最后更新: 2025-01-27 19:19 查看: 1214 次反馈同步训练

函数的可导性与连续性的关系

## 函数的可导性与连续性的关系
**定理** 若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处必连续.
证明：若函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，由定义得 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=f^{\prime}\left(x_0\right)$ ， 因此，

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \Delta y=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} \cdot \Delta x=f^{\prime}\left(x_0\right) \cdot 0=0
$$

根据连续函数的定义，故函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处必连续.

注意：
（1）该定理的逆命题不成立，即连续函数未必可导，如 $y=|x|$ ；
（2）如果函数在某一点不连续，那么函数在该点一定不可导。

下面这个图虽然不雅观，但是容易理解，一排共享单车放着，连续，可导关系
  ![图片](/uploads/2024-11/94de41.jpg){width=500px}

## 函数连续但是不可导举例

`例` 求 $y=|x|$ 在 $x=0$ 的导数
 解：对于函数 $y=|x|$, 在点 $x=0$ 处（见图2-8)，其图像如下：
 ![图片](/uploads/2022-12/image_2022122766cccdd.png){width=300px}
 
 根据导数的定义：
 $f'(x)=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|0+\Delta x|-|0|}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{|\Delta x|}{\Delta x}$ ，
 
可以看到，当$x$从右侧趋近于零时，其值为1
当当$x$从左侧趋近于零时，其值为-1, 这表示当$x$趋近于零，其值不是唯一的（也就是不存在），所以，$y=|x|$ 在$x=0$处不可导（但是从图上看，他是连续的）。

> 结论1：如果函数图像由尖角，在该点不可导。

`例`函数 $f(x)=\sqrt[3]{x}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，但在点 $x=0$ 处不可导。

这是 因为在点

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