最后更新: 2025-03-30 10:43 查看: 518 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

左右导数与不可导函数

## 引入
根据前面的讨论可以看出, 一个函数 $y=f(x)$ 在一点的导数, 从数量的角度去看, 就是因变量对自变量的变化率; 从图形上去看, 导数则是函数曲线在相应点处切线的斜率。

应当指出，并非所有函数在其定义域内都是可导的，也就是说，极限

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}
$$

未必总存在. 下面将会看到这样的例子。
我们还要指出，在导数定义中的极限是**双侧极限**。
若单侧极限

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0+} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}
$$

存在，则称之为 $f(x)$ 在 $x_0$ 的**右导数**，记为 $f^{\prime}\left(x_0+0\right)$ 。

类似地，若单侧极限
$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0-} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}
$$

存在, 则称之为 $f(x)$ 在 $x_0$ 的**左导数**, 记为 $f^{\prime}\left(x_0-0\right)$.

显然，**函数在一点可导的充要条件是其左右导数都存在并相等**。

我们考虑函数 $y=|x|$ 。在 $x_0=0$ 点该函数右导数为

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0+0} \frac{|\Delta x|-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0+0} \frac{\Delta x}{\Delta x}=1 ;
$$

而其左导数为

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0-0} \frac{\mid \Delta x\rfloor-0}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0-0} \frac{-\Delta x}{\Delta x}=-1
$$

因此, 该函数在 0 点是不可导的。
后面我们还将给出左导数或右导数不存在的例子。
若在区间 $(a, b)$ 内每一点 $x$ 处函数 $f(x)$ 都可导，则称 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内可导。这时每一个 $x \in(a, b)$ 都对应一个导数值 $f^{\prime}(x)$ ，这样便定义出一个新的函数 $f^{\prime}(x)$, 它被称为 $f(x)$ 的**导函数**.

`例` 设 $f(x)=x(x+1)(x+2) \cdots(x+100)$ ，求 $f^{\prime}(-2)$

解：$f^{\prime}(-2)=\lim _{x \rightarrow-2} \frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}$ ．因为 $f(-2)=\left.x(x+1) \cdots(x+100)\right|_{x=-2}=0$ ，所以 $f^{\prime}(-2)=\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x(x+1) \cdots(x+100)}{x+2}=-2 \cdot(-1) \cdot 1 \cdot 2 \cdots 98=2 \cdot 98!$ ．

## 左右导数的定义

若 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_0^{+}} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$
存在，则称其为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的右导数，记作 $f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ ；
若 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_0^{-}} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$
存在，则称其为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的左导数，记作 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)$.

因此，如同左、右连续概念中的充要条件一样，我们有下列结论:

**函数 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处可导的充要条件是 $f(x)$ 在 $x=x_0$ 处左、右导数 存在且相等.**

现在，我们可回答函数 $y=|x|$ 在 $x=0$ 处不可导的原因:
在上一节[导数的定义](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=283)里得到
$f_{+}^{\prime}(0)=1,f_{-}^{\prime}(0)=-1$
而
$$
f_{+}^{\prime}(0) \neq f_{-}^{\prime}(0)
$$
所以，该导数不存在。

> 从数字上看，导数存在是指他的导数值是唯一的；从几何看，导数存在是指图形没有尖角。

## 例题
`例` 已知 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin x & x<0 \\ x & x \geq 0\end{array}\right.$ ，求 $f_{+}^{\prime}(0), f_{-}^{\prime}(0)$ 及 $f^{\prime}(0)$.
解 $f_{+}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x}{x}=1$,

$$
f_{-}^{\prime}(0)=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim _{x \rightarrow 0^{-}} \frac{\sin x}{x}=1,
$$

故 $f^{\prime}(0)=1$.

`例` 函数 $f(x)=\left|x^2-1\right|$ 的导函数的定义域.
解: 函数 $f(x)=\left|x^2-1\right|$ 是一个到处连续的函数, 它的图象如图所示.
 
 ![图片](/uploads/2025-01/cb1999.jpg){width=400px}
 
 去掉函数式中的绝对值的符号, $f(x)$ 便可以写成分段函数式:

$$
f(x)= \begin{cases}x^2-1, & x \leq-1 \text { 或 } x \geq 1 \\ -\left(x^2-1\right), & -1 \leq x \leq 1\end{cases}
$$

所以

$$
f^{\prime}(x)= \begin{cases}2 x, & x<-1 \text { 或 } x>1 \\ -2 x, & -1<x<1\end{cases}
$$

但是当 $x=-1$ 和 1 时, 函数 $f(x)$ 的左导数和右导数不相等, 即此时导数不存在. 因为当 $x=-1$ 时, 函数 $f(x)$ 在 -1 点左邻域的表达式是

$$
f(x)=x^2-1
$$

而在 -1 点右邻域的表达式是

$$
f(x)=-\left(x^2-1\right)
$$

所以 $f(x)$ 在 $x=-1$ 点的左导数是

$$
\begin{aligned}
f_{-}^{\prime}(-1) & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{f(-1+\Delta x)-f(-1)}{\Delta x} \\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}} \frac{\left[(-1+\Delta x)^2-1\right]-0}{\Delta x} \\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{-}}(-2+\Delta x)=-2
\end{aligned}
$$

