直线的交点，即解方程组

$$
\left\{\begin{array} { c } 
{ y ^ { 2 } = 2 x } \\
{ y = x - 4 }
\

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