最后更新: 2025-07-15 07:27 查看: 21 次反馈同步训练

逆矩阵求解方程组

## 逆矩阵解方程
逆矩阵最大的作用是解方程 。

一般线性方程为
$$
\left\{\begin{array}{c}
a_{11} x_1+a_{12} x_2+\cdots+a_{1 n} x_n=b_1 \\
a_{21} x_1+a_{22} x_2+\cdots+a_{2 n} x_n=b_2 \\
\cdots \cdots \cdots \\
a_{n 1} x_1+a_{n 2} x_2+\cdots+a_{n n} x_n=b_n
\end{array}\right.
$$

可写成矩阵形式

$$
\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{\beta},
$$

其中 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)$. 若 $|\boldsymbol{A}| \neq 0$, 则 $\boldsymbol{A}^{-1}$ 必存在, 因此

$$
\boldsymbol{A}^{-1}(\boldsymbol{A} \boldsymbol{x})=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{\beta}
$$

即
$$
 \boldsymbol{x}=\boldsymbol{A}^{-1} \boldsymbol{\beta}   
$$

`例`解矩阵方程 $A X=B$ ，其中 
$$A=\left[\begin{array}{rrr}3 & -1 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 4\end{array}\right]
$$
,
$$
B= \left[\begin{array}{r}
-1 \\
5 \\
10
\end{array}\right]
$$

解： 若 $A$ 可逆，则有 $X=A^{-1} B$ ．
下面先求 $A^{-1}$（ $A$ 是否可逆，在进行初等行变换的过程中就可验证，因为如果 $A$ 可逆，则用上述方法总可以把 $A$ 化成单位矩阵；否则就不可逆）．

把$A$矩阵和单位矩阵$E$进行合并，然后只使用初等行变换把$A$化为$E$ (具体原理参考 [逆矩阵](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=463) 介绍) ，则余下的就是$A^{-1}$
即：

$$
(A, E)=\left[\begin{array}{rrr:rrr}
3 & -1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
-2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
2 & -1 & 4 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right] \xrightarrow{(2)+(1)}\left[\begin{array}{rrr:rrr}
1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\
-2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\
2 & -1 & 4 & 0 & 0 & 1
\end{array}\right]
$$

继续化简，坐标已经是单位矩阵了，右边就是A的逆矩阵
$$
\left[\begin{array}{rrr:rrr}
1 & 0 & 0 & 1 & \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\
0 & 1 & 0 & 2 & \frac{12}{5} & -\frac{3}{5} \\
0 & 0 & 1 & 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5}
\end{array}\right]
$$

因此，$A^{-1}=\left[\begin{array}{rrr}1 & \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ 2 & \frac{12}{5} & -\frac{3}{5} \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]$ ．
于是，$X=A^{-1} B=\left[\begin{array}{lcr}1 & \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ 2 & \frac{12}{5} & -\frac{3}{5} \\ 0 & \frac{1}{5} & \frac{1}{5}\end{array}\right]\left[\begin{array}{r}-1 \\ 5 \\ 10\end{array}\right]=\left[\begin{array}{l}1 \\ 4 \\ 3\end{array}\right]$ ．

## 逆矩阵解方程合并法

> 上面解法过于麻烦，还可以用如下简单方法直接求解，即 $(A, B)$ $\xrightarrow{\text { 初等行变换 }}\left(E, A^{-1}

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