最后更新: 2025-05-16 18:56 查看: 3255 次反馈同步训练

切平面与法线方程

## 曲线与曲面的叫法区别

| 曲线 | 曲面   |
| ---- | ------ |
| 切线  | 切平面(曲线上一点切线组成的平面) |
| 法线(与切线垂直的**直线**) | 法向量(垂直切平面) |
| 法平面(垂直切线的**平面**)| 切向量(切平面中的向量) |

## 空间曲线的切线方程

假设空间有一条曲线如下图，在曲线上取一点$M_0$,做该点的切线$l$,这被称作**空间曲线的切线** ，再通过该点做一平面$\pi$垂直于切线，则这个平面称作**法平面**
 
 ![图片](/uploads/2025-04/5472b3.jpg){width=600px}
 
#### 空间曲线的参数表示

> 我们想象画家在图纸上画一条曲线 $f$ 的过程．在任意特定时刻 $t$ ，有一个点，譬如说点 $f=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}$ 被画出来，在时间段 $a \leqslant t \leqslant b$ 上画出的所有点的轨迹构成了这条曲线．显然，画家的这种行为可以看作是生成了一个以 $t$ 为自变量的函数 $f$ 。 曲线 $f$ 的位置可以使用$(x,y)$坐标表示，而当 $t$ 在 $a$ 和 $b$ 之间变动时 $x,y$ 也跟着变动。这样，我们就可以把 $f=f(x,y)$ 的函数用 $x=x(t), y=y(t)$ 来表示，

通过这个例子说明，通过引入额外的参数$t$，可以把复杂的数学问题进行分解，因此，对于三维空间曲线$f(x,y,z)$ 如果引入参数$t$可以表示为

$$
\left\{
\begin{array}{c}
x=x(t)  \\\
y=y(t) \\ 
z=z(t) \\
\end{array}
\right.
$$

#### 曲线的切线方程

考虑一个质点在空间里运动，其运动轨迹函数是$f(x,y,z)$，对应的是空间里的一条曲线。对路径 $f$ 分别向$x,y,z$轴求偏导，就得到速度的三个分量：$v_x=f'_x, v_y=f'_y, v_z=f'_z$， 在高中物理里，我们知道，速度方向就是曲线的切线方向，因此速度$\boldsymbol{v} (f'_x, f'_y,f'_z)$ 代表曲线切线的方向向量。

![图片](/uploads/2025-05/292faa.jpg){width=550px}
 
假设质点从 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 经过$\Delta t$ 后运动到了   $M\left(x, y, z\right)$ ，相当于
$$
\begin{array}{c}
x=x_0+v_x \Delta t ... ① \\
y=y_0+v_y \Delta t ...② \\
z=z_0+v_z \Delta t... ③ \\
\end{array}
$$

由①②③ 得
 
 $$
\boxed{ \text{曲线切线方程}
\frac{x-x_0}{f'_x}=\frac{y-y_0}{f'_y}=\frac{z-z_0}{f'_z}=\Delta t ...(1) 
}
$$
 
 (1)式就是曲线切线的公式。抛去公式的物理意义，从数学角度看
 
 > **给你一个空间曲线，分别求偏导，得到3个数，把这3个数当成分母，就可以迅速写出他的切线方程**

`例` 求曲线 $x=t^2+t, y=t^2-t, z=t^2$ 在点 $(6,2,4)$ 处的切线。
解：因为 $x^{\prime}(t)=2 t+1, y^{\prime}(t)=2 t-1, z^{\prime}(t)=2 t$ ，又由方程知，在点 $(6,2,4)$ 处，对应于 $t=2$ ，所以切线的方向向量为 $T=(5,3,4)$ ．

