最后更新: 2025-10-26 14:41 查看: 1028 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

斯托克斯公式 Stokes

### 三大公式概述
曲线积分、曲面积分、格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是多元积分学最复杂的内容，下表列出了各种积分的关心，方便读者理解其间的关系。
![图片](/uploads/2025-01/0b7e45.jpg){width=600px}

![图片](/uploads/2025-01/629cce.jpg){width=500px}

##  斯托克斯公式
格林公式给出了平面区域上的二重积分与其边界闭曲线上的曲线积分之间 的关系. 高斯公式表达了空间区域上的三重积分与其边界闭曲面上的曲 面积分之间的关系.
而斯托克斯公式是格林公式的推广：平面区域推广到空间曲面上， 平面上的边界闭曲线相应地推广到空间闭曲线. 即斯托克斯公式给出了空间曲面上的曲面积分与沿着边界曲线所得到的空间闭曲线上的曲线积分之间的关系.

> **从一个广泛的意义上来讲，斯托克斯公式涵盖了定积分的牛顿-莱布尼兹公式、平面的格林公式以及空间的高斯公式，但它的使用是有条件的，他并不是一个万能公式。简单的理解，斯托克斯公式就是平面的格林公式在空间中的推广**

### 斯托克斯公式
设 $\Gamma$ 是分段光滑的空间有向闭曲线， $\Sigma$ 是以 $\Gamma$ 为边界的分片光滑的 有向曲面， $\Gamma$ 的正向与 $\Sigma$ 的侧符合右手规则，函数 $P(x, y, z) 、 Q(x, y, z), R(x, y, z)$ 在包含 $\Sigma$ 在内的一个空间闭区域 $\Omega$ 上具有一阶连续偏导数，如下图

![图片](/uploads/2025-10/6025ca.jpg){width=200px}

则有

$$
\boxed{
\oint_{\Gamma} P d x+Q d y+R d z =
\iint_{\Sigma}\left(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+\left(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\right) \mathrm{d} z \mathrm{~d} x+\left(\frac{\partial Q}{\partial y}-\frac{\partial P}{\partial x}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y  ...\text{(标准公式)}
}
$$

为了便于记忆，利用行列式记号把斯托克斯公式写成

$$
\boxed{
\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc}
\mathrm{d} y \mathrm{~d} z & \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x & \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right|=\oint_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z, ...\text{(行列式表示法)}
}
$$

把其中的行列式按第一行展开，并把 $\frac{\partial}{\partial y}$ 与 $R$ 的＂积＂理解为 $\frac{\partial R}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}$ 与 $Q$ 的＂积＂理解为 $\frac{\partial Q}{\partial z}$ ，等等，于是这个行列式就＂等于＂上面的公式。

利用两类曲面积分间的联系，可得斯托克斯公式的另一形式

$$
\boxed{
\iint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc}
\cos \alpha & \cos \beta & \cos \gamma \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
P & Q & R
\end{array}\right| \mathrm{d} S=\oint_{\Gamma} P \mathrm{~d} x+Q \mathrm{~d} y+R \mathrm{~d} z, ...\text{(方向余弦表示法)}
}
$$

其中 $\boldsymbol{n}=(\cos \alpha, \cos \beta, \cos \gamma)$ 为有向曲面 $\Sigma$ 在点 $(x, y, z)$ 处的单位法向量．

`例`计算曲线积分 $\oint_{\Gamma} z d x+x d y+y d z$ ，其中 $\Gamma$ 为平面 $x+y+z=1$ 被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，从 $z$ 轴正向向 $z$ 轴负向看去时，其方向为逆时针方向。
 ![图片](/uploads/2025-04/ac508d.jpg){width=300px}
 
解：如果利用斯托克斯公式，最主要的是理清楚期间的方向关系，如下图

![图片](/uploads/2025-10/9082dd.jpg){width=500px}

取 $\Sigma$ 为平面 $x+y+z=1$ 上以 $\Gamma$ 为边界的有限部分，取上侧．$P=z, ~ Q=x$ ， $R=y$ ，代入公式

$$
\begin{aligned}
\oint_{\Gamma} z d x+x d y+y d z & =\iiint_{\Sigma}\left|\begin{array}{ccc}
d y d z & d z d x & d x d y \\
\frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\
z & x & y
\end{array}\right| \\
& =\iint_{\Sigma} d y d z+d z d x+d x d y \\
& =3 \iint_{\Sigma} d x d y \\
& =3 \cdot \iint_{D_{x y}} d x d y \\
& =3 \cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}
\end{aligned}
$$

###  斯托克斯公式向量表示
如图，边界为 $\partial \Sigma$ ，围成曲面为 $\Sigma$ ：
 
  ![图片](/uploads/2025-10/45fabc.jpg){width=300px}

最简单的形式：

$$
\boxed{
\iint_{\Sigma} \nabla \times F \cdot d \Sigma =\oint_{\partial \Sigma} F \cdot d r  
}
$$

## 斯托克斯公式的通俗解释

> 注意：在阅读不问前，建议已经阅读了 [换流量和散度](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2686) ,因为他们息息相关

假设我们在有旋电场中放了一个有边界的曲面金属网，每个网格都是正方形，那么它们四条边上的导线就组成了一个小线圈回路。

而这些网格都足够小，小到可以看作一个个面积微元(请想象一个金属网漏勺…… )

![图片](/uploads/2025-10/b5969e.jpg){width=400px}
 
 于是我们就可以计算每个微元上的电动势了。
但现在有个问题：
金属网是曲面的，所以不一定每个面积微元都和电场共面，那么此时电动势怎么算？
这个比较容易解决

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