最后更新: 2024-10-01 22:10 ● 参与者查看: 1787 次纠错分享参与项目词条搜索

切线与法线方程

## 切线与法线
函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数在几何上表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $M\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处切线的斜率

$$
k=\tan \alpha=f^{\prime}\left(x_0\right)
$$

相应地，切线方程为

$$\boxed{
y-f\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)
}
$$

法线方程为 $y-f\left(x_0\right)=-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_0\right)}\left(x-x_0\right)\left(f^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0\right)$
法线即为过切点 $M\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 且与切线垂直的直线.

![图片](/uploads/2024-10/e21e00.jpg){width=350px}

>当两个直线垂直时，斜率乘积为-1，详见高中向量 http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=689

`例` 求曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线斜率，并写出切线及法线方程. 解 $y^{\prime}=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2}$ ，曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线斜率为

$$
k=\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{1}{2}}=-4
$$

`例` 求曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线斜率，并写出切线及法线方程. 因此，切线方程为 $y-2=-4\left(x-\frac{1}{2}\right)$ ，即 $4 x+y-4=0$ ； 法线方程为 $y-2=\frac{1}{4}\left(x-\frac{1}{2}\right)$ ，即 $2 x-8 y+15=0$.

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