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正态检验-方差检验（卡方χ2检验）

> 正态检验主要检验$\mu$ 和 $\sigma^2$ 他们共有四种情况：
（1） $\sigma^2$ 已知，对 $\mu$ 的检验(称做Z检验法或U检验法)
（2） $\sigma^2$ 未知，对 $\mu$ 的检验(称做T检验法)
（3） $\mu$ 已知，对$\sigma^2$的检验 （这种情况极少使用）
（4）$\mu$ 未知，对$\sigma^2$的检验（称作$\chi^2$ 开方检验）
 
 [本节](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=581)介绍方差，[上一节](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2542)介绍均值。
 
 
 ## 正态检验-方差检验（卡方$χ^2$检验）
### 双边检验与单边检验
在假设检验中，$H_0: \mu=\mu_0$ ，备择假设 $H_1: \mu \neq \mu_0$ 的意思是 $\mu$ 可能大于 $\mu_0$ ，也可能小于 $\mu_0$ ，称为**双边备择假设**，并称形如$H_0: \mu=\mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0$ 的假设检验为**双边检验**．但有时我们只关心总体均值是否增大，例如，试验新工艺以提高材料的强度，这时所考虑的总体均值应该越大越好，如果我们能判断在新工艺下总体均值较以往正常生产的总体均值大，则可考虑采用新工艺。此时，我们需要检验假设：

$$
H_0: \mu \leqslant \mu_0 ; H_1: \mu>\mu_0 . ...(8.5)
$$

形如（8．5）式的假设检验，称为**右边检验**。
类似地，有时我们需要检验假设：

$$
H_0: \mu \geqslant \mu_0 ; H_1: \mu<\mu_0 ...(8.6)
$$

形如（8．6）式的假设检验，称为**左边检验**．右边检验与左边检验统称为**单边检验**．

### 方差检验
设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自 $X$ 的样本， $\bar{X}$ 与 $S^2$ 分别为样本均值与样本方差．关于正态方差 $\sigma^2$ 的检验问题，本章讨论如下三种常用形式：

**（1）$H_0: \sigma^2=\sigma_0^2, H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$
（2）$H_0: \sigma^2 \geqslant \sigma_0^2, H_1: \sigma^2<\sigma_0^2$
（3）$H_0: \sigma^2 \leqslant \sigma_0^2, H_1: \sigma^2>\sigma_0^2$**

## 1. $\mu$未知， $H_0: \sigma^2=\sigma_0^2, H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$

设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), \mu$ 未知，检验假设：

$$
H_0: \sigma^2=\sigma_0^2 ; H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2
$$

其中 $\sigma_0^2$ 为已知常数．
由于样本方差 $S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量，因此，当 $H_0$ 为真时，比值 $\frac{S^2}{\sigma_0^2}$ 一般来说应在 1 附近摆动，而不应过分大于 1 或过分小于 1 。因为[正态抽样](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=570) ，知当 $H_0$ 为真时，

$$
\chi^2=\frac{(n-1) S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)
$$

所以对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，有（见下图）
 ![图片](/uploads/2025-09/c58e40.jpg)
 
 又因对于给定的 $\alpha$ ，查 $\chi^2$ 分布表（见[附表](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1495)），可求得 $\chi^2$ 分布的分位点 $\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)$ 与 $\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n -1)$ ，故 $H_0$ 的接受域为

$$
\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1) \leqslant \chi^2 \leqslant \chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n-1) ;
$$

$H_0$ 的拒绝域为

$$
\chi^2<\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1) \text { 或 } \chi^2>\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n-1) \text {. }
$$

> 这种用服从 $\chi^2$ 分布的统计量对单个正态总体方差进行假设检验的方法，称为 $\chi^2$ 检验法．

`例`已知维尼纶的纤度在正常条件下服从正态分布 $N\left(\mu, 0.048^2\right)$ 。某日从中随机抽取 5 根，测得其纤度分别为 $1.32,1.55,1.36,1.40,1.44$ 。这一天的维尼纶纤度总体标准差是否正常 （显著性水平 $\alpha=0.05$ ）？

解 待检假设为

$$
H_0: \sigma^2=\sigma_0^2=0.048^2 ; H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2=0.048^2 .
$$

由 $n=5, \alpha=0.05$ ，查表，得 $\chi_{0.025}^2(4)=11.143, \chi_{0.975}^2(4)=0.484$ ．
于是，知其拒绝域为

$$
\frac{(n-1) S^2}{\sigma_0^2}>11.143 \text { 或 } \frac{(n-1) S^2}{\sigma_0^2}<0.484 .
$$

而由样本观察值，得

$$
\frac{(n-1) s^2}{\sigma_0^2} \approx 13.51>11.143 .
$$

故拒绝 $H_0$ ，即认为这一天的维尼纶纤度总体标准差不正常．

`例`某供货商声称他们提供的金属线的质量非常稳定，其抗拉强度的方差为 9 。为了检测抗拉强度，在该金属线中随机地抽出 10 根，测得样本标准差 $s=4.5(\mathrm{~kg})$ ，设该金属线的抗拉强度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，若显著性水平为 $\alpha=0.05$ ，问：是否可以相信该供货商的说法？

