最后更新: 2025-04-22 13:20 查看: 600 次反馈刷题

斯托克斯公式 Stokes

### 三大公式概述
曲线积分、曲面积分、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是多元积分学最复杂的内容，下表列出了各种积分的关心，方便读者理解其间的关系。
![图片](/uploads/2025-01/0b7e45.jpg){width=600px}

![图片](/uploads/2025-01/629cce.jpg){width=500px}

##  斯托克斯公式
格林公式给出了平面区域上的二重积分与其边界闭曲线上的曲线积分之间 的关系. 高斯公式表达了空间区域上的三重积分与其边界闭曲面上的曲 面积分之间的关系.
而斯托克斯公式是格林公式的推广：平面区域推广到空间曲面上， 平面上的边界闭曲线相应地推广到空间闭曲线. 即斯托克斯公式给出了空间曲面上的曲面积分与沿着边界曲线所得到的空间闭曲线上的曲线积分之间的关系.

> **从一个广泛的意义上来讲，斯托克斯公式涵盖了定积分的牛顿-莱布尼兹公式、平面的格林公式以及空间的高斯公式，但它的使用是有条件的，他并不是一个万能公式。简单的理解，斯托克斯公式就是平面的格林公式在空间中的推广**

由于闭曲线有方向问题, 曲面又有侧的问题, 因此在讨论斯托克斯公式以前， 先对曲面 $\Sigma$ 及其边界曲线 $\Gamma$ 的方向作如下规定： $\Gamma$ 的正向与 $\Sigma$ 的侧符合右手系 即四指方向指向 $\Gamma$ 的方向，则母指的方向代表曲面的法线方向. 法向确定了，则曲面的侧也确定了（下图显示了曲面的正方形）.

![图片](/uploads/2025-04/dcee20.jpg){width=400px}

> 斯托克斯公式的作用是 曲线积分 $\iint$ 与曲面积分 $\oint$ 相互转化

### 斯托克斯公式
设 $\Gamma$ 是分段光滑的空间有向闭曲线， $\Sigma$ 是以 $\Gamma$ 为边界的分片光滑的 有向曲面， $\Gamma$ 的正向与 $\Sigma$ 的侧符合右手规则，函数 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 在包含 $\Sigma$ 在内的一个空间闭区域 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数，则

$$
\boxed{
\oint_{\Gamma} P d x+Q d y+R d z =
\iint_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{\partial Q}{\partial y}-\frac{\partial P}{\partial x}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y 
}
$$

记忆方法：参考下图
  ![图片](/uploads/2025-04/269c14.jpg){width=400px}
### 与格林公式的联系
观察定理图中发现，如果只看平面$xoy$
 ![图片](/uploads/2025-04/da71e4.jpg)
 
 那么对该平面上的投影做斯托克斯公式就能发现
因为
$$
\left\{\begin{array}{l}
z=0 \\
(x, y) \in L
\end{array}\right.
$$
即为格林公式，所以格林公式是斯托克斯公式的平面特例

###  斯托克斯公式向量表示
如图，边界为 $\partial \Sigma$ ，围成曲面为 $\Sigma$ ：
 ![图片](/uploads/2025-01/00bab1.jpg)

最简单的形式：

$$
\iint_{\Sigma} \nabla \times F \cdot d \Sigma =\oint_{\partial \Sigma} F \cdot d r  
$$

## 通俗解释斯托克斯公式

> 注意：在阅读不问前，建议已经阅读了 [换流量和散度](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2686) ,因为他们息息相关

假设我们在有旋电场中放了一个有边界的曲面金属网，每个网格都是正方形，那么它们四条边上的导线就组成了一个小线圈回路。

而这些网格都足够小，小到可以看作一个个面积微元(请想象一个金属网漏勺…… )
 ![图片](/uploads/2025-01/f1e890.jpg)
 
