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正态检验-均值检验（Z检验/U检验/t检验）★★★★★

> 正态检验主要检验$\mu$ 和 $\sigma^2$ 他们共有四种情况：
（1） $\sigma^2$ 已知，对 $\mu$ 的检验(称做Z检验法或U检验法)
（2） $\sigma^2$ 未知，对 $\mu$ 的检验(称做T检验法)
（3） $\mu$ 已知，对$\sigma^2$的检验 （这种情况极少使用）
（4）$\mu$ 未知，对$\sigma^2$的检验（称作$\chi^2$ 开方检验）
 
 [本节](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2524)介绍均值，[下一节](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=581)介绍方差。本文最后附有附表供查询。
 
 ## 正态检验
由于实际问题中大多数随机变量服从或近似服从正态分布，所以正态检验与正态分布基本上是等价的，且计算分位数或查相应的分布表比较方便。我们把这种利用服从标准正态分布统计量的检验方法称为正态检验。

正态检验功能强大，内容繁多下表列出主要公式，并介绍常见的几种检验方法。

### 双边检验与单边检验
在假设检验中，$H_0: \mu=\mu_0$ ，备择假设 $H_1: \mu \neq \mu_0$ 的意思是 $\mu$ 可能大于 $\mu_0$ ，也可能小于 $\mu_0$ ，称为**双边备择假设**，并称形如$H_0: \mu=\mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0$ 的假设检验为**双边检验**．但有时我们只关心总体均值是否增大，例如，试验新工艺以提高材料的强度，这时所考虑的总体均值应该越大越好，如果我们能判断在新工艺下总体均值较以往正常生产的总体均值大，则可考虑采用新工艺。此时，我们需要检验假设：

$$
H_0: \mu \leqslant \mu_0 ; H_1: \mu>\mu_0 . ...(8.5)
$$

形如（8．5）式的假设检验，称为**右边检验**。
类似地，有时我们需要检验假设：

$$
H_0: \mu \geqslant \mu_0 ; H_1: \mu<\mu_0 ...(8.6)
$$

形如（8．6）式的假设检验，称为**左边检验**．右边检验与左边检验统称为**单边检验**．

> **本章内容一定要配合例题来理解**

## 1.$\sigma^2$ 已知，关于 $\mu$ 的检验 （U检验或Z检验）

首先考虑以下假设检验．
### （1）双侧检验-检验假设 
$$
H_0: \mu=\mu_0 ; H_1: \mu \neq \mu_0 \text { ( } \mu_0 \text { 为已知常数). }
$$

当 $H_0$ 为真时，由[抽样分布](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=570)定理可知

$$
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1),
$$

故选取 $Z$ 作为检验统计量，记其观察值为 $z$ ，相应的检验法称为 **$Z$ 检验法**或 **$U$检验法**．
因为 $\bar{X}$ 是 $\mu$ 的无偏估计量，当 $H_0$ 成立时， $\bar{x}$ 应接近 $\mu_0$ ，即 $|z|$ 不应太大，当 $H_1$ 成立时， $\bar{x}$ 与 $\mu_0$ 有较大的偏差，即 $|z|$ 有偏大的趋势，故拒绝域形式为

$$
|z|=\left|\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}\right| \geqslant k \quad(k \text { 待定 }) .
$$

对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，有

$$
P\left\{|Z| \geqslant z_{\alpha / 2}\right\}=\alpha .
$$

如图所示，拒绝域为

![图片](/uploads/2025-09/4379be.jpg)

$$
|z|=\left|\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}\right| \geqslant z_{\alpha / 2},
$$

即

$$
W=\left\{|z| \geqslant z_{\alpha / 2}\right\}
$$

根据一次抽样后得到的样本观察值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 计算出 $Z$ 的观察值 $z$ ，若 $|z| \geqslant z_{\alpha / 2}$ ，则拒绝原假设 $H_0$ ，即认为总体均值与 $\mu_0$ 有显著差异；若 $|z|<z_{\alpha / 2}$ ，则接受原假设 $H_0$ ，即认为总体均值与 $\mu_0$ 无显著差异。

类似地推导，对单侧检验有：

### （2）单侧检验-检验假设

$$
H_0: \mu \geqslant \mu_0 ; \quad H_1: \mu<\mu_0
$$

![图片](/uploads/2025-09/c7f268.jpg){width=455px}

对应的拒绝域为

$$
W=\left\{z \leqslant-z_\alpha\right\}
$$
 
 
 
### （3）单侧检验-检验假设

$$
H_0: \mu \leqslant \mu_0 ; \quad H_1: \mu>\mu_0
$$

对应的拒绝域为

$$
W=\left\{z \geqslant z_\alpha\right\}
$$

下面的例题对上面进行了解释。
 
`例`某车间生产钢丝，用 $X$ 表示钢丝的折断力，由经验判断 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu=570, \sigma^2=8^2$ ；今换了一批材料，从性能上看估计折断力的方差 $\sigma^2$ 不会有什么变化（仍有 $\sigma

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