直接带入上面公式(1),故曲线在 $(6,2,4)$ 点处的切线方程为

$$
\frac{x-6}{5}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-4}{4},
$$

**特列**
对于函数$f=f(x,y)$ 如果是显函数，可以看成$x=x$的参数方程，即

$$
\left\{
\begin{array}{c}
x=x  \\\
y=y(x) \\  
\end{array}
\right.
$$

分别求导就得到曲线的一个切向量 $(1,f'(x))$。

#### 曲线的法向量
与曲线的切线垂直的直线是曲线的法线，对于两个向量来说，我们有如下结论： **两个向量垂直，点积为零。** 我们不打算证明这个结论，这是高中数学向量的内容，有兴趣的可以点击 [向量内积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=167) 里查看证明。

![图片](/uploads/2025-05/5405ca.jpg){width=500px}

因此对于向量$t=(1,f'(x))$ ，很容易写出他的一个法向量为$n=(-1,\frac{1}{f'(x)})$ (因为 $1 * -1 + f'(x) * \frac{1}{f'(x)}=0$)

#### 曲线的法平面
对于空间曲线来说，已知过点$M_0(x_0,y_0,z_0)$ ，并且知道法向量
$(x'(t),y'(t),z'(t))$ 就可以很容易写出他的法平面方程为 （注意：仔细观察本文一开始的那张图，可以看到曲线的切线就是法平面的法向量）,具体推导请参考 [法平面方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=357)

**曲线的法平面方程**
$$
\boxed{ \text{}
x'(t)(x-x_0)+y'(t)(y-y_0)+z'(x)(z-z_0)=0
}
$$
 
再次说明：曲线的法向量是指和曲线切线垂直的向量，而曲线法平面的法向量就是曲线切线的向量，请注意两个细微区别。

上面公式有时候也写成向量形式：
$$
(x'(t),y'(t),z'(t)) \cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0)
$$

这其实就是向量内积的形式。

## 曲面的切平面与法线方程

#### 曲面的切平面
设空间有一曲面$M$（下图绿色图形），在曲面$M$上有一点$x$,过$x$做曲面的一个切线$\vec{v}$，此时点$x$有无数条切线，可以证明（见后面证明），只要曲面光滑，这些切线会在同一个平面上（下图粉红色图形），这个平面被称为切平面（Tangent space），记做$T$
 ![图片](/uploads/2024-09/44c60f.svg){width=300px;}
 
 >通俗解释：想象一下把一个球放在桌面上，球面底部与桌面相切，此时桌面就是过该点的切平面。

####  曲面的法线
在曲面上，过$x$做切平面的垂线，这条直线被称为法线。
 ![图片](/uploads/2024-09/edcddf.svg){width=300px;}

#### 切平面与法平面
对于**曲线**来说，过一点，可以做他的切线，和切线垂直的平面叫做法平面。

对于**曲面**来说，过一点可以做他的切平面，和切平面垂直的直线称作法线。

![图片](/uploads/2025-04/4623c9.jpg)

## 曲面的法线
给定曲面 $S$ 及其上一点 $P_0$ ，若曲面 $S$ 上通过点 $P_0$ 的一切曲线在 $P_0$ 点的切线都在同一平面上，则称此平面为曲面 $S$ 在点 $P_0$ 处的**切平面**．通过 $P_0$而与切平面垂直的直线称为曲面在 $P_0$ 点的**法线**．该法线的方向也称为曲面在 $P_0$ 点的**法方向**．

![图片](/uploads/2025-05/e68c2b.jpg){width=300px}
 
下面来求曲面的切平面与法线的方程．先给出一个结论，然后证明这个结论

> **结论：向量$n =\left(f'(x), f'(y),f'(z) \right)$ 为曲面切平面的法向量．**

即：给定一个函数，分别求偏导，得到3个数，用这3个数组成一个向量，就是曲面切平面的法向量。**更炸裂的是，上面的求导过程正好是梯度**。因此，也可以说，**梯度就是切平面的法向量**。

### 证明
下面证明上面的结论。 设曲面 $S$ 的方程为
$F(x, y, z)=0$, $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 是曲面 $S$ 上一点，假设函数 $F(x, y, z)$ 在 $P_0$ 附近可微且光滑，在上述假设条件下,向量$n =\left(F_x\left(x_0, y_0, z_0\right), F_y\left(x_0, y_0, z_0\right), F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)\right)$ 与曲面 $S$ 上过点 $P_0$ 的一切曲线在 $P_0$ 处的切线垂直．