 于是我们就可以计算每个微元上的电动势了。
但现在有个问题：
金属网是曲面的，所以不一定每个面积微元都和电场共面，那么此时电动势怎么算？
这个比较容易解决，让电场在面积微元所在平面上投影，然后继续计算。

这其实也等价于电场的旋度向量在微元的法向量上投影再乘以微元面积，也就是电场旋度 和微元面积法向量做内积运算。

于是每个微元上的电动势就是：

$$
d \epsilon=( \nabla \times E ) \cdot d s
$$

现在进入最关键的一步：
我们来看两个相邻的微元，它们必有一个共同的边。

请看下图，图中微元1的逆时针方向，体现在共同边上，是垂直向上的，图中微元2的逆时针方向，体现在共同边上，是垂直向下的。
 ![图片](/uploads/2025-01/ba5bec.jpg)
 于是微元 1 在这条边上的电动势为 $E_x d y$ ，而微元 2 在这条边上的电动势为 $-E_x d y$ 。
于是我们在累加这两个相邻微元，计算它们组成的新的矩形边缘的电动势微元的时候，共同边上的电动势在计算中就相互抵消了。

如果把所有微元上的电动势都累加起来，那么凡是金属网内部的金属线必然都是某两个微元的共同边界，于是金属网内部这些金属线上的电动势就都被抵消。

累加完之后，就只剩下金属网边界上的电动势。

这句话可以用数学语言翻译一下：
把所有微元的电动势累加起来，也就是对每个微元的电动势在整个曲面上求积分：

$$
\epsilon=\int_{\Sigma} d \epsilon=\int_{\Sigma}( \nabla \times E ) \cdot d s
$$

其中 $\sum$ 是金属网曲面而金属网边界上的电动势就是电场在金属边界上的环量：

$$
\epsilon=\oint_C E \cdot d l
$$

于是前面那句话的意思就是：

$$
\int_{\Sigma}( \nabla \times E ) \cdot d s =\oint_C E \cdot d l
$$

这就是Stokes定理了。

它的意义就是：

旋度（对于电场而言就是产生电动势的能力）与曲面上的微元面积做内积，得到微元上的环量（金属网每个小网格的电动势），再把这些环量在整个曲面上进行累加（左边那个积分），内部的环量就被抵消，最后得到的就是边界上的环量（金属网边界的电动势，即右边那个积分）。

`例`计算曲线积分 $\oint_{\Gamma} z d x+x d y+y d z$ ，其中 $\Gamma$ 为平面 $x+y+z=1$ 被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，从 $z$ 轴正向向 $z$ 轴负向看去时，其方向为逆时针方向。
 ![图片](/uploads/2025-04/ac508d.jpg){width=300px}
 
解： 取 $\Sigma$ 为平面 $x+y+z=1$ 上以 $\Gamma$ 为边界的有限部分，取上侧．$P=z, ~ Q=x$ ， $R=y$ ，代入公式

$$
\begin{aligned}
\oint_{\Gamma} z d x+x d y+y d z & =\iiint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc}
d y d z & d z d x & d x d y \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
z & x & y
\end{array}\right| \\
& =\iint_{\Sigma} d y d z+d z d x+d x d y \\
& =3 \iint_{\Sigma} d x d y \\
& =3 \cdot \iint_{D_{x y}} d x d y \\
& =3 \cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}
\end{aligned}
$$

`例` 设 $L$ 是柱面 $x^2+y^2=1$ 与平面 $z=x+y$ 的交线，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去 $L$为逆时针方向，求 $\oint_L x z d x+x d y+\frac{y^2}{2} d z$ ．
 ![图片](/uploads/2025-04/3ae0f4.jpg){width=300px}
 