解 由题意知，要检验假设 $H_0: \sigma^2=9, H_1: \sigma^2 \neq 9$ ．
因为 $\mu$ 末知，故检验统计量为 $\chi^2=\frac{(n-1) S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$ ．
拒绝域为

$$
\chi^2>\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n-1) \text { 或 } \chi^2<\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1) \text {. }
$$

这里 $n=10, \alpha=0.05, \chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)=\chi_{0.025}^2(9)=19.02, \chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)=\chi_{0.975}^2(9)=2.70$ ．
由样本标准差 $s=4.5$ ，算得

$$
\chi^2=\frac{9 \times 4.5^2}{9}=20.25 .
$$

因为 $\chi^2=20.25>19.02$ ，根据 $\chi^2$ 检验法应拒绝 $H_0$ ，即不相信该供货商的说法．

## $\mu$未知，单边检验（右边检验或左边检验）
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), \mu$ 未知，检验假设（右边检验）：

$$
H_0: \sigma^2 \leqslant \sigma_0^2 ; H_1: \sigma^2>\sigma_0^2
$$

由于 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，因此，随机变量

$$
\chi^{* 2}=\frac{(n-1) S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1),
$$

故对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，有（见图 ）．

![图片](/uploads/2025-09/b6bbc3.jpg)
 
 $$
P\left\{\chi^{*^2}>\chi_{\alpha}^2(n-1)\right\}=\alpha .
$$

因为当 $H_0$ 为真时，统计量

$$
\chi^2=\frac{(n-1) S^2}{\sigma_0^2} \leqslant \chi^{* 2},
$$

所以有

$$
P\left\{\chi^2>\chi_{\alpha}^2(n-1) \right\} \leqslant P\left\{\chi^{* 2}>\chi_\alpha^2(n-1)\right\}=\alpha .
$$

可见，当 $\alpha$ 很小时，$ \left\{\chi^2 > \chi_{\alpha}^2(n-1)\right\}$ 是小概率事件，在一次抽样中认为不可能发生，所以 $H_0$ 的拒绝域是

$$
\chi^2=\frac{(n-1) S^2}{\sigma_0^2}>\chi_a^2(n-1) \text { (右边检验). }
$$

类似地，可得左边检验假设：$H_0: \sigma^2 \geqslant \sigma_0^2 ; H_1: \sigma^2<\sigma_0^2$ 的拒绝域为

$$
\chi^2<\chi_{1-\alpha}^2(n-1) \text { (左边检验). }
$$

`例` 设某种零件的验收标准为长度均值为 10 mm ，标准差小于 0.02 mm ．从某厂的一批零件中随机抽出 12 件进行检验，得到如下数据：

$$
\begin{aligned}
& 9.98,10,9.97,10.05,10.01,9.95, \\
& 9.99,10.03,10,9.96,10.02,10.03 .
\end{aligned}
$$

已知零件长度服从正态分布．这批零件是否合格（显著性水平 $\alpha=0.05$ ）？
解 由合格需要两个条件：$\mu=10$ 及 $\sigma<0.02$ ，知 $\bar{x} \approx 9.9992, s \approx 0.0306$ ．
先检验假设：

$$
H_0: \mu=10 ; H_1: \mu \neq 10 .
$$

此时方差未知，使用 $t$ 检验法．查自由度为 11 的 $t$ 分布表，得 $t_{0,025}(11)=2.201$ ．计算统计量的观察值，得

$$
t_0=\frac{9.9992-10}{0.0306 / \sqrt{12}} \approx-0.0906
$$

因 $\left|t_0\right|<2.201$ ，故不能拒绝原假设 $H_0: \mu=10$ ，即零件的平均长度是合格的．
下面再检验假设：

$$
H_0: \sigma<0.02 ; H_1: \sigma \geqslant 0.02 .
$$

查自由度为 11 的 $\chi^2$ 分布表，得 $\chi_{0.05}^2(11)=19.675$ ．计算统计量的观察值，得

$$
\chi_0^2=\frac{11 \times 0.0306^2}{0.02^2} \approx 25.75 .
$$

因 $\chi_0^2>\chi_{0,05}^2(11)$ ，即 $\chi_0^2$ 落人拒绝域内，故拒绝原假设，即不能认为这批零件长度的标准差小于 0.02 mm 。因此，这批零件不合格。

`例` 某供货商声称他们提供的金属线的质量非常稳定，其抗拉强度的方差为 9 ．为了检测抗拉强度，在该金属线中随机地抽出 10 根，测得样本标准差 $s=4.5(\mathrm{~kg})$ ，设该金属线的抗拉强度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，若显著性水平为 $\alpha=0.05$ ，问：是否可以相信该供货商的说法？

解 由题意知，要检验假设 $H_0: \sigma^2=9, H_1: \sigma^2 \neq 9$ ．
因为 $\mu$ 末知，故检验统计量为 $\chi^2=\frac{(n-1) S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)$ ．
拒绝域为

$$
\chi^2>\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n-1) \text { 或 } \chi^2<\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1) \text {. }
$$

