最后更新: 2025-04-24 09:35 查看: 10 次反馈刷题

理解：环流量与旋度

## 环流量的通俗解释

先看一个简单例子:如下这是一汪湖水，其中箭头所指方向为水流方向，长短为水流的力量大小：
 ![图片](/uploads/2025-01/56eb22.jpg){width=300px}

要计算一艘船在水流中受到多少旋转的力，就把这艘船丢到水里去。船的轮廓曲线抽象为封闭曲线，我们称为 $\Gamma$ ：
 ![图片](/uploads/2025-01/444f3b.jpg){width=300px}
 
 可以比较直观的感受单位时间内，这艘船在水场中受到旋转的力就称为环流量。对于一个圆，我们可以比较直观的感受到：垂直方向上的作用力是不会导致船旋转的
  ![图片](/uploads/2025-01/dd6e89.jpg){width=300px}
  
我们只需要切线方向的力,给定一个向量$\vec{A}$, 怎么求得切向力的大小呢？我们只要找到一个单位切向量$\vec{\gamma}$，然后计算两个向量的点积即可。（这里你可能忘记了，两个向量的点积表示一个向量在另外一个向量上的投影详见[高中向量数量积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167)）
   ![图片](/uploads/2025-01/740dfd.jpg){width=300px}
   
因此整个环流量的表达式为：
   
   $\oint_{\Gamma} \vec{A} \cdot \vec{\tau} d$

## 环流量的数学定义

设有向量场

$$
A (x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k,
$$

其中函数 $P, Q$ 与 $R$ 均连续，$\Gamma$ 是 $A$ 的定义域内的一条分段光滑的有向闭曲线， $\tau$ 是 $\Gamma$在点 $(x, y, z)$ 处的单位切向量，则积分

$$
\oint_{\Gamma} A \cdot \tau d s
$$

称为向量场 $A$ 沿有向闭曲线 $\Gamma$ 的环流量．
由两类曲线积分的关系，环流量又可表达为

$$
\oint_{\Gamma} A \cdot \tau d s=\oint_{\Gamma} A \cdot d r =\oint_{\Gamma} P d x+Q d y+R d z .
$$

## 拓展：环流量两个重要结论
现在把环流量这种理念用到磁场里，在高中物理里学过，通电导线在磁场中，受到安培力的作用。

想象一下把一个闭环导线放入磁场里通上电，在导线上取一个线微分元，分析该点的受力和运动方向。可得力A沿着闭合回路上任一点的切线方向施加了一个切向力， 即：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& F =\oint_l A \bullet d l
\end{aligned}
}
$$

![图片](/uploads/2025-01/79ff34.jpg){width=300px}

现在核心结论出来了：

> **若环量为0，即：则该矢里场A就是无旋场了(也称为保守场)，无旋表示没有产生矢量线的旋心；
若环量不为0，即：则该矢量场A就是有旋场了(也称为非保守场)；有旋表示有产生矢量线的旋心。**

**通俗解释**
在一个大型的圆形操场上，有一些风扇在不同的位置吹出不同方向和强度的风，形成了一个风的向量场。现在你在操场的边缘沿着一个圆形的跑道跑步，风对你的作用力会随着你的位置和跑步方向而变化。环流量就是用来描述当你跑完一圈后，风对你整体环绕作用的一个数值。如果环流量不为零，说明风在这个圆形区域内有明显的旋转趋势；如果环流量为零，则表示风没有明显的环绕效果。

## 旋度(环量密度)
环量是对$A$沿某闭曲线旋转趋势＂整体＂的描述。一般说来在向量中，不同点 $M$ 处的旋转趋势不一定相同．为了对 $A$ 的旋转趋势有全面深人的了解，还应该对它作＂局部＂(也就是微观)进行考察

例如，在一有涡旋的流速场中，在涡旋中心附近的点，旋转趋势大，而远离涡旋中心的点，旋转趋势就较小．不仅如此，即使在同一点，由于旋转轴方向的不同也会影响此点旋转趋势的大小．设想将一微小叶轮放在漩涡附近，当叶轮的中心轴垂直于水平面时，旋转较快；倾斜放置时，旋转必减弱（如下图）．

为了描述向量场里，某一“点”的旋转趋势，给出了旋度。
 ![图片](/uploads/2025-04/cf2ae6.jpg)

假设有一速度场，旋度是度量该速度场中的旋转分量。即以数学语言的方式来形容速度场的旋转程度。 旋度公式为

$$
r o t A=\left(\frac{\partial R}{\partial Y}-\frac{\partial Q}{\partial Z}\right) i+\left(\frac{\partial P}{\partial Z}-\frac{\partial R}{\partial X}\right) j+\left(\frac{\partial Q}{\partial X}-\frac{\partial P}{\partial Y}\right) K
$$

为了便于记忆将公式写成：

$$
\operatorname{rot} A=\left|\begin{array}{ccc}
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right|
$$

## 旋度的通俗理解
 
首先我们不考虑三维空间，建立一个二维平面，即 $X Y$ 平面。假设速度场沿 X 方向速度分量是 $P(x, y) i$ ，沿 $Y$ 方向的速度分量是 $Q(x, y) j$ 在 $X Y$ 平面中有一刚体。如下图：
 ![图片](/uploads/2025-01/625730.jpg){width=400px}
 图中的刚体可以是一块木板、玻璃什么的。
  ![图片](/uploads/2025-01/ecfcb3.jpg){width=400px}
  