 解：取 $\Sigma$ 是平面 $x+y-z=0$ 位于 $x^2+y^2=1$ 内的部分，上侧 $\Sigma$ 向 $x O y$ 面投影的投影域为 $D_{x y}: x^2+y^2 \leq 1$ ．

$$
P=x z, Q=x, R=\frac{y^2}{2}
$$

$\Sigma$ 上任一点处的正向法向量为 $\vec{n}=(-1,-1,1)$

$$
\therefore \cos \alpha=\frac{-1}{\sqrt{3}}, \cos \beta=\frac{-1}{\sqrt{3}}, \cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{3}}
$$

从而由斯托克斯公式

$$
\begin{aligned}
& \oint_L x z d x+x d y+\frac{y^2}{2} d z \\
= & \iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{lll}
\frac{-1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
x z & x & \frac{y^2}{2}
\end{array}\right| d S=\iint_{\Sigma} \frac{1}{\sqrt{3}}(1-x-y) d S \\
= & \iint_{D_{x y}} \frac{1}{\sqrt{3}}(1-x-y) \cdot \sqrt{1+1^2+1^2} d x d y \\
= & \iint_{D x y} d x d y-\iint_{D x y} x d x d y-\iint_{D x y} y d x d y
\end{aligned}
$$

![图片](/uploads/2025-04/a87339.jpg){width=300px}
 
 $$
 \begin{aligned}
&\text { 因为 } D_{x y} \text { 关于 } x \text { 轴和 } y \text { 轴对称，且 } x \text { 是关于 } x \text { 的奇函数，} y \text { 是关于 } y \text { 的奇函数 }\\
&\begin{aligned}
\iint_{D x y} x d x d y=0 & \quad \iint_{D x y} y d x d y=0 \\
& \therefore \oint_L x z d x+x d y+\frac{y^2}{2} d z=\iint_{D x y} d x d y=\pi
\end{aligned}
\end{aligned}
$$

## 例题

`例`计算曲线积分 $\prod_{\Gamma} z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} z$ ，其中 $\Gamma:\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2+z^2=1 \\ x+y+z=0\end{array}\right.$ ，若从 $O z$ 轴 的正向朝下看去，取逆时针方向.
解 由斯托克斯公式，有

$$
\begin{aligned}
\underset{\Gamma}{f_{\Gamma}} z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} z & =\iint_{\Sigma}(1-0) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+(1-0) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+(1-0) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \\
& =\iint_{\Sigma} \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\mathrm{d} x \mathrm{~d} y ，
\end{aligned}
$$

由 $\Sigma: x+y+z=0 ， n=(1,1,1) ， \cos \alpha=\cos \beta=\cos \gamma=\frac{1}{\sqrt{3}}$ ，
则 $\int_{\Gamma} z \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+y \mathrm{~d} z=3 \iint_{\Sigma} \frac{1}{\sqrt{3}} \mathrm{~d} S=\sqrt{3} \pi \cdot 1^2=\sqrt{3} \pi$.
例 $16 I=\oint_L(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z$ ，其中 $L:\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2=1 \\ x-y+z=2\end{array}\right.$ ，从 $z$ 轴 正向望下看， $L$ 为顺时针方向.
解法一 取 $\Sigma$ 为平面 $x-y+z=2$ 上 $x^2+y^2 \leq 1$ 部分的下侧， $\Sigma$ 在 $x O y$ 面上的 投影区域为 $D: x^2+y^2 \leq 1$ ，

$$
\begin{aligned}
I & =\int_L(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z \\
& =\int_L\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{d} y \mathrm{~d} z & \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x & \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
z-y & x-z & x-y
\end{array}\right|=\iint_{\Sigma}^2 2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-2 \iint_D \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=-2 \pi
\end{aligned}
$$

$$
\begin{aligned}
& \text { 解法二 取 } L:\left\{\begin{array}{c}
x=\cos \theta \\
y=\sin \theta \\
z=2-\cos \theta+\sin \theta
\end{array} ， \theta: 2 \pi \rightarrow 0\right. \text { ， } \\
& I=\oint_L(z-y) \mathrm{d} x+(x-z) \mathrm{d} y+(x-y) \mathrm{d} z \\
& =-\int_{2 \pi}^0[2(\sin \theta+\cos \theta)-2 \cos 2 \theta-1] \mathrm{d} \theta=-2 \pi \text {. } \\
&
\end{aligned}
$$

