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2024-10-01 22:10
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切线与法线方程
切线与法线
函数 在点 x_0 处的导数在几何上表示曲线 y=f(x) 在点 M\left(x_0, f\left(x_0\right)\right) 处切线的斜率
k=\tan \alpha=f^{\prime}\left(x_0\right)
相应地,切线方程为
\boxed{
y-f\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)
}
法线方程为 y-f\left(x_0\right)=-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_0\right)}\left(x-x_0\right)\left(f^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0\right)
法线即为过切点 M\left(x_0, f\left(x_0\right)\right) 且与切线垂直的直线.
{width=350px}
当两个直线垂直时,斜率乘积为-1,详见高中向量 http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=689
例1
求曲线 y=\frac{1}{x} 在点 \left(\frac{1}{2}, 2\right) 处的切线斜率,并写出切线及法线方程. 解 y^{\prime}=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2} ,曲线 y=\frac{1}{x} 在点 \left(\frac{1}{2}, 2\right) 处的切线斜率为
k=\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{1}{2}}=-4
例2
求曲线 y=\frac{1}{x} 在点 \left(\frac{1}{2}, 2\right) 处的切线斜率,并写出切线及法线方程. 因此,切线方程为 y-2=-4\left(x-\frac{1}{2}\right) ,即 4 x+y-4=0 ; 法线方程为 y-2=\frac{1}{4}\left(x-\frac{1}{2}\right) ,即 2 x-8 y+15=0.
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