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空间曲线的切线和法平面★★★★★

## 空间曲线的切线和法平面
假设空间有一条曲线如下图，在曲线上取一点$M_0$,做该点的切线$l$,这被称作**空间曲线的切线** ，再通过该点做一平面$\pi$垂直于切线，则这个平面称作**法平面**
 
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上面是几何的解释，下面用数学语言表述：空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right) \in \Gamma$ 处的切线是这样定义的. 在曲线 $\Gamma$ 上任取一点 $M\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z\right)$ ，作割线 $M_0 M$ 则当点 $M$ 沿曲线 $\Gamma$ 趋近于 $M_0$ 时，割线的极限位置 $M_0 T$ 称为空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 处的切线，点 $M_0$ 为切点 (见下图).
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过点 $M_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 并与空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0$ 处的切线 $M_0 T$ 垂 直的平面称为空间曲线 $\Gamma$ 在点 $M_0$ 处的法平面。

空间曲线通常有两种表达方式：参数方程和一般方程，下面分别叙述。

## 空间曲线的参数表示
设空间曲线 $\Gamma$ 的方程为

$$
x=x(t), \quad y=y(t), \quad z=z(t), \quad \alpha \leqslant t \leqslant \beta . ...(8.1)
$$

并假定(8.1）式的三个函数都在 $[\alpha, \beta]$ 上可导．若记 $\boldsymbol{r}=(x, y, z)$ ，则曲线的参数方程可写为

$$
\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}(t)=x(t) \boldsymbol{i}+y(t) \boldsymbol{j}+z(t) \boldsymbol{k} ...(8.2)
$$

当 $x(t), y(t), z(t)$ 均在 $[\alpha, \beta]$ 上连续时，曲线 $\Gamma$ 是一条连续曲线．设 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right), P_1\left(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y, z_0+\Delta z\right)$ 为曲线 $\Gamma$ 上对应于参量 $t_0, t_0+\Delta t$ 的两个点，$x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)$ 存在且不同时为零，则曲线上连接 $P_0, P_1$ 的割线方程为 ,详细推导参考 [空间直线的参数方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=361)

$$
\frac{x-x_0}{\Delta x}=\frac{y-y_0}{\Delta y}=\frac{z-z_0}{\Delta z}  
$$

把上式两端的分母同除以$\Delta t$ 得

$$
\frac{x-x_0}{\frac{\Delta x}{\Delta t}}=\frac{y-y_0}{\frac{\Delta y}{\Delta t}}=\frac{z-z_0}{\frac{\Delta z}{\Delta t}} ...(8.3)
$$

仔细看(8.3)的分母，他不就是$f(x)$的三个偏导数吗？固当点 $P_1$ 沿曲线 $\Gamma$ 趋近于 $P_0$ 时，即当 $\Delta t \rightarrow 0$ 时，割线的极限位置是曲线在 $P_0$ 处的切线．而当是切线时，其切线方程的分母正好是三个偏导数。如果记$f(x,y,z)$三个偏导数分别是   $x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)$

就可以得到曲线的切线方程为 **切线方程**为

$$
\boxed{
\frac{x-x_0}{x^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{y-y_0}{y^{\prime}\left(t_0\right)}=\frac{z-z_0}{z^{\prime}\left(t_0\right)}  ...(8.4)
}
$$

三个偏导数组成一个向量，称作曲线的切向量，即

$$
\boxed{
T\left(t_0\right)=\left(x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)\right)
}
$$

若 $x^{\prime}\left(t_0\right), y^{\prime}\left(t_0\right), z^{\prime}\left(t_0\right)$ 中有个别为零，则按空间解析几何中对称式方程的说明来理解。

过点 $P_0$ 且与其切线垂直的平面（过点 $P_0$ 且与 $P_0$ 处的切线垂直的所有直线都在此平面上），称为曲线 $\Gamma$ 在点 $P_0$ 处的法平面．**法平面方程**为 推导参考 [平面方程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=358)

$$
\boxed{
x^{\prime}\left(t_0\right)\left(x-x_0\right)+y^{\prime}\left(t_0\right)\left(y-y_0\right)+z^{\prime}\left(t_0\right)\left(z-z_0\right)=0 ...(8.5)
}
$$

上面公式有时候也写成[向量内积](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=354)形式：
$$
\boxed{
(x'(t),y'(t),z'(t)) \cdot (x-x_0,y-y_0,z-z_0)=0) ...(8.6)
}
$$

这其实就是向量内积的形式。

## 空间曲线参数表示的物理解释

> 我们想象画家在空间上画一条曲线 $\Gamma$ 的过程．在任意特定时刻 $t$ ，有一个点，譬如说点 $f=x \boldsymbol{i}+y \boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}$ 被画出来，在时间段 $a \leqslant t \leqslant b$ 上画出的所有点的轨迹构成了这条空间曲线．显然，画家的这种行为可以看作是生成了一个以 $t$ 为自变量的函数 $\Gamma$ 。 曲线 $\Gamma$ 的位置可以使用$(x,y,z)$坐标表示，而当 $t$ 在 $a$ 和 $b$ 之间变动时 $x,y,z$ 也跟着变动。这样，我们就可以把 $\Gamma=f(x,y,z)$ 的函数用 $x=x(t), y=y(t),z=z(t)$ 来表示，

上面这个例子告诉我们，通过引入中间参数$t$ 可以把复杂的函数分解为各个分量进行独立处理。

现在通过高中物理课的粒子运动进一步解释，粒子运动时，**物体的速度方向就是曲线的切线方向**。考虑一个质点在空间里运动，其运动轨迹函数是曲线$f$, 对 $f$ 分别向$x,y,z$轴求偏导，就得到速度的三个分量：$v_x=f'_x, v_y=f'_y, v_z=f'_z$，

质点从 $P_0\left(x_0, y_0, z_0\right)$ 经过$\Delta t$ 后运动到了   $P \left(x, y, z\right)$ ，相当于
$$
\begin{array}{c}
x=x_0+v_x \Delta t ① \\
y=y_0+v_y \Delta t ② \\
z=z_0+v_z \Delta t ③ \\
\end{array}
$$
 
  ![图片](/uploads/2025-05/292faa.jpg){width=400px}
 
 
 由①②③ 得
 
 $$
\boxed{
\frac{x-x_0}{f'_x}=\frac{y-y_0}{f'_y}=\frac{z-z_0}{f'_z} ...(3) 
}
$$
 
 (3)式就是上面(8.4)公式的物理解释。
 
> **公式（3）告诉我们：给你一个函数，分别求导，然后得到3个数，这3个数从物理理解，就是速度的三个分量，从数学理解，这3个数组成一个向量，就是曲线的切向量 （因为速度方向本身就是曲线的切线方式，所以这2个理解是一致的），他还是法平面的法向量，更炸裂的是，这3个数组成的向量就是梯度。总之，这几个概念是统一的**

`例`求曲线 $x=t^2+t, y=t^2-t, z=t^2$ 在点 $(6,2,4)$ 处的切线和法平面．

解 因为 $x^{\prime}(t)=2 t+1, y^{\prime}(t)=2 t-1, z^{\prime}(t)=2 t$ ，又由方程知，在点 $(6,2,4)$ 处，对应于 $t=2$ ，所以切线的方向向量为 $T=(5,3,4)$ ．故曲线在

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