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假设检验

## 假设检验的背景
在实际问题中，假设检验有着广泛的应用，请看三个引例。

**引例1** 某洗衣粉厂用自动包装机进行包装，正常情况下包装质量 （单位：$g$)  $ X \sim N(500,9)$正态分布 ，现随机抽取 25 袋洗衣粉，测得平均质量 $\bar{x}=$ 501.5 g ，假定方差不变，问可否认为平均包装质量 $\mu$ 仍为 500 g ？

分析：这个问题实际上是根据理论分析，要求在 $\mu=500$ 和其对立面 $\mu \neq 500$之间作出选择．如果选择了 $\mu=500$ ，则包装机继续工作；否则，应选择 $\mu \neq$ 500 ，说明自动包装机工作出现不正常，应该停机检查．

**引例2** 设有某车间生产的甲、乙两批同型号的产品，其次品率分别为 $p_1$ 和 $p_2$ ，其中 $p_1$ 和 $p_2$ 均未知．现从甲批产品中任取 36 件，发现有 2 件次品；再从乙批产品中任取 50 件，发现有 3 件次品，问是否有 $p_1<p_2$ ？

分析：此例是要求在 $p_1<p_2$ 和其对立面 $p_1 \geqslant p_2$ 中，作出理论判断．如果 $p_1 <p_2$ 成立，表明甲批产品的次品率低于乙批产品的次品率，否则，甲批产品的次品率不低于（大于或等于）乙批产品的次品率．

**引例3** 将一枚骰子随机地掷 120 次，并统计出各点数出现的次数如下,问这枚骰子的六个面是否均匀？
  
  ![图片](/uploads/2025-09/17f6a8.jpg){width=400px}
  
 
分析：这里检验的对象是该骰子的六个面均匀或不均匀，如果该骰子的六个面是均匀的，则意味着任意掷一次骰子所出现的点数X应具有下列分布律

![图片](/uploads/2025-09/9e0097.jpg){width=400px}
 
 因此，此例实际上是对X所服从的分布进行检验
 
### 参数检验与非参数检验

以上三个例子均为假设检验，由此可见，假设检验是非常丰富多样的。按检验的内容，假设检验可分为**参数检验**和**非参数检验**

如果总体X的分布类型已知，检验只涉及其中的某些参数，这类假设检验称为参数检验，如引例1中已知包装量X服从正态分布，检验$\mu=500$还是$\mu \ne 500$，这属于参数检验问题。

同样，引例2里，$X$ 和 $Y$ 的分布类型均已知， $X \sim B\left(1, p_1\right), ~ Y \sim B\left(1, p_2\right)$ ，
只是检验参数 $p_1<p_2$ ，还是 $p_1 \geqslant p_2$ ，所以引例2 仍属于参数检验问题．

如果检验问题涉及总体X的分布类型（其中可以包含总体未知参数），而不只是未知参数，这类检验为非参数检验，如引例3中的检验问题就属于非参数检验问题

> 本篇主要介绍参数检验的思想和方法

在参数检验问题中，又会出现单总体和多总体情形．如例1为单总体情形，例2为双总体情形．另外，在参数检验问题中，根据实际需要，还会出现双边检验和单边检验。如例1为双边检验；例2为单边检验．

由上不难发现，假设检验不同于参数估计．参数估计是想了解总体 $X$中未知参数 $\theta$ 的取值大约是多少，从而进行点估计等．而假设检验并不想知道未知参数 $\theta$ 的取值，只是判断未知参数 $\theta$ 是否满足某种关系．如例1中，检验的问题是接受 $\mu=500$ ，还是 $\mu \neq 500$ ，如果 $\mu \neq 500$ ，那么此时 $\mu$取值多少并不是重点关注的问题．在例2中，由题意知，无论是接受了 $p_1<p_2$ ，还是 $p_1 \geqslant p_2$ ，都没有涉及 $p_1$ 和 $p_2$ 各自取值多少的问题．

**由于样本的随机性，我们不能简单直观地对检验问题作出回答**．比如在例2中， 36 件甲批产品中的次品率为 $\frac{2}{36} \approx 5.56 \%, 50$ 件乙批产品中的次品率为 $\frac{3}{50}=6 \%$ ，虽然有 $5.56 \%<6 \%$ ，但不能以此作出结论，认为 $p_1< p_2$ ，而是需要根据假设检验的思想和方法，进行充分的理论分析，最后给出科学客观的结论．

## 假设的提法

称检验问题中相互对立的两个命题为**假设**或统计假设，并将其中一个命题称为**原假设**或**零假设**，约定统一记为$H_0$；另一个命题称为**备择假设**或**对立假设**，约定统一记为$H_1$, 因此检验问题常简记为$(H_0,H_1)$

