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反函数的求导法则

## 反函数的求导法则

### 反函数的回顾
如果 $y=f(x)$ 可以写成 $x=f(y)$ 的形式，则后者就表示前者的反函数，但是因为我们总是约定使用$x$表示自变量，用$y$表示因变量，所以后者这个函数应该写成$y=f(x)$ 这样，就又导致反函数和原函数相同了，为此需要引入一个新的函数名：$f^{-1}$， 因此$y=f(x)$的反函数是$y=f^{-1}(x)$

`例`求二次函数 $f(x)=x^2(x>0)$ 的反函数。
解：写出$x$的表达式，即 $x=\sqrt{y}$
再把里面的$x,y$互换，所以其反函数是
$y=\sqrt{x}$
从定义里可以看到，**函数和他的反函数关于$y=x$对称**。关于反函数的想象教程请点击 [反函数教程](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1639)

### 反函数的求导

若函数 $x=\varphi(y)$ 在区间 $I$ 上连续且严格单调，则 $\varphi$ 的值域 $\varphi(I)$ 也是区间，反函数在区间 $\varphi(I)$ 上连续并严格单调。现设 $x=\varphi(y)$ 在点 $y_0$可导，即 $\varphi^{\prime}\left(y_0\right)$ 存在，$x_0=\varphi\left(y_0\right)$ ，问反函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 是否可导？若可导，它的导数 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 与 $\varphi^{\prime}\left(y_0\right)$ 有何关系？我们先从直观上来考察这个问题：

如图所示，$x=\varphi(y)$ 与反函数 $y=f(x)$ 的图形为同一曲线．$x=\varphi(y)$ 在 $y_0$ 可导，说明曲线 $x=\varphi(y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的切线存在，且切线斜率为 $\tan \beta=\varphi^{\prime}\left(y_0\right)$ （ $\beta$ 表示切线与 $y$ 轴正向夹角）。当曲线在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 有不垂直于 $x$ 轴的切线存在，则反函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 必可导。设切线与 $x$轴正向夹角为 $\alpha$ ，则 $\tan \alpha=f^{\prime}\left(x_0\right)$ ．

![图片](/uploads/2025-09/cedfb7.jpg)
 
 
由图 可看出 $\alpha+\beta=\frac{\pi}{2}$ ，故

$$
\begin{aligned}
f^{\prime}\left(x_0\right) & =\tan \alpha=\tan \left(\frac{\pi}{2}-\beta\right) \\
& =\cot \beta=\frac{1}{\tan \beta}=\frac{1}{\varphi^{\prime}\left(y_0\right)}
\end{aligned

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