最后更新: 2025-07-25 15:20 查看: 74 次反馈同步训练

理解：环流量与旋度

## 环流量的通俗解释

先看一个简单例子:如下这是一汪湖水，其中箭头所指方向为水流方向，长短为水流的力量大小：
 ![图片](/uploads/2025-01/56eb22.jpg){width=300px}

要计算一艘船在水流中受到多少旋转的力，就把这艘船丢到水里去。船的轮廓曲线抽象为封闭曲线，我们称为 $\Gamma$ ：
 ![图片](/uploads/2025-01/444f3b.jpg){width=300px}
 
 可以比较直观的感受单位时间内，这艘船在水场中受到旋转的力就称为环流量。对于一个圆，我们可以比较直观的感受到：垂直方向上的作用力是不会导致船旋转的，只有切线方向的力会导致船旋转。
  ![图片](/uploads/2025-01/dd6e89.jpg){width=300px}
  
我们只需要切线方向的力,给定一个向量$\vec{A}$, 怎么求得切向力的大小呢？我们只要找到一个单位切向量$\vec{\gamma}$，然后计算两个向量的点积即可。（这里你可能忘记了，两个向量的点积表示一个向量在另外一个向量上的投影详见[高中向量数量积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167)）
   ![图片](/uploads/2025-01/740dfd.jpg){width=300px}
   
因此整个环流量的表达式为：
   
   $\oint_{\Gamma} \vec{A} \cdot \vec{\tau} d$

### 环流量的数学定义

设有向量场

$$
A (x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k,
$$

其中函数 $P, Q$ 与 $R$ 均连续，$\Gamma$ 是 $A$ 的定义域内的一条分段光滑的有向闭曲线， $\tau$ 是 $\Gamma$在点 $(x, y, z)$ 处的单位切向量，则积分

$$
\oint_{\Gamma} A \cdot \tau d s
$$

称为向量场 $A$ 沿有向闭曲线 $\Gamma$ 的环流量．
由两类曲线积分的关系，环流量又可表达为

$$
\boxed{
\oint_{\Gamma} A \cdot \tau d s=\oint_{\Gamma} A \cdot d r =\oint_{\Gamma} P d x+Q d y+R d z .
}
$$

### 拓展：环流量两个重要结论
现在把环流量这种理念用到磁场里，在高中物理里学过，通电导线在磁场中，受到安培力的作用。

想象一下把一个闭环导线放入磁场里通上电，在导线上取一个线微分元，分析该点的受力和运动方向。可得力A沿着闭合回路上任一点的切线方向施加了一个切向力， 即：

$$
\boxed{
\begin{aligned}
& F =\oint_l A \bullet d l
\end{aligned}
}
$$

![图片](/uploads/2025-01/79ff34.jpg){width=300px}

现在核心结论出来了：

> **若环量为0，即：则该矢里场A就是无旋场了(也称为保守场)，无旋表示没有产生矢量线的旋心；
若环量不为0，即：则该矢量场A就是有旋场了(也称为非保守场)；有旋表示有产生矢量线的旋心。**

>通俗解释环量:在一个大型的圆形操场上，有一些风扇在不同的位置吹出不同方向和强度的风，形成了一个风的向量场。现在你在操场的边缘沿着一个圆形的跑道跑步，风对你的作用力会随着你的位置和跑步方向而变化。环流量就是用来描述当你跑完一圈后，风对你整体环绕作用的一个数值。如果环流量不为零，说明风在这个圆形区域内有明显的旋转趋势；如果环流量为零，则表示风没有明显的环绕效果。

`例`  向量场 $A=\left(x^2-y\right) i+4 z j+x^2 k$ 沿闭曲线 $\Gamma$ 的环流量，其中 $\Gamma$ 为雉面 $z=$ $\sqrt{x^2+y^2}$ 和平面 $z=2$ 的交线，从 $z$ 轴正向看 $\Gamma$ 为逆时针方向．

