最后更新: 2025-10-31 15:18 查看: 3490 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

切平面与法线方程★★★★★

## 曲面的切平面
设空间有一曲面$M$（下图绿色图形），在曲面$M$上有一点$x$,过$x$做曲面的一个切线$\vec{v}$，此时点$x$有无数条切线，可以证明（见后面证明），只要曲面光滑，这些切线会在同一个平面上（下图粉红色图形），这个平面被称为**切平面**，常记做$T$
 ![图片](/uploads/2024-09/44c60f.svg){width=300px}

>通俗解释：想象一下把一个球放在桌面上，球面底部与桌面相切，此时桌面就是过该点的切平面。 
注意：在阅读本文前，请确保已经阅读了 **[曲线的切线和法平面](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=393)**

###  曲面的法线
在曲面上，过 $x$ 做切平面的垂线，这条直线被称为**法线**。
 ![图片](/uploads/2024-09/edcddf.svg){width=300px}

### 曲线与曲面的叫法区别

曲线与曲面的叫法区别：切线、法线、切平面、法平面。

**请注意叫法的区别**
对于**曲线**来说，过一点，可以做他的**切线**，如果以向量表示也叫**切向量**，和切线垂直的直线叫**法线**，和切线垂直的平面叫做**法平面**。

对于**曲面**来说，过一点可以做他的**切平面**，和切平面垂直的直线称作**法线**，有时候使用向量表示，称作**法向量**。
 
 
等你学到完后，你会法线，**曲面在某个点处的法向量，法线和切平面实际上是一回式**．若知道法向量 $n$ ，也就可以写出曲面在该点的法线方程和切平面方程．反之，如有法线方程或切平面方程，也就可以从中读出法向量 $n$ ． 怎么读的，请参考 [点法式方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=357)

## 切平面的找法
理解了上面的概念后，接下来就是怎么写出切平面方程，直接下还真不好写，先看一下几何过程 （图片来自 [小崔说数](https://www.bilibili.com/video/BV1Sf421X7ue/)）

![图片](/uploads/2025-10/3f218f.jpg)
 
①首先在曲面上任意找一点$P(x_0,y_0)$，然后过该点做2条曲线。
②分别做这2条曲线的切线
③两条直线确定一个平面，所以，这2条切线就确定了切平面

到这里，你仍然不好写出切平面方程来，这时就需要法向量（法线）知识。

动手旋转一个圆盘陀螺 (如下图), 可以发现陀螺转动时, 圆盘平面时而水平, 时而倾斜, 在不断改变方向. 陀螺的轴也随圆盘平面在不断改变方向, 但**陀螺轴始终与圆盘垂直**.这告诉我们可以用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向, 也就是用与平面垂直的向量 $n$ 来刻画圆盘平面的方向.

这说明，给定一点 $O$ 和一个法向量 $n$, 那么, 过点 $O$, 且以向量 $n$ 为法向量的平面是完全确定的. 这就是向量里介绍的 [点法式方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=357)

![图片](/uploads/2025-06/7fd852.jpg){width=200px}

## 一般曲平面的切平面
现在考虑隐含数给出的一般空间曲面 $\Sigma ： F(x,y,z)=0$ ， 其上有一点$M_0$, 过该点在曲面上有一条曲线 $\Gamma$

![图片](/uploads/2025-10/157b74.jpg){width=300px}

我们先研究曲线 $\Gamma$ 的性质。 $\Gamma$ 曲线可以用参数表示(详见[上一节](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=393))
$x=\varphi(t), y=\psi(t), z=\omega(t)  ...(6-16)$

在 $t=t_0$时，对应于点 $M\left(x_0, y_0, z_0\right)$ ，就可以写出他的切线方程

$$
\frac{x-x_0}{\varphi^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{y-y_0}{\psi^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{z-z_0}{\omega^{\prime}\left(t_0\right)} .
$$
 
