最后更新: 2025-03-29 16:29 查看: 2497 次反馈刷题

切线与法线方程

## 切线与法线
### 切线方程
函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数在几何意义上表示曲线 $y=f(x)$ 在点 $M\left(x_0, f\left(x_0\right)\right)$ 处切线的斜率，即

$$
k=\tan \alpha=f^{\prime}\left(x_0\right)
$$

相应地，切线方程为

$$
\boxed{
y-f\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right)\left(x-x_0\right)
}
$$

### 法线方程
我们定义与切线垂直的直线称为**法线**，由高中知识知道：当两个直线垂直时，斜率乘积为-1，详见[高中向量]( http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=689)

所以，法线的斜率为$k_n=-\dfrac{1}{f^{\prime}(x_0)}$

由此得法线方程为

$$
\boxed{
y-f\left(x_0\right)=-\frac{1}{f^{\prime}\left(x_0\right)}\left(x-x_0\right)\left(f^{\prime}\left(x_0\right) \neq 0\right)
}
$$

### 曲线、切线和法线关系如下图

![图片](/uploads/2025-01/53cfda.jpg){width=300px}
 
 
 
 ##  平面的法向量
由直线上一点和直线的一个方向向量就可以确定一条直线的位置, 这启发我们也希望通过一个点和一个向量来确定一个平面的位置。

动手旋转一个圆盘陀螺 (如图2.4-3), 可以发现陀螺转动时, 圆盘平面时而水平, 时而倾斜, 在不断改变方向. 陀螺的轴也随圆盘平面在不断改变方向, 但始终与圆盘垂直.
 ![图片](/uploads/2024-11/56d64b.jpg)
 
 我们可以用轴的方向来刻画陀螺圆盘平面的方向, 也就是用与平面垂直的向量 $n$ 来刻画圆盘平面的方向.

如果非零向量 $n$ 所在直线与平面 $\alpha$ 垂直，则称 $n$ 为平面 $\alpha$ 的法向量。
给定一点 $O$ 和一个向量 $n$, 那么, 过点 $O$, 且以向量 $n$ 为法向量的平面是完全确定的.

如何寻找平面的法向量 $n$ ?
由于两条相交直线可以确定一个平面，因而若一个向量 $\overrightarrow{O N}$ 垂直于平面 $\alpha$ 内的两条相交直线 $l_1, l_2$, 就可以确定 $\overrightarrow{O N}$ 是平面 $\alpha$ 的一个法向量, 如图 2.4-4.
 ![图片](/uploads/2024-11/8af841.jpg)
 
一个平面的法向量有无穷多个. 由于垂直于同一平面的直线是平行的, 因而一个平面的所有法向量互相平行.

`例` 如图 2.4-5, 已知正方体 $A B C D-A_1 B_1 C_1 D_1$ 中 $A, B, D, A_1$ 的坐标分别为 $A(0,0,0), B(a, 0,0)$, $D(0, a, 0), A_1(0,0, a)$. 求平面 $B D A_1$ 的一个法向量.
![图片](/uploads/2024-11/0a6c14.jpg)
解 设 $n =(x, y, z)$ 是平面 $B D A_1$ 的法向量.
由已知得 $\overrightarrow{B D}=(-a, a, 0), \overrightarrow{B A_1}=(-a, 0, a)$,

根据向量的关系，[两向量垂直时点积为零](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1343)，可得

因而 $\left\{\begin{array}{l}(-a, a, 0) \cdot(x, y, z)=-a x+a y=0, \\ (-a, 0, a) \cdot(x, y, z)=-a x+a z=0 .\end{array}\right.$
取 $x=1$, 得 $y=z=1$,
则 $n =(1,1,1)$ 是平面 $B D A_1$ 的一个法向量.

## 直线的方向向量
直线上两个不同点 $P, Q$ 之间的有向线段的方向就是直线的**方向向量**。

`例`求直线 $y=k x+b$ 的全体方向向量．
解 直线上任意两点 $P\left(x_1, y_1\right), Q\left(x_2, y_2\right)$ 的坐标满足

$$
k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \text {, 即 } y_2-y_1=k\left(x_2-x_1\right) \text {. }
$$

方向向量 $\overrightarrow{P Q}=\left(x_2-x_1, y_2-y_1\right)$

$$
\begin{aligned}
& =\left(x_2-x_1, k\left(x_2-x_1\right)\right) \\
& =\left(x_2-x_1\right)(1, k)=\lambda(1, k),
\end{aligned}
$$

其中 $\lambda=x_2-x_1$ 可以取任意非零实数．由此可得：

> **重要结论**：$y=kx+b$ 的直线的方向向量为 $(1, k)$ 的非零实数倍．

## 直线的法向量
先看一个例子：求直线 $3 x+4 y-12=0$ 的全体方向向量．

解：直线上任意两点 $P\left(x_0, y_0\right), Q(x, y)$ 的坐标满足等式

$$
\begin{gathered}
3 x_0+4 y_0-12=0, ...(1) \\
3 x+4 y-12=0 ...(2).
\end{gathered}
$$

$(2)-(1)$得

$$
3\left(x-x_0\right)+4\left(y-y_0\right)=0 ...(3)
$$

将$(3)$式的左边写成数量积的形式，得

$$
(3,4) \cdot\left(x-x_0, y-y_0\right)=0 ...(4)
$$

上面结果如下图所示。
 ![图片](/uploads/2025-02/f9f8e2.jpg){width=400px}

这说明过定点 $P$ 及任意点 $Q$ 的线段垂直于 $n =\overrightarrow{O N}$ ，动点 $Q$ 组成的图形就是过定点 $P$ 且与 $O N$ 垂直的直线 $l$（参考上图）．
 
  
用向量运算叙述出来就是：

$$
\begin{aligned}
\overrightarrow{O N} \cdot \overrightarrow{P Q}=0 & \Leftrightarrow(A, B) \cdot\left(x-x_0, y-y_0\right)=0 \\
& \Leftrightarrow A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0 .
\end{aligned}  
$$

由此得到直线 $l$ 的方程**点法式方程**：

$$
\boxed{
A\left(x-x_0\right)+B\left(y-y_0\right)=0 .
}
$$

> **重要结论**：直线的一般式方程 $A x+B y+C=0$ 的一次项系数组成的向量 $(A, B)$ 是直线的一个法向量。

## 例题

`例` 求曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线斜率，并写出切线及法线方程.

解 $y^{\prime}=\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}=-\frac{1}{x^2}$ ，曲线 $y=\frac{1}{x}$ 在点 $\left(\frac{1}{2}, 2\right)$ 处的切线斜率为

$$
k=\left.y^{\prime}\right|_{x=\frac{1}{2}}=-4
$$

因此，切线方程为 $y-2=-4\left(x-\frac{1}{2}\right)$ ，即 $4 x+y-4=0$ ；

法线方程为 $y-2=\frac{1}{4}\left(x-\frac{1}{2}\right)$ ，即 $2 x-8 y+15=0$.

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