  当向量 $Q 1= Q 2= Q 3=\ldots \ldots Qn$ 的时候，其中 Q 向量代表速度，向量的长度代表速度的大小。大家可以发现刚体将沿着平行于 $Y$ 轴的方向运动，而不会发生旋转，那么我们说刚体的旋度是 0 。即
  $\frac{\partial Q}{\partial x}=0$
  刚体将不发生旋转。那么刚体如何才能旋转呢？
  
   $\frac{\partial Q}{\partial x} \ne 0$
   
   的时候，即沿着刚体的方向 Q 发生变化时候刚体将产生旋转，如下图：
  ![图片](/uploads/2025-01/c02757.jpg){width=400px}

物理学中我们知道旋转线速度 $=$ 角速度  $\times $ 半径 $(v=w r)$ ，所以角速度

$\omega=\frac{\partial v}{\partial r}$ 可以证明他就是 $\frac{\partial Q}{\partial x} $

旋转轴方向垂直于 $X Y$ 平面。接下来我们看图中的 $A$ 点，如下图：

![图片](/uploads/2025-01/4f3061.jpg)
这里的$P1,P2$和$Q1,Q2$指刚体上不同的点相对于 $Y$ 轴和 $X$ 轴 的角速度变化。
那么很容易发现该旋转是两个旋转的叠加，某一点的角速度

$$
\omega=\frac{\partial Q}{\partial X}-\frac{\partial P}{\partial Y}
$$

即旋度为

$$
\omega=\left(\frac{\partial Q}{\partial X}-\frac{\partial P}{\partial Y}\right) k
$$

由于这是在$XOY$平面得出的结果，同样在$YOZ,XOZ$平面也可以得出同样的推论，因此得到旋度公式

$$
\operatorname{rot} A=\left(\frac{\partial R}{\partial Y}-\frac{\partial Q}{\partial Z}\right) i+\left(\frac{\partial P}{\partial Z}-\frac{\partial R}{\partial X}\right) j+\left(\frac{\partial Q}{\partial X}-\frac{\partial P}{\partial Y}\right) K
$$

若向量场里 rot A 处处为零，表示这是一个无旋场。

##  旋度的数学定
 
 设有一向量场

$$
A(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k,
$$

其中函数 $P, Q$ 与 $R$ 均具有一阶连续偏导数，则向量

$$
\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) i+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) j+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) k
$$

称为向量场 $A$ 的旋度，记作 $\operatorname{rot} A$ ，即

$$
\operatorname{rot} A=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) i+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) j+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) k .
$$

利用向量微分算子 $\nabla$ ，向量场 $A$ 的旋度 $\operatorname{rot} A$ 可表示为 $\nabla \times A$ ，即

利用向量微分算子 $\nabla$ ，向量场 $A$ 的旋度 rot $A$ 可表示为 $\nabla \times A$ ，即

$$
\operatorname{rot} A=\nabla \times A=\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right| .
$$

若向量场 $A$ 的旋度 rot $A$ 处处为零，则称向量场 $A$ 为无旋场．而一个无源且无旋的向量场称为**调和场**．调和场是物理学中另一类重要的向量场，这种场与**调和函数**有密切的关系．

### 通俗理解旋度
 **游泳池排水漩涡**
把游泳池里的水看作一个流体场，当游泳池排水口开始排水时，水会围绕排水口形成一个漩涡。在这个漩涡区域，水流动的方向是绕着排水口做圆周运动的。
如果我们想象在水中某一点放置一个非常小的箭头（代表该点的速度方向），那么在漩涡附近，这些小箭头会呈现出环绕的状态。旋度就可以用来衡量这种环绕的程度和方向。在排水口附近，旋度比较大，因为水环绕排水口快速转动；而离排水口较远的地方，水基本没有环绕运动，旋度就接近零。
描述向量场的局部旋转特性
在物理学和工程学中，很多现象都可以用向量场来描述，比如电磁场、流体力学中的速度场等。旋度主要用于刻画向量场在某一点的局部旋转情况。
以流体的速度场为例，如果在某一点处流体存在旋度，意味着该点附近的流体有环绕某个轴旋转的趋势。旋度的大小表示旋转的强弱，旋度的方向则遵循右手定则，它垂直于旋转平面，指向旋转的方向。例如在一个三维的流体速度场中，通过计算某一点的旋度，我们可以知道该点处的流体是顺时针还是逆时针旋转，以及旋转的剧烈程度。
判断向量场是否有源或汇之外的旋转效应
除了源（像喷泉向四周喷水，水从一点向外流出）和汇（像一个洞，水向里面汇聚）之外，向量场还可能存在旋转的特性。旋度就是专门用来检测这种旋转效应的工具。
比如在一个磁场中，如果磁场的分布存在旋度，就意味着磁场是由电流产生的（根据安培环路定理）。因为电流会产生环绕的电场，进而形成有旋度的磁场。通过计算磁场的旋度，我们可以确定电流的分布情况，从而更好地理解电磁现象。

## 环流量和旋度的关系
环流量就是向量沿着一个封闭曲线点乘求和（积分）。当封闭曲线围成的面积无穷小时，这个环量除以面积就是旋度，也就是说旋度是单位面积环量。

> **通俗理解环量和旋度为：小船在水里旋转（这里是环流量，是宏观表现）是小船上每一点的旋转累加的宏观反应（这里是旋度，是微观表现）**

![图片](/uploads/2025-04/b64e18.jpg){width=500px}

如果图形是不规则的，也是可以的，如下图局部的状态
 ![图片](/uploads/2025-04/ed0be4.jpg)
 
 局部累加形成宏观的旋转，可以说，旋度表示了 宏观世界是微观的累积显示。
  ![图片](/uploads/2025-04/5f7253.jpg){width=300px}

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