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高等数学
第二章 一元函数微分学
光滑曲线与切线
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2025-03-29 15:23
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光滑曲线与切线
光滑曲线;切线
我们首先来看几个函数的图像.  大家会发现，在 $x=x_0$ 处它们都是连续的，但是前两个函数的图和后一个函数的图像相比， $x=x_0$ 处有“角点”或“尖点”出现（见图2-1、图2-2)，破坏了图形的美感和润滑度，而第三个函数相对来说 $x=x_0$ 处比较 “光滑" (见图2-3). 那么究竟是什么原因会使图形有这样的差别呢? 这就是这一章要研究的内容：后面将会知道，前面两个函数在 $x=x_0$ 处 "导数" 不存在，即不可导， 而第三个函数在 $x=x_0$ 处是 “可导" 的. ## 割线与切线 在中学数学中， 圆的切线可以定义为“与圆只有一个交点的直线” （见图2-4）  但对于一般曲线， 这样定义是不合适的。例如，直线 $x=1$ 与抛物线 $y=x^2$ 只有一个交点（见图2-5）， 但显然不是实际意义下的切线.  下面我们用极限的思想给出一般曲线的切线的定义. 设曲线 $C: y=f(x) ， x \in I$ ，在曲线 $C$ 上取点 $M\left(x_0, y_0\right)$ 及点 $N(x, y)$ ， 连接 $M N$ ，则 $M N$ 为过点 $M$ 的割线，割线的倾角为 $\varphi$ (见图2-6). 则割线 $M N$ 的斜率为 $$ \tan \varphi=\dfrac{y-y_0}{x-x_0}=\dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} $$  当 $N \rightarrow M$ ，即 $x \rightarrow x_0$ 时，如果割线趋于一极限位置，我们就把此极限位置上的直线 $M T$ 称为曲线在 $M$ 点处的**切线**. 此刻切线的斜率即为 $$ \boxed{ k=\lim _{x \rightarrow x_0} \dfrac{y-y_0}{x-x_0}=\lim _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} } $$ 从上面的例子可以看出， 在求切线斜率的过程中， 需要用到极限思维，为此，引入了导数的概念 但是在进行导数介绍前，再次说一下光滑曲线和切线。 $$ f'(x)=\lim _{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)-f\left(x_0\right)}{x-x_0} $$  ## 光滑曲线与非光滑曲线 在整个高等数学里，基本上研究的都是“光滑曲线”，光滑曲线和非光滑曲线在极限思维上有本质区别，请参见下面一个例子(文章改编自[马同学图解数学CSDN博客](https://blog.csdn.net/ccnt_2012/article/details/104689290) 有改动) 这是美国小学课本上的一个例题：让学生猜测为什么$\pi=4$是错误的： 首先我们画一个直径为1的圆，再画出它的外切正方形，容易得到正方形的周长为4。 然后把正方形的四角都缩进去，容易看出正方形的周长还是4，经过不断重复划分。可以看到整个正方形已经非常“拟合”成了圆。 因此，一方面圆的周长是$\pi d= \pi$ ，一方面正方形的周长是$1 \times 4=4$ ，因为两者相等，所以得到$\pi=4$  这是一个明显错误的结论，那么错在哪里呢？ ### 周长逼近 现在把上面问题复原一下，如下图，随着不断弯折，圆外多边形看上去越来越接近圆  那为什么上面的结论是错误的呢？我们需要明白，在这个弯折过程中，圆外多边形的周长和面积发生了不同的改变： 圆外多边形的**周长**始终保持不变，并没有逼近圆的周长 圆外多边形的**面积**不断逼近圆的面积，所以看上去圆外的多边形看上去越来越接近圆 将圆的右上角放大，可见外接正方形的边无论折成多少个阶梯，只要恰当地平移这些阶梯，就可以还原出之前的正方形 {width=350px} 也就是说，在弯折过程中，圆外多边形的周长始终为4：  更代数一点，可用数列 $a_n=\{4,4,4, \cdots, 4\}$ 来表示弯折过程中外面多边形的周长，很明显该数列的极限为： $$ \lim _{n \rightarrow \infty} a_n=4 $$ 这是一个常数数列，该数列的极限为 4 ，这说明弯折过程中圆外多边形的周长是没有发生变化的。 > 从这里可以得到第一个结论：在使用直线逼近弧线时，必须使用光滑的曲线，否则就会产生错误的结果。 #### 面积逼近 在看一下面积，一开始，外接正方形和圆形的面积大概相差 4 个直角三角形，也就是下图中蓝色的四个直角三角形。因为圆的直径为 1 ，所以容易推出这四个直角三角形的面积之和为 $4 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2}=\frac{1}{2}$ ，也就是说外接正方形和圆形的面积大概相差 $\frac{1}{2}$ ：  不断地弯折圆外多边形，可以算出这些直角三角形的和是在不断减小的，也就是圆外多边形和圆形的面积差在不断减小： 这说明**圆外多边形的面积在不断逼近圆形的面积**，如下图蓝色三角形面积之和越来越趋近于零，所以，多边形面积越来越趋近于圆。  **周长逼近和面积逼近的区别** 从上面可以看到，周长逼近是错误的，而面积逼近是正确的，之所以周长逼近得到错误的结论，是因为我们直觉上认为面积逼近的同时周长也会逼近。这个直觉是错误的，周长和面积并没有绝对的对应关系。 一个经典的例子是科赫雪花,像下面动图一样，从边长为$s$ 的等边三角形开始，可以生成类似于雪花的图像,被称为科赫雪花 {width=200px} 可以证明，科赫雪花的面积的极限为 $\frac{2 \sqrt{3}\left(s^2\right)}{5}$ ，但周长的极限为无穷大， ### 圆弧逼近 再看下面来看一个类似的问题，这个问题可以帮助我们思考得更深一些。同样是直径为1的圆，在它的圆周上画满相切的圆 {width=400px} 如果交替地取这些圆在圆周内的部分和圆周外的部分，就构成了一条缠绕着圆周的连续曲线 {width=400px} 上图中的曲线是由8个圆组成的，当然可以用更多的相切圆来构造该曲线。随着相切圆的增加，该曲线的周长会持续缩小，但是到一定程度后周长就不再缩小了：  从结果看，使用圆弧逼近圆，$\pi$ 近似等于 4.94 > 从这里可以得到第二个结论：在使用曲线逼近弧线时，使用圆弧逼近曲线，也会产生错误。 那怎么才能计算出圆周率呢？答案就是切线。 ### 切线逼近 在微积分中学习过，在一定的条件下，$x_0$ 点附近的曲线可以用切线来近似 {width=350px} 假如要计算曲线在 $[a,b]$ 之间的长度，可以把 $[a,b]$ 切成 $n$ 份，对应的曲线也被分成了 $n$ 份  因为切线是对曲线的近似，所以可用每个部分的切线段长度来近似每个部分的曲线段：  进一步细分$ [a,b]$ ，也就是让 $n$ 变得更大，可以看到近似的效果会越来越好：  当$n \to \infty$时，这些切线段的长度加起来就是曲线的长度。 回头来看一下，之前的例子是用折线或者曲线去逼近圆形的周长： 
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