最后更新: 2025-11-25 12:01 查看: 773 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

左右导数与不可导函数

## 左右导数的定义 
根据前面的讨论可以看出, 一个函数 $y=f(x)$ 在一点的导数, 从数量的角度去看, 就是因变量对自变量的变化率; 从图形上去看, 导数则是函数曲线在相应点处切线的斜率。

应当指出，并非所有函数在其定义域内都是可导的，也就是说，极限

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}
$$

未必总存在. 下面将会看到这样的例子。
我们还要指出，在导数定义中的极限是**双侧极限**。
若单侧极限

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0+} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}
$$

存在，则称之为 $f(x)$ 在 $x_0$ 的**右导数**，记为 $f_+^{\prime}\left(x_0\right)$ 。

类似地，若单侧极限
$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0-} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}
$$

存在, 则称之为 $f(x)$ 在 $x_0$ 的**左导数**, 记为 $f_-^{\prime}\left(x_0 \right)$.

显然，

> **函数在一点可导的充要条件是其左右导数都存在并相等**。

若在区间 $(a, b)$ 内每一点 $x$ 处函数 $f(x)$ 都可导，则称 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内**可导**。这时每一个 $x \in(a, b)$ 都对应一个导数值 $f^{\prime}(x)$ ，这样便定义出一个新的函数 $f^{\prime}(x)$, 它被称为 $f(x)$ 的**导函数**.

`例` 设 $f(x)=x(x+1)(x+2) \cdots(x+100)$ ，求 $f^{\prime}(-2)$

解：$f^{\prime}(-2)=\lim _{x \rightarrow-2} \frac{f(x)-f(-2)}{x-(-2)}$ ．因为 $f(-2)=\left.x(x+1) \cdots(x+100)\right|_{x=-2}=0$ ，所以 $f^{\prime}(-2)=\lim _{x \rightarrow-2} \frac{x(x+1) \cdots(x+100)}{x+2}=-2 \cdot(-1) \cdot 1 \cdot 2 \cdots 98=2 \cdot 98!$ ．
 
  
> 从数字上看，导数存在是指他的导数值是唯一的；从几何看，导数存在是指图形没有尖角。

## 导数无穷大和导数不存在的关系

> 导数无穷大是导数不存在的一种特殊情况，但导数不存在的原因有很多，导数无穷大只是其中之一。

**1.导数无穷大**
这种情况指的是，当自变量趋近于某一点时，函数的斜率无限增大（趋于正无穷或负无穷）。从几何上看，图像在该点有一条垂直的切线。

例子：函数 $f(x)=x^{1 / 3}$（即 $\sqrt[3]{x}$ ）在 $x=0$ 处。
求导：$f^{\prime}(x)=\frac{1}{3} x^{-2 / 3}=\frac{1}{3 \sqrt[3]{x^2}}$
当 $x$ 趋近于 0 时，$f^{\prime}(x)$ 的分母趋近于 0 ，因此 $f^{\prime}(x)$ 的值趋近于无穷大（ $\infty$ ）。
结论：函数在 $x=0$ 处导数不存在，且其原因是导数无穷大。图像在原点有一个＂尖点＂且切线是垂直的(或者理解为在$x=0$点的切线是垂直$x$轴，因此斜率不存在)。

![图片](/uploads/2025-09/8be368.jpg){width=300px}

**2.尖点/角点与会导致导数不存在**
典型函数是 $y=|x|$，因为在$x=0$有尖角，所以导数不存在。
 ![图片](/uploads/2025-09/9c6124.jpg)

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