最后更新: 2024-10-01 22:16 ● 参与者查看: 469 次纠错分享评论参与项目

函数的可导性与连续性的关系

现在, 我们来讨论可导与连续的关系. 假定函数 $y=f(x)$ 在一点 $x=x_0$可导，这时我们有极限

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=f^{\prime}\left(x_0\right) .
$$

也就是说， $\frac{\Delta y}{\Delta x}-f^{\prime}\left(x_0\right) \rightarrow 0(\Delta x \rightarrow 0)$ 。我们令

$$
\eta(\Delta x)=\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}-f^{\prime}\left(x_0\right),
$$

那么, $\Delta x \rightarrow 0$ 时 $\eta(\Delta x) \rightarrow 0$, 且因此

$$
f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)=f^{\prime}\left(x_0\right) \Delta x+\eta(\Delta x) \Delta x
$$
也趋于 0 , 也即 $f\left(x_0+\Delta x\right) \rightarrow f\left(x_0\right)(\Delta x \rightarrow 0)$. 这表明 $f(x)$ 在 $x_0$ 点连续. 总之，我们证明了：若函数 $\boldsymbol{y}=\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ 在一点可导，则函数在该点连续。可见一个函数 $f(x)$ 若在区间 $(a, b)$ 上可导, 则 $f(x)$ 必在 $(a, b)$ 上连续. 因此, 连续

是可导之必要条件.
但是，连续不是可导的充分条件. 比如

$$
y=x^{\frac{1}{3}}
$$

在 $x=0$ 点是连续的, 但它在该点是不可导的. 事实上, 在该点处 $\Delta y / \Delta x=$ $1 /(\Delta x)^{\frac{2}{3}}$, 因而当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时 $\Delta y / \Delta x$ 趋于 $\infty$, 而不趋于一个有限数. 另外, 我们已经知道

$$
y=|x|
$$

在 $x=0$ 处也是不可导的. 但它在 $x=0$ 处是连续的.
在前一个例子中，曲线在 $(0,0)$ 点的切线垂于 $x$ 轴，因而其与 $x$ 轴夹角的正切为 $\infty$ ，导致导数的不存在。在后一个例子中曲线在 $(0,0)$ 处是一个尖角. 两侧的割线有不同的极限位置, 故在该点没有切线.

下面的函数是另外一个连续而不可导的例子：

$$
y=f(x)= \begin{cases}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{cases}
$$

由于 $|f(x)| \leqslant|x|$, 故它显然在 $x=0$ 点是连续的. 但该函数在 $x=0$ 点是不可导的. 事实上,在 $x=0$ 处，

$$
\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\sin \frac{1}{\Delta x}
$$

在 $\Delta x \rightarrow 0$ 的过程中没有极限。
从几何上看，这个例子中的曲线在 $(0,0)$ 处的割线在 $\Delta x$ 趋于 0 的过程中摇摆不定如下图。
 ![图片](/uploads/2024-10/076f17.jpg)
 
 我们曾经说过, 初等函数在其定义域内是连续的. 但初等函数在其定义或内有可能在个别点是不可导的. 上面例子中 $y=x^{\frac{1}{3}}$ 与 $y=|x|=\sqrt{x^2}$ 都是初等函数.
 
 威尔特拉斯 (K. Weierstrass, 1815-1897)举出一个著名例子表明一个处处连续的函数可以处处不可导. 有兴趣的可以参考《实变函数》里的狄利克雷函数 http://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1455
 
 
## 函数的可导性与连续性的关系
定理1
若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处必连续.
证明
若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，由定义得 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}\left(x_0\right)$ ， 因此，

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x=f^{\prime}\left(x_0\right) \cdot 0=0
$$

故函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处必连续.

>函数连续末必可导， 这说明连续是可导的必要条件.

例如，函数 $f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，但在点 $x=0$ 处不可导. 这是 因为在点 $x=0$ 处有

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\sqrt[3]{\Delta x}-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0}(\Delta x)^{-\frac{2}{3}}=+\infty
$$

即导数为无穷大 (导数不存在). 从图形上看(见 图2-9)，在该点处有与 $x$ 轴垂直的切线 $x=0$.

![图片](/uploads/2022-12/image_2022122744c95cd.png)

再比如， $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 由 $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=0$ ，
得 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，由

$$
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \sin \frac{1}{x}-0}{x-0}=\lim _{x \rightarrow 0} \sin \frac{1}{x} \text { 不存在， }
$$

得 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不可导。由图形可知
(见图2-10), 曲线在 $x=0$ 附近无限次震荡.
![图片](/uploads/2022-12/image_202212275dc4ae4.png)

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