证明 考虑曲面 $S$ 上过 $P_0$ 的任一条光滑曲线 $l$ ，其参数方程为

$$
l:\left\{\begin{array}{l}
x=\varphi(t), \\
y=\psi(t), \\
z=\omega(t),
\end{array} \quad \alpha \leqslant t \leqslant \beta .\right.
$$

于是有恒等式

$$
F(\varphi(t), \psi(t), \omega(t)) \equiv 0, \quad \alpha \leqslant t \leqslant \beta .
$$

又设点 $P_0$ 对应于参数 $t_0$ ，将上式两端在 $t_0$ 处对 $t$ 求导数，由复合函数求导公式得：

$$
F_x\left(x_0, y_0, z_0\right) \varphi^{\prime}\left(t_0\right)+F_y\left(x_0, y_0, z_0\right) \psi^{\prime}\left(t_0\right)+F_z\left(x_0, y_0, z_0\right) \omega^{\prime}\left(t_0\right)=0,
$$

即

$$
n \cdot\left(\varphi^{\prime}\left(t_0\right), \psi^{\prime}\left(t_0\right), \omega^{\prime}\left(t_0\right)\right)=0
$$

而 $\left(\varphi^{\prime}\left(t_0\right), \psi^{\prime}\left(t_0\right), \omega^{\prime}\left(t_0\right)\right)$ 是曲线 $l$ 在 $P_0$ 点的切向量．上式说明 $n$ 与曲线 $l$在 $P_0$ 点的切线垂直．由于 $l$ 是曲面上过点 $P_0$ 的任意一条曲线，于是命题得证．

**命题说明，曲面上过点 $P_0$ 的任一曲线在 $P_0$ 处的切线都与同一个向量 $n$垂直，因而所有这些切线就在同一个平面上**．根据定义，此平面即为切平面．

命题还说明， $n$ 就是切平面的法向量．因而曲面在点 $P_0$ 的切平面方程为

**切平面方程**

$$
\boxed{ 
\begin{gathered}
F_x\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(x-x_0\right)+F_y\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(y-y_0\right) +F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)\left(z-z_0\right)=0 .
\end{gathered}
}
$$

下面是**法线方程**

$$
\boxed {
\frac{x-x_0}{F_x\left(x_0, y_0, z_0\right)}=\frac{y-y_0}{F_y\left(x_0, y_0, z_0\right)}=\frac{z-z_0}{F_z\left(x_0, y_0, z_0\right)} .
}
$$

> 记忆技巧：给你两个向量 $a=(x,y), b=(m,n)$ 如果两个向量垂直，则点积为零，即 $xm+yn=0$ , 如果两个向量平行，则坐标成比例，即 $\frac{x}{m}=\frac{y}{n}$ 这一结论在向量运算里大量使用。 另外，看到 $xm+yn=0$ 也要能逆推他是两个向量 $a=(x,y), b=(m,n)$ 垂直

当曲面 $S$ 由显函数

$$
z=f(x, y)
$$

表示时，把它改写成隐函数方程：$\quad f(x, y)-z=0$ ．于是曲面 $S$ 在点 $P_0\left(x_0, y_0, f\left(x_0, y_0\right)\right)$ 处的法向量为

\left(f_x\left(x_0, y_0\right), f_y\left(x_0, y_0\right),-1\right)
 
$$

曲面 $S$ 在 $P_0$ 的切平面方程为

$$
\boxed{
f_x\left(x_0, y_0\right)\left(x-x_0\right)+f_y\left(x_0, y_0\right)\left(y-y_0\right)-\left(z-z_0\right)=0 .
}
$$

法线方程为

$$
\boxed{
\frac{x-x_0}{f_x\left(x_0, y_0\right)}=\frac{y-y_0}{f_y\left(x_0, y_0\right)}=\frac{z-z_0}{-1} .
}

其他版本
【高等数学】空间直线方程及参数方程【高等数学】切线与法线方程

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