最后更新: 2025-09-12 08:37 查看: 708 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

向量导数

##  向量函数 
具有大小和方向的量叫向量，由向量组成的函数叫做向量函数．例如质点沿曲线运动时，运动速度的大小和方向会改变，这时速度就是一个变向量。

![图片](/uploads/2025-04/cb9c8c.jpg){width=300px}

> **对于向量导数求导，其实就是对各个分量求导，记住这个结论就可以了。**

下面，我们对导向量的几何意义和物理意义作一简单介绍。
从图4.6(a),(b)中可见，设一质点在时刻$t$的位置在$M$点，经过$\Delta t$后运动到$N$点，因此 $A (t), ~ A (t+\Delta t)$ 的终端分别为 $M, ~ N$ ，则 $\Delta A =\overrightarrow{M N}$ ．当 $\Delta t>0$ 时，$\Delta A$ 的方向与 $l$ 上 $t$ 的增长方向一致，当 $\Delta t<0$ 时，$\Delta A$ 的方向与 $l$ 上 $t$ 的增长方向相反，从而 $\frac{\Delta A }{\Delta t}$ 总是与 $l$ 上 $t$ 的增长方向一致．当 $\Delta t \rightarrow 0$ 时，割线 $M N$ 的极限位置是切线，所以 $A^{\prime}(t)$ 是曲线 $l$ 在点 $M$ 处的切向量，且 $A^{\prime}(t)$ 指向 $l$ 上 $t$ 的增长方向．

![图片](/uploads/2025-09/46d88d.jpg)

微分 $d A = A ^{\prime}(t) d t$ 与导向量 $A ^{\prime}(t)$ 平行，所以微分 $d A$ 也是曲线 $l$ 在点 $M$ 处的切向量。不过由于 $d t$ 可正可负，故 $d A$ 的指向不确定。 $d A$ 的模

$$
|d A |=\left|A^{\prime}(t)\right||d t|=\sqrt{\left(d A_x\right)^2+\left(d A_y\right)^2+\left(d A_z\right)^2} .
$$

特别地，对于向径函数 $r (t)=\{x(t), y(t), z(t)\}$ ，有

$$
\begin{gathered}
d r =\{d x, d y, d z\} \\
|d r|=\sqrt{(d x)^2+(d y)^2+(d z)^2}
\end{gathered}
$$

我们知道，在规定了正向的光滑曲线 $l$ 上，取定一点作为度量弧长 $s$ 的起点，并将正向取作 $s$ 的增长方向，这样就有弧微分

$$
d s= \pm \sqrt{(d x)^2+(d y)^2+(d z)^2}
$$

由此可见

$$
|d r|=|d s|
$$

即向径函数的微分的模，等于其终端曲线上的弧微分的绝对值，并

进而可得

$$
\left|\frac{d r}{d s}\right|=\frac{|d r|}{|d s|}=1
$$

即向径函数对弧 $s$ 的导向量是一个单位向量。
设动点 $M$ 的向径为 $r=r(t), M$ 的轨迹为 $l$ ．又设从 $t=0$ 到时刻 $t$ ，点 $M$ 在 $l$ 上所经过的路程为 $s=s(t)$ ，那末

$$
\frac

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