在例1中，$\mu=500$ 是正常情况下原本有的总体均值，故原假设为 $H_0: \mu=500$ ．而 $\mu \neq 500$ 是可能会发生变化的情况，故备择假设为 $H_1: \mu \neq$ 500 ，所以例1假设检验问题为

$$
H_0: \mu=500, \quad H_1: \mu \neq 500
$$

在例2中，$p_1<p_2$ 是指次品率发生了变化，所以备选假设为 $H_1: p_1< p_2$ 。与之对应，原假设应该为 $H_0: p_1 \geqslant p_2$ 。由于原假设具有＂原本有的＂＂保持不变＂的含义，因此 $H_0: p_1 \geqslant p_2$ 可转化为 $H_0^{\prime}: p_1=p_2$ ．注意此时不可将 $H_1$ ： $p_1<p_2$ 转化为 $H_1^{\prime}: p_1 \neq p_2$ ，从表面上看这种转换似乎合理，但检验的问题已经发生＂质＂的变化．因为接受 $H_1^{\prime}$ 时，可能会出现 $p_1>p_2$ ，这与例2中所需检验的问题完全不同．因此例2的假设检验问题为
$$
H_0: p_1 \geqslant p_2, H_1: p_1<p_2 \text {, 或 } H_0^{\prime}: p_1=p_2, H_1: p_1<p_2 \text {. }
$$

同理，例3的假设检验问题为
$H_0$ ：六个面均匀，$H_1$ ：六个面不均匀．

## 假设检验的思想和方法

### 1．假设检验中的反证法思想
在数学中，证明某命题成立时，经常运用反证法，即先假定该命题不成立，然后进行理论分析和演算，得到矛盾的结果，表明＂假定该命题不成立＂是错误的，从而证明了该命题成立．

在假设检验问题 $\left(H_0, H_1\right)$ 中，也运用反证法思想（注意：不是指严格的反证法）。具体运用方式为：先假定 $H_0$ 成立，然后根据统计分析的思想和方法，进行推理和演算，如果推理和演算的结果中有 矛盾＂的现象出现，就＂主动地＂拒绝 $H_0$ ，接受 $H_1$ ；如果其结果中没有＂矛盾＂的现象出现，就不能拒绝 $H_0$ ，因此只好＂被动地＂接受 $H_0$ ，拒绝 $H_1$ 。

现在的问题是，如何正确理解和认识上述＂矛盾＂的现象＂．事实上，这里的＂矛盾＂并不是指真正意义上与已有条件相抵触的＂矛盾＂．所谓 ＂‘矛盾’的现象＂，实际上是指某种＂不正常的现象＂，这与假设检验的基本原理有着密切的关系。

### 2．假设检嬐的基本原理

**先介绍小概率原理，即在正常情况下，小概率事件在一次抽样中是几乎不可能发生的**．反之，如果在一次抽样中，某小概率事件 $A$ 发生了，应属于＂不正常的现象＂，即＂‘矛盾’的现象＂出现了．在检验问题（ $H_0, H_1$ ）中，就会认为对总体所做的原假设 $H_0$ 不正确，从而拒绝 $H_0$ ，接受 $H_1$ 。

下面举例说明假设检验的基本原理．

`例`某食品厂生产的罐头质量（单位： g ）$X \sim N(\mu, 4)$ ，在正常情况下，$\mu=500$ ．现任意抽取了 16 听罐头，测得其平均质量为 $\bar{x}=502 \mathrm{~g}$ ，问可否认为现在仍有 $\mu=500$ ？

解 由题意知，本题的假设检验问题为 $H_0: \mu=500, H_1: \mu \neq 500$ ．
先假定 $H_0$ 成立，即 $\mu=500$ ．然后构造统计量，对样本进行＂加工＂，把与 $\mu$ 有关的信息收集起来，把与 $\mu$ 无关的信息尽量舍弃掉．由定理 [正态总体的抽样分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=570)

知，$U=\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xlongequal{\text { 当 } H_0 \text { 成立时 }} \frac{\bar{X}-500}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$ ．

又 $\sigma=2, n=16, \bar{x}=502$ ，代入
上述统计量后计算得统计量的观察值为

$$
u_0=\frac{502-500}{2 / \sqrt{16}}=4 .
$$

由于 $U \sim N(0,1)$ ，根据正态分布的＂ $3 \sigma$ 原则＂，$P\{|U|<3\}=0.9974$, 从而 $P\{|U| \geqslant 3\}=0.0026$
，表明 $U$ 的取值基本上都落在区间 $(-3,3)$ 内（如图），而在其外的可能性很小，因此事件 $A=\{|U| \geqslant 3\}$为小概率事件．

![图片](/uploads/2025-09/1111af.jpg)
 
 现在已经求得 $u_0=4$ ，意味着小概率事件 $A=\{|U| \geqslant 3\}$ 竟然在一次抽样中发生了，属于＂不正常的现象＂出现了，根据假设检验的基本原理、应该拒绝 $H_0$ ，即不可认为现在仍有 $\mu=500$ ．

例1只是用来介绍假设检验的基本原理，其中还有许多问题并没有讲透．比如，为什么选择统计量为 $U=\

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