最后更新: 2025-11-01 14:51 查看: 5547 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

切线与法线方程

## 平面曲线的切线与法线
### 切线方程
函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数在几何意义上表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $M\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处切线的斜率，即

$$
k=\tan \alpha=f^{\prime}\left(x_0\right)
$$

已知一条直线过M点，并且知道他的斜率，很容易写出他的切线方程为 
$$
\boxed{
y-f\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)
}
$$

注意：若 $f^{\prime}\left(x_0\right)=\infty$ ，函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 不可导，此时 $\alpha=\frac{\pi}{2}$ 或 $-\frac{\pi}{2}$ ，从而切线方程为 $x=x_0$ ，即切线为坚直切线．

### 法线方程
我们定义与切线垂直的直线称为**法线**，由高中知识知道：当两个直线垂直时，斜率乘积为-1，详见[高中向量]( http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=689)

所以，法线的斜率为$k_n=-\dfrac{1}{f^{\prime}(x_0)}$

由此得法线方程为

$$
\boxed{
y-f\left(x_0\right)=-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_0\right)}\left(x-x_0\right)\left(f^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0\right)
}
$$

### 曲线、切线和法线关系如下图

![图片](/uploads/2025-01/53cfda.jpg){width=300px}
 
 没有理解上面概念的可以参考下面例题理解。

## 例题 
`例` 求曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线斜率，并写出切线及法线方程.

解： $y^{\prime}=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2}$ ，曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线斜率为

$$
k=\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{1}{2}}=-4
$$

因此，切线方程为 $y-2=-4\left(x-\frac{1}{2}\right)$ ，即 $4 x+y-4=0$ ；

法线方程为 $y-2=\frac{1}{4}\left(x-\frac{1}{2}\right)$ ，即 $2 x-8 y+15=0$.

`例` 求曲线 $y=x^3$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线与法线方程．
解 由于 $\left.\left(x^3\right)^{\prime}\right|_{x=x_0}=\left.3 x^2\right|_{x=x_0}=3 x_0^2$ ，所以 $y=x^3$ 在点 $P\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线方程为

$$
y-y_0=3 x_0^2\left(x-x_0\right) .
$$

当 $x_0 \neq 0$ 时，法线方程为 $y-y_0=-\frac{1}{3 x_0^2}\left(x-x_0\right)$ ；当 $x_0=0$ 时，法线方程为 $x=0$ ．

为了把二维空间曲线的切线推广到三维例的空间曲线，下面先介绍一些向量的预备知识，完整介绍见 [空间曲线](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=393)

##  平面的法向量
由直线上一点和直线的一个方向向量就可以确定一条直线的位置, 这启发我们也希望通过一个点和一个向量来确定一个平面的位置。

动手旋转一个圆盘陀螺 (如下图), 可以发现陀螺转动时, 圆盘平面时而水平, 时而倾斜, 在不断改变方向. 陀螺的轴也随圆盘平面在不断改变方向, 但**陀螺轴始终与圆盘垂直**.

![图片](/uploads/2025-06/7fd852.jpg){width=200px}
 
我们可以用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向, 也就是用与平面垂直的向量 $n$ 来刻画圆盘平面的方向.

如果非零向量 $n$ 所在直线与平面 $\alpha$ 垂直，则称 $n$ 为平面 $\alpha$ 的**法向量**。

给定一点 $O$ 和一个向量 $n$, 那么, 过点 $O$, 且以向量 $n$ 为法向量的平面是完全确定的.

如何寻找平面的法向量 $n$ ?
由于两条相交直线可以确定一个平面，因而若一个向量 $\overrightarrow{O N}$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的两条相交直线 $l_1, l_2$, 就可以确定 $\overrightarrow{O N}$ 是平面 $\alpha$ 的一个法向量, 如图, 这样由$ON$和 $l_1, l_2$ 分别垂直，就可以列出两个方程，通过解方程进而可以求出法向量$ON$

![图片](/uploads/2025-06/c76a05.jpg){width=300px}
 
 
一个平面的法向量有无穷多个. 由于垂直于同一平面的直线是平行的, 因而一个平面的所有法向量互相平行.

`例` 如图, 已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中 $A, B, D, A_1$ 的坐标分别为 $A(0,0,0), B(a, 0,0)$, $D(0, a, 0), A_1(0,0, a)$. 求平面 $B D A_1$ 的一个法向量.

![图片](/uploads/2025-06/3d6676.jpg){width=300px}
 
解：设 $n =(x, y, z)$ 是平面 $B D A_1$ 的法向量.
由已知得 $\overrightarrow{B D}=(-a, a, 0), \overrightarrow{}=(-a, 0, a)$,

根据向量的关系，[两向量垂直时点积为零](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1343)，$n$与$B D, B A_1$ 分别垂直，因此可得2个方程组：

因而 $\left\{\begin{array}{l}(-a, a, 0) \cdot(x, y, z)=-a x+a y=0, \\ (-a, 0, a) \cdot(x, y, z)=-a x+a z=0 .\end{array}\right.$
取 $x=1$, 得 $y=z=1$,
则 $n =(1,1,1)$ 是平面 $B D A_1$ 的**一个**法向量.

## 直线的方向向量
直线上两个不同点 $P, Q$ 之间的有向线段的方向就是直线的**方向向量**。

`例`求直线 $y=k x+b$ 的全体方向向量．
解 直线上任意两点 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$ 的坐标满足

$$
k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \text {, 即 } y_2-y_1=k\left(x_2-x_1\right) \text {. }
$$

方向向量 $\overrightarrow{P Q}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1\right)$

$$
\begin{aligned}
& =\left(x_2-x_1, k\left(x_2-x_1\right)\right) \\
& =\left(x_2-x_1\right)(1, k)=\lambda(1, k),
\end{aligned}
$$

其中 $\lambda=x_2-x_1$ 可以取任意非零实数．由此可得：

> **结论**：$y=kx+b$ 的直线的方向向量为 $(1, k)$ 的非零实数倍．

## 直线的法向量
先看一个例子：求直线 $3 x+4 y-12=0$ 的全体方向向量．

解：直线上任意两点 $P\left(x_0, y_0\right), Q(x, y)$ 的坐标满足等式

$$
\begin{gathered}
3 x_0+4 y_0-12=0, ...(1) \\
3 x+4 y-12=0 ...(2).
\end{gathered}
$$

$(2)-(1)$

其他版本
【高等数学】空间直线方程及参数方程【高等数学】切平面与法线方程

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