最后更新: 2025-09-05 20:16 查看: 856 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

导数的定义

## 导数的引入

**1.速度问题**
设在直线上运动的一质点的位置方程为 $s=s(t)$（ $t$ 表示时间），又设当 $t$为时刻 $t_0$ 时，质点在 $s=s\left(t_0\right)$ 处，问：质点在时刻 $t=t_0$ 的瞬时速度是多少？

基本想法是：从整体来说速度是变化的，但在很短的时间段内可以近似看成是不变的，即当时间间隔 $\Delta t$ 很小时，认为从 $t_0$ 到 $t_0+\Delta t$ 这段时间内，质点的运动近似看成匀速运动，则在时间间隔 $\left[t_0, t_0+\Delta t\right]$ 内质点走过的路程为 $\Delta s=s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)$ ，在此间隔内的平均速度为 $\bar{v}=\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)}{\Delta t}$ ， $\Delta t$ 越小，平均速度越接近于时刻 $t_0$ 的瞬时速度，自然得到

$$
v\left(t_0\right)=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \bar{v}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta s}{\Delta t}=\lim _{\Delta t \rightarrow 0} \frac{s\left(t_0+\Delta t\right)-s\left(t_0\right)}{\Delta t} .
$$

**2.切线问题**
从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切．准确地说，曲线在其上某点 $M_0$ 处的切线是割线 $M_0 M$ 当 $M$ 沿该曲线无限地接近于点 $M_0$的极限位置 $M_0 T$ ．如图所示．

![图片](/uploads/2025-09/6a18cf.jpg){width=300px}

设曲 线 方 程 为 $y=f(x)$ ，过 两 点 $M_0\left(x_0, f\left(x_0\right)\right), M\left(x_0+\Delta x, f\left(x_0+\Delta x\right)\right)$ 的割线斜率为

$$
\begin{aligned}
k_{M_0 M} & =\tan \varphi=\frac{|M N|}{\left|M_0 N\right|} \\
& =\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x},
\end{aligned}
$$
 
则切线斜率为

$$
\lim _{M \rightarrow M_0} k_{M_0 M}=\tan \alpha=k_{M_0 T}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x} .
$$

上面两个都可以归结为一种平均变换率的极限问题，抛去具体应用抽象出共同点，给出“导数”这个概念

## 导数的定义
设函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 的某个邻域内有定义，当 $x$ 在 $x_0$ 处增量为 $\Delta x$ $\left(x_0+\Delta x\right.$ 在该邻域内）时，相应地，函数有增量 $\Delta y=f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)$.

如果

$$
\boxed{
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f\left(x_0+\Delta x\right)-f\left(x_0\right)}{\Delta x}=\lim _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}
}
$$

存在，则称该极限为 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的**导数**，记为

$$
\left.f^{\prime}\left(x_0\right) , \quad y^{\prime}\right|_{x=x_0},\left.\dfrac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_0} \text { 或 }\left.\dfrac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} x}\right|_{x=x_0}
$$

这时也称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导。

如果该极限不存在，称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处**不可导**.

特别地，如果 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\infty$ 时，也称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数为无穷大.

注 
① $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ 是函数 $y=f(x)$ 在间隔 $\Delta x$ 内的平均变化率，从而 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 为函数在点 $x_0$ 的瞬时变化率．

②导数的常见形式还有：

$$
\begin{gathered}
f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} \\
f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}
\end{gathered}
$$

③在上面定义中，$x$ 为 $I$ 内的某一点，一旦选定，在极限过程中不变，而 $\Delta x$ 是变量．但在导函数中，$x$ 是变量．

④若极限 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$ 即 $\lim _{x \rightarrow x_0} \frac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}$ 不存在，就称 $y=f(x)$ 在点 $x=x_0$ 不可导．特别地，若 $\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}=\infty$ ，习惯上也可称 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 的导数为 $\infty$（此时不可导），因为此时 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 的切线存在，它是垂直于 $x$ 轴的直线 $x=x_0$ ．

由以上定义可知：导数 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 是就一点而言的，是一个确定的数，一般与所给函数以及点 $x_0$ 的值有关，与 $\Delta x$ 无关；导函数 $f^{\prime}(x)$ 是就一个区间而言的，是一个确定的函数，与所给函数有关．另一方面，可导函数在某点的导数就是导函数在该点的值，这也是 $f$ 在点 $x_0$ 的导数可以写为 $\left.y^{\prime}\right|_{x=x_0}$ ， $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=x_0}, f^{\prime}\left(x_0\right)=\left.f^{\prime}(x)\right|_{x=x_0}$ 的原因。 $y=f(x)$ 在 $x=x_0$ 的导数 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 就是导函数 $y=f^{\prime}(x)$ 在 $x=x_0$ 的值，不要认为是 $\left[f\left(x_0\right)\right]^{\prime}$ 。

为方便起见，导函数简称为导数，而 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 是函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的导数值．根据函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的导数 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 的定义，
$$
f^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}
$$

是一个极限，而极限存在的充分必要条件是左、右极限都存在且相等，因此 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在即 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导的充分必要条件是极限

$$
\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h} \text { 及 } \lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}
$$

都存在且相等．这两个极限分别称为函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 处的**左导数**和**右导数**，记作 $f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)$ 及 $f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)$ ，即

$$
\begin{aligned}
& f_{-}^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{h \rightarrow 0^{-}} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h}, \\
& f_{+}^{\prime}\left(x_0\right)=\lim _{h \rightarrow 0^{+}} \frac{f\left(x_0+h\right)-f\left(x_0\right)}{h} .
\end{aligned}
$$

左、右导数统称为**单侧导

其他版本
【数学分析】导数的概念与定义【数学分析】左侧导数与右侧导数【复变函数与积分变换】复数的导数与微分【数学分析】微分的几何意义【数学分析】导数的定义【高中数学】导数的意义-瞬时速度与图像切线

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