设有向量场

$$
\boldsymbol{A}(x, y, z)=P(x, y, z) \boldsymbol{i}+Q(x, y, z) \boldsymbol{j}+R(x, y, z) \boldsymbol{k},
$$

其中 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z) 、 R(x, y, z)$ 具有一阶连续偏导数，则向量

$$
\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \boldsymbol{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \boldsymbol{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial y}-\frac{\partial P}{\partial x}\right) \boldsymbol{k}
$$

就称为向量场 $A$ 的旋度，记作 $\operatorname{rot} A$ ，即

$$
\operatorname{rot} \boldsymbol{A}=\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \boldsymbol{i}+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \boldsymbol{j}+\left(\frac{\partial Q}{\partial y}-\frac{\partial P}{\partial x}\right) \boldsymbol{k}
$$

若 $\Gamma$ 是 $A$ 的定义域内的一条分段光滑的有向闭曲线， $\tau$ 是 $\Gamma$ 在点 $(x, y, z)$ 处 的单位切向量，则曲线积分

$$
\int_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\int_{\Gamma} \boldsymbol{A}_\tau \mathrm{d} s
$$

就称为向量场 $A$ 沿有向闭曲线 $\Gamma$ 的环流量.

`例`求矢量场 $\boldsymbol{A}=x^2 \boldsymbol{i}-2 x \boldsymbol{j}+z^2 \boldsymbol{k}$ 在点 $M_0(1,1,2)$ 处的散度及旋度.
解 $\operatorname{div} \boldsymbol{A}=\frac{\partial A_x}{\partial x}+\frac{\partial A_y}{\partial y}+\frac{\partial A_z}{\partial z}=2 x+(-2 x)+2 z=2 z$. 故 $\left.\operatorname{div} \boldsymbol{A}\right|_{M_0}=4$.

$$
\begin{aligned}
\operatorname{rot} \boldsymbol{A} & =\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_x}{\partial z}\right) \boldsymbol{i}+\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right) \boldsymbol{j}+\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right) \boldsymbol{k} \\
& =(0-0) \boldsymbol{i}+(0-0) \boldsymbol{j}+(-2 y-0) \boldsymbol{k} \\
& =-2 y \boldsymbol{k} .
\end{aligned}
$$

故 $\left.\operatorname{rot} \boldsymbol{A}\right|_{M_0}=-2 \boldsymbol{k}$.

`例`求向量场 $\boldsymbol{A}=(-y, x, c)$ ，其中c为常数，沿圆周 $\left\{\begin{array}{c}x^2+y^2=R^2 \\ z=0\end{array}\right.$ 的环流 量.
解 环流量 $\int_{\Gamma} A_\tau \mathrm{d} s=\int_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z=\int_{\Gamma}-y \mathrm{~d} x+x \mathrm{~d} y+c \mathrm{~d} z$
若取 $\Gamma: ~ x=R \cos \theta ， y=R \sin \theta ， z=0(0 \leq \theta \leq 2 \pi)$ ，则

$$
\int_{\mathrm{T}} A_\tau \mathrm{d} s=\int_0^{2 \pi}\left(R^2 \sin ^2 \theta+R^2 \cos ^2 \theta+c \cdot 0\right) \mathrm{d} \theta=2 \pi R^2 ，
$$

或取 $\Sigma ： z=0\left(x^2+y^2 \leq R^2\right)$ ，利用斯托克斯公式，有

$$
\int_{\Gamma} A_\tau \mathrm{d} s=\iint_{\Sigma}-\mathrm{d} y \mathrm{~d} z+0 \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+2 \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=2 \iint_{\Sigma} \mathrm{d} x \mathrm{~d} y=2 \pi R^2 .

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