 因为曲线 $\Gamma$ 完全在曲面 $\Sigma$ 上，所以有恒等式

$$
F[\varphi(t), \psi(t), \omega(t)] \equiv 0,
$$

又因为 $F(x, y, z)$ 在点 $\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处有连续偏导数，且 $\varphi^{\prime}\left(t_0\right), \psi^{\prime}\left(t_0\right)$ 和 $\omega^{\prime}\left(t_0\right)$ 存在，所以这恒等式左端的复合函数在 $t=t_0$ 时有全导数，且这全导数等于零：

$$
\left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{~d} t} F[\varphi(t), \psi(t), \omega(t)]\right|_{t=t_0}=0,
$$

即有

$$
F_x\left(x_0, y_0, z_0\right) \varphi^{\prime}\left(t_0\right)+F_y\left(x_0, y_0, z_0\right) \psi^{\prime}\left(t_0\right)+F_z\left(x_0, y_0, z_0\right) \omega^{\prime}\left(t_0\right)=0 ...(6-17)
$$

引人向量

$$
\boldsymbol{n}=\left(F_x\left(x_0, y_0, z_0\right), F_y\left(x_0, y_0, z_0\right), F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)\right),
$$

则（6－17）式表示曲线（6－16）在点 $M$ 处的切向量

$$
\boldsymbol{T}=\left(\varphi^{\prime}\left(t_0\right), \psi^{\prime}\left(t_0\right), \omega^{\prime}\left(t_0\right)\right)
$$

与向量 $n$ 垂直．因为曲线（6－16）是曲面上通过点 $M$ 的任意一条曲线，它们在点 $M$ 的切线都与同一个向量 $n$ 垂直，所以曲面上通过点 $M$ 的一切曲线在点 $M$ 的切线都在同一个平面上 ．这个平面称为曲面 $\Sigma$ 在点 $M$ 的切平面．这切平面的方程是

$$
\boxed{
F_x\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(x-x_0\right)+F_y\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(y-y_0\right)+F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(z-z_0\right)=0 .
}
$$

通过点 $M\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 且垂直于切平面的直线称为曲面在该点的法线．法线方程是

$$
\boxed{
\frac{x-x_0}{F_x\left(x_0, y_0, z_0\right)}=\frac{y-y_0}{F_y\left(x_0, y_0, z_0\right)}=\frac{z-z_0}{F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)} .
}
$$

垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量．法向量为

$$
\boxed{
\boldsymbol{n}=\left(F_x\left(x_0, y_0, z_0\right), F_y\left(x_0, y_0, z_0\right), F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)\right)
}
$$

上面推导的视频教程 来自 [小崔说数](https://www.bilibili.com/video/BV15Y411p7cj/)
<video width="640" height="500" controls>
    <source src="/uploads/2025-10/qpm.mp4" type="video/mp4"> 
</video>

### 核心结论

上面推导你或许不能理解，但是这个结论必须要知道，给定一个函数 $f(x,y,z)=0$，对他求偏导 $f'(x), f'(y),f'(z) $，这样就得到3个数， 这3个数组成一个向量，他就是曲面的法向量，即

> **结论：向量$n =\left(f'(x), f'(y),f'(z) \right)$ 为曲面切平面的法向量．**

> **更炸裂的是，对$f(x,y,z)=0$ 求偏导组成的向量也正好是梯度，所以，梯度就是法向量，法向量就是梯度**

曲面和曲线不要搞混淆，

> **如果是曲线，对他求偏导，得到3个数，这3个数组成一个向量，这个向量是曲线的切向量。**

![图片](/uploads/2025-10/d19b7d.jpg)
 
 
 `例`求球面 $x^2+y^2+z^2=14$ 在点 $(1,2,3)$ 处的切平面及法线方程．
解

$$
\begin{aligned}
& F(x, y, z)=x^2+y^2+z^2-14 \\
& \boldsymbol{n}=\left(F_x, F_y, F_z\right)=(2 x, 2 y, 2 z),\left.\quad \boldsymbol{n}\right|_{(1,2,3)}=(2,4,6) .
\end{aligned}
$$

直接带入上面公式，所以在点 $(1,2,3)$ 处此球面的切平面方程为

$$
2(x-1)+4(y-

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【高等数学】切线与法线方程【数学分析】曲面的法向量，法线和切平面【高等数学】空间直线方程及参数方程

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