科数网
学习首页
题库
高中数学
高等数学
线性代数
概率统计
实变函数
复变函数
离散数学
数论
群论
公式
高中数学公式
高等数学公式
线性代数公式
概率论公式
初中数学公式
关于
高中
高数
线性
公式
高中数学公式
高等数学公式
线性代数公式
概率论公式
初中数学公式
游客,
登录
注册
在线学习
高等数学
第二章 一元函数微分学
函数和差积商的求导法则
最后
更新:
2024-10-02 09:57
●
参与者
查看:
366
次
纠错
分享
参与项目
词条搜索
函数和差积商的求导法则
## 函数和差积商的求导法则 若 $u(x) 、 v(x)$ 在点 $x$ 处的导数均存在,则它们的和、差、积、商的导数 也都存在,且有 (1) $[u(x) \pm v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) \pm v^{\prime}(x)$ ; (2) $[u(x) \cdot v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)$ ; (3)$\left[\frac{u(x)}{v(x)}\right]^{\prime}=\frac{u^{\prime}(x) v(x)-u(x) v^{\prime}(x)}{v^2(x)}(v(x) \neq 0)$. 证明 我们仅证明 (2) $[u(x) \cdot v(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x)$ $$ \begin{aligned} {[u(x) \cdot v(x)]^{\prime} } & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x) \cdot v(x+\Delta x)-u(x) \cdot v(x)}{\Delta x} \\ & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x) v(x+\Delta x)-u(x) v(x+\Delta x)+u(x) v(x+\Delta x)-u(x) v(x)}{\Delta x} \\ & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0}\left[\frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} v(x+\Delta x)+u(x) \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x}\right] \\ & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{u(x+\Delta x)-u(x)}{\Delta x} v(x+\Delta x)+\lim _{\Delta x \rightarrow 0} u(x) \frac{v(x+\Delta x)-v(x)}{\Delta x} \\ & =u^{\prime}(x) v(x)+u(x) v^{\prime}(x) . \end{aligned} $$ 注 (1) $[C u(x)]^{\prime}=C u^{\prime}(x)$ , 由此可得 $[\alpha u(x)+\beta v(x)]^{\prime}=\alpha u^{\prime}(x)+\beta v^{\prime}(x)$. (2) 若 $u^{\prime}(x) , v^{\prime}(x) , w^{\prime}(x)$ 均存在,则 $[u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)]^{\prime}$ 存在,且 $[u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)]^{\prime}=u^{\prime}(x) v(x) w(x)+u(x) v^{\prime}(x) w(x)+u(x) v(x) w^{\prime}(x)$ ## 求导法则 $$ \boxed{ (u \pm v)^{\prime}=u^{\prime} \pm v^{\prime} ; \quad(u \cdot v)^{\prime}=u^{\prime} \cdot v+u \cdot v^{\prime} ;\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime} \cdot v-u \cdot v^{\prime}}{v^2}(v \neq 0) } $$ 利用商的导数公式可以得到另外四个三角函数的计算公式. $$ \begin{aligned} & (\tan x)^{\prime}=\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)^{\prime}=\frac{\cos x \cdot \cos x-\sin x \cdot(-\sin x)}{\cos ^2 x}=\sec ^2 x ; \\ & (\cot x)^{\prime}=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^{\prime}=\frac{-\sin x \cdot \sin x-\cos x \cdot \cos x}{\sin ^2 x}=\frac{-1}{\sin ^2 x}=-\csc ^2 x ; \\ & (\sec x)^{\prime}=\left(\frac{1}{\cos x}\right)^{\prime}=\frac{0-(-\sin x)}{\cos ^2 x}=\sec x \tan x ; \\ & (\csc x)^{\prime}=\left(\frac{1}{\sin x}\right)^{\prime}=\frac{-\cos x}{\sin ^2 x}=-\csc x \cot x . \end{aligned} $$ 求下列导数 (1) $y=3^x-\ln x+\sin x+\mathrm{e}$ $$ y^{\prime}=\left(3^x-\ln x+\sin x+\mathrm{e}\right)^{\prime}=\left(3^x\right)^{\prime}-(\ln x)^{\prime}+(\sin x)^{\prime}+(\mathrm{e})^{\prime}=3^x \ln 3-\frac{1}{x}+\cos x $$ (2) $f(x)=x^3+4 \cos x-\sin \frac{\pi}{7}$ $$ f^{\prime}(x)=\left(x^3+\cos x-\sin \frac{\pi}{7}\right)^{\prime}=\left(x^3\right)^{\prime}+(4 \cos x)^{\prime}-\left(\sin \frac{\pi}{7}\right)^{\prime}=3 x^2-4 \sin x $$ (3) $y=\left(x^2+3 a^x\right)(\sin x-1)$ $$ \begin{aligned} y^{\prime}=\left[\left(x^2+3 a^x\right)(\sin x-1)\right]^{\prime} & =\left(x^2+3 a^x\right)^{\prime}(\sin x-1)+\left(x^2+3 a^x\right)(\sin x-1)^{\prime} \\ & =\left(2 x+3 a^x \ln a\right)(\sin x-1)+\left(x^2+3 a^x\right) \cos x \end{aligned} $$ (4) $y=(2 x+3)(1-x)(x+2)$ $$ \begin{aligned} y^{\prime} & =(2 x+3)^{\prime}(1-x)(x+2)+(2 x+3)(1-x)^{\prime}(x+2)+(2 x+3)(1-x)(x+2)^{\prime} \\ & =2(1-x)(x+2)+(2 x+3)(-1)(x+2)+(2 x+3)(1-x) \\ & =-6 x^2-10 x+1 \end{aligned} $$ (5) $y=\frac{x+1}{\ln x}$ $$ y^{\prime}=\frac{(x+1)^{\prime} \ln x-(x+1)(\ln x)^{\prime}}{(\ln x)^2}=\frac{\ln x-(x+1) \frac{1}{x}}{(\ln x)^2}=\frac{x \ln x-(x+1)}{x(\ln x)^2} \text {. } $$ (6) $f(x)=\frac{2 \sqrt{x} \tan x}{1+x^2}$ $$ \begin{aligned} f^{\prime}(x) & =2 \frac{(\sqrt{x} \tan x)^{\prime}\left(1+x^2\right)-\sqrt{x} \tan x\left(1+x^2\right)^{\prime}}{\left(1+x^2\right)^2} \\ & =2 \frac{\left(\frac{1}{2 \sqrt{x}} \tan x+\sqrt{x} \sec ^2 x\right)\left(1+x^2\right)-\sqrt{x} \tan x \cdot 2 x}{\left(1+x^2\right)^2}=\frac{2 x\left(1+x^2\right) \sec ^2 x+\left(1-3 x^2\right) \tan x}{\sqrt{x}\left(1+x^2\right)^2} \end{aligned} $$
上一篇:
函数的可导性与连续性的关系
下一篇:
反函数的求导法则
本文对您是否有用?
有用
(
0
)
无用
(
0
)
如果本文对你有用,我们感觉很高兴, 随着规模的增长,我们需要更多资金支持, 欢迎您
打赏作者
索引
高中数学(教程)
高中数学(公式)
高等数学(教程)
高等数学(公式)
线性代数(教程)
线性代数(公式)
赞助商:
启明星会议室预约
题库
关于本站
广告赞助
科数网是专业专业的数学网站。