$f(x)$ 在 $x=-1$ 点的右导数是

$$
\begin{aligned}
f_{+}^{\prime}(-1) & =\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(-1+\Delta x)-f(-1)}{\Delta x} \\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}} \frac{-\left[(-1+\Delta x)^2-1\right]-0}{\Delta x} \\
& =\lim _{\Delta x \rightarrow 0^{+}}(2-\Delta x)=2
\end{aligned}
$$

由于 $f_{-}^{\prime}(-1) \neq f_{+}^{\prime}(-1)$, 所以我们说 $f(x)$ 在 $x=-1$ 处的导数不存在, 同样可得

$$
-2=f_{-}^{\prime}(1) \neq f_{+}^{\prime}(1)=2
$$

故 $f(x)$ 在 $x=1$ 处也不可微.
因此, $f(x)=\left|x^2-1\right|$ 的导函数的定义域是 $x \neq \pm 1$ 的点的集合, 它的函数值如下：

$$
f^{\prime}(x)= \begin{cases}2 x, & |x|>1 \\ -2 x, & |x|<1\end{cases}
$$

![图片](/uploads/2024-10/47e762.jpg)
 
对照上图来看, 尽管函数 $f(x)=\left|x^2-1\right|$ 处处连续, 但是在 $x=-1$ 和 1 这两点, 曲线的特征是当动点由左侧趋于定点 1 (或 -1$)$ 时, 割线的极限位置存在；当动点由右侧趋于定点 1 (或 -1$)$ 时, 割线的极限位置也存在, 这两个极限位置分别叫 1 (或 -1$)$ 点的左、右切线, 并且它们之间的夹角不为平角, 点 -1 和 1 分别是曲线的一种角点.

`例`   设 $f(x)= \begin{cases}0, & x=0 \\ x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0\end{cases}$ 讨论它在 0 点的导数.
解：先看一下计算机模拟的其图形：
 ![图片](/uploads/2025-01/8609b6.jpg){width=500px}

在前面，我们已经说明了

$$
\lim _{x \rightarrow 0} x \sin \frac{1}{x}=0=f(0)
$$

因此, $f(x)$ 在点 $x=0$ 连续, 很明显 $f(x)$ 在其它各点处也都连续, 所以说 $f(x)$ 是一个到处连续的函数, 我们将说明它在原点不存在导数.

因为

$$
\frac{f(0+\Delta x)-f(0)}{\Delta x}=\frac{\Delta x \sin \frac{1}{\Delta x}}{\Delta x}=\sin \frac{1}{\Delta x}
$$

而当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, $\sin \frac{1}{\Delta x}$ 没有极限，故 $f^{\prime}(0)$ 不存在，就其几何意义来说，当动点沿着曲线 $y=x \sin \frac{1}{x}$ 趋于原点 $O$ 时, 割线 $O Q$ 不断地在 $-\frac{\pi}{4} \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$这个幅度之内摆动，而不趋于任何极限位置，即切线不存在（如下图） 
 ![图片](/uploads/2024-10/16d847.jpg)
 
 
 
 
### 左右极限不同为什么不可导

其实真正原因是该点有了明显的变化。 曲线方程在某点附近可以近似的看成不变，即就是一条直线，这就是极限理论。就如微积分学术其实讲的是微量的累积，对于某一单点是可以看似等于0的存在，但对于整体却又是不可或缺的。 所以[曲线某种意义上讲是一条直线](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=281)。这就是0和1的再一次辩证统一。看到这又不得不佩服周易中理论，人家早已经把这个研究的清清楚楚了。 对于经典的Y=∣x∣,是个很好的理解，首先申明这并不是初等函数，而是真正意义上的非初等函数。 在Y=X，相当于每增加1，Y也增加1，而到了Y=-X的时候，,X每增加-1，Y页增加1，这个变化率有了明显变化，而这个转折点就是在X=0，Y=0开始的。所以原点是突发点，即是尖点，对于导数来讲，就必是不可导点。导数第一章提出的就是研究自变量变化快慢的程度，它研究的就是变化。所以相对于尖点角点拐点等都是明显的变化点。在这个点不可导是必然的。曲线是统称。
真正的线只有2种，直线和折线，微积分下，狭义的曲线就是直线。在直线体系下，都属于统一系统，而折线的转点就是奇点，这是两个系统的分界线，可以把Y=-X和Y=X看成已经不是在统一个系统，可以把Y=-X和Y=X看成是两条直线，而0点作为奇点是它们的中转点。这就是牛顿体系在相对论下被推翻的真正原因，外还补充一句不是牛顿体系错了，而是在某些情况下的不适应性。牛顿体系就是在奇点的不适应，这好比是两个世界的穿梭点，牛顿系统并没有解决，比如在Y=X下，牛顿体系完全适用，而跨过了0点它同样适用，而恰好在0点时它产生了问题。因为它一直认为只有一个世界。而相对论突破了这点。因为这个奇点是属于4维体系，而我们现在最高研究的也就是空间理论，而只是3维而已。

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