解 $\Gamma$ 的向量方程为

$$
r=2 \cos \theta i+2 \sin \theta j+2 k, \quad 0 \leqslant \theta \leqslant 2 \pi .
$$

于是

$$
\begin{gathered}
A =\left(x^2-y\right) i +4 z j +x^2 k =\left(4 \cos ^2 \theta-2 \sin \theta\right) i +8 j +4 \cos ^2 \theta k \\
d r =(-2 \sin \theta d \theta) i +(2 \cos \theta d \theta) j \\
\oint_{\Gamma} A \cdot \tau d s=\oint_{\Gamma} A \cdot d r =\int_0^{2 \pi}\left(-8 \cos ^2 \theta \sin \theta+4 \sin ^2 \theta+16 \cos \theta\right) d \theta=4 \pi
\end{gathered}
$$

## 旋度(环量密度)
环量是对$A$沿某闭曲线旋转趋势＂整体＂的描述。一般说来在向量中，不同点 $M$ 处的旋转趋势不一定相同．为了对 $A$ 的旋转趋势有全面深人的了解，还应该对它作＂局部＂(也就是微观)进行考察

例如，在一有涡旋的流速场中，在涡旋中心旋转趋势大，而远离涡旋中心的点，旋转趋势就较小,又，当叶轮的中心轴垂直于水平面时，旋转较快；倾斜放置时，旋转较慢，所以，描述“旋转”包含了大小和方向，因此旋度被定义为一个矢量。
 ![图片](/uploads/2025-04/cf2ae6.jpg){width=300px}

#### 旋度的数学定义
 设有一向量场

$$
A(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k,
$$

其中函数 $P, Q$ 与 $R$ 均具有一阶连续偏导数，则向量

$$
\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) i+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) j+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) k
$$

称为向量场 $A$ 的旋度，记作 $\operatorname{rot} A$ 或 $\operatorname{curl} A$ ，即

$$
\operatorname{rot} A=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) i+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) j+\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right) k .
$$

利用向量微分算子 $\nabla$ ，向量场 $A$ 的旋度 $\operatorname{rot} A$ 可表示为 $\nabla \times A$ ，即

$$
\operatorname{curl} A=\operatorname{rot} A=\nabla \times A=\left|\begin{array}{ccc} 
i & j & k \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right| .
$$

若向量场 $A$ 的旋度 rot $A$ 处处为零，则称向量场 $A$ 为无旋场．而一个无源且无旋的向量场称为**调和场**．调和场是物理学中另一类重要的向量场，这种场与**调和函数**有密切的关系．

## 旋度的通俗理解
 
首先我们不考虑三维空间，建立一个二维平面，即 $X Y$ 平面。假设速度场沿 X 方向速度分量是 $P(x, y) i$ ，沿 $Y$ 方向的速度分量是 $Q(x, y) j$ 在 $X Y$ 平面中有一刚体。如下图：
 ![图片](/uploads/2025-01/625730.jpg){width=400px}
 图中的刚体可以是一块木板、玻璃什么的。
  ![图片](/uploads/2025-01/ecfcb3.jpg){width=400px}
  
  当向量 $Q 1= Q 2= Q 3=\ldots \ldots Qn$ 的时候，其中 Q 向量代表速度，向量的长度代表速度的大小。大家可以发现刚体将沿着平行于 $Y$ 轴的方向运动，而不会发生旋转，那么我们说刚体的旋度是 0 。即
  
**$\frac{\partial Q}{\partial x}=0$ 刚体将不发生旋转。**
  
  
  那么刚体如何才能旋转呢？
  
   $\frac{\partial Q}{\partial x} \ne 0$
   
   的时候，即沿着刚体的方向 Q 发生变化时候刚体将产生旋转，如下图：
  ![图片](/uploads/2025-01/c02757.jpg){width=400px}

物理学中我们知道旋转线速度 $=$ 角速度  $\times $ 半径 $(v=w r)

其他版本
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