这里 $n=10, \alpha=0.05, \chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)=\chi_{0.025}^2(9)=19.02, \chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)=\chi_{0.975}^2(9)=2.70$ ．
由样本标准差 $s=4.5$ ，算得

$$
\chi^2=\frac{9 \times 4.5^2}{9}=20.25
$$

因为 $\chi^2=20.25>19.02$ ，根据 $\chi^2$ 检验法应拒绝 $H_0$ ，即不相信该供货商的说法．

`例` 某厂生产的某种型号的电池，其寿命（以小时计）长期以来服从方差 $\sigma^2=5000$的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变．现随机取 26 只电池，测出其寿命的样本方差 $s^2=9200$ ．问根据这一数据，能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化（取 $\alpha=0.02$ ）？

解（1）提出假设 $H_0: \sigma=5000, H_1: \sigma^2 \neq 5000$ ．
（2）选取统计量

$$
\chi^2=\frac{(n-1) s^2}{\sigma_0^2}
$$

若 $H_0$ 为真，则 $\chi^2 \sim \chi^2(n-1)$ ．
（3）对给定的显著性水平 $\alpha=0.02$ ，求 $\chi_{1-\alpha / 2}^2(n-1) 、 \chi_{\alpha / 2}^2(n-1)$ 使

$$
\begin{aligned}
& P\left\{\chi^2 \leqslant \chi_{1-\alpha / 2}^2(n-1)\right\}=\frac{\alpha}{2} \\
& P\left\{\chi^2 \geqslant \chi_{\alpha / 2}^2(n-1)\right\}=\frac{\alpha}{2}
\end{aligned}
$$

这里 $\chi_{\alpha / 2}^2(n-1)=\chi_{0.01}^2(25)=44.314, \quad \chi_{1-\alpha / 2}^2(n-1)=\chi_{0.99}^2(25)=11.524$ ．
（4）计算统计量 $\chi^2$ 的观察值，代入观察值 $s^2=9200$ ，得

$$
\chi^2=\frac{(n-1) s^2}{\sigma_0^2}=46
$$

（5）判断：由于 $46>44.314$ ，所以在显著性水平 $\alpha=0.02$ 下拒绝 $H_0$ ，认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化．

`例` 某工厂生产金属丝，产品指标为折断力．折断力的方差用来表征工厂生产精度．方差越小，表明精度越高．以往工厂一直把该方差保持在 $64\left(\mathrm{~kg}^2\right)$ 或 64 以下．最近从一批产品中抽取 10 根做折断力试验，测得的结果（单位： kg ）如下

$$
578,572,570,568,572,570,572,596,584,570 .
$$

由上述样本数据算得：

$$
\bar{x}=575.2, \quad s^2=75.74
$$

为此，厂方怀疑金属丝折断力的方差是否变大了．如确实增大了，表明生产精度不如以前，就需对生产流程做一番检验，以发现生产环节中存在的问题（显著性水平 $\alpha=0.05$ ）．
解 为确认上述疑虑是否为真，假定多金属丝折断力服从正态分布，并做下述假设检验： $H_0: \sigma^2 \leqslant 64, ~ H_1: \sigma^2>64$.

上述假设检验问题可利用 $\chi^2$ 检验法的右侧检验法来检验，就本例而言，相应于 $\sigma_0^2=64$ ， $n=10$ ．

对于给定的显著性水平 $\alpha=0.05$ ，查附录知

$$
\chi_\alpha^2(n-1)=\chi_{0.05}^2(9)=16.919 .
$$

从而有 $\chi^2=\frac{n-1}{\sigma_0^2} s^2=\frac{9 \times 75.74}{64}=10.65 \leqslant 16.919=\chi_{0.05}^2$ ，故不能拒绝原假设 $H_0$ ，从而认为样本方差的偏大是偶然因素，生产流程正常，故不需再做进一步检查．

`例`一位生物学家研究生活在高原上的某一甲虫, 从高原上采集了 $n=20$ 个高山甲虫，以考察高山上的该甲虫是否不同于平原上的该甲虫，其中度量方法之一是翅膀上黑斑的长度. 已知平原甲虫黑斑长度服从期望 $\mu_0=3.14 mm$ ，方差 $\sigma_0^2=0.0505 mm^2$ 的正态分布，从高山上甲虫样本得到的黑斑长度 $\bar{x}=3.23 mm, s=0.4 mm$ ，假定高山甲虫黑斑长度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下分别进行下列检验:
(1) $H_0: \mu=3.14 \leftrightarrow H_1: \mu \neq 3.14$;
(2) $H_0: \sigma^2=0.0505 mm^2 \leftrightarrow H_1: \sigma^2 \neq 0.0505 mm^2$.

解 (1) 取检验统计量 $T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-3.14)}{S}$, 拒绝域为

$$
W=\left\{|T|>t_{1-\alpha / 2}(n-1)\right\} .
$$

今 $t_{1-\alpha / 2}(n-1)=t_{0.975}(19)=2.093$. 计算 $t$ 检验统计量的观测值为

$$
t=\frac{\sqrt{20}(3.23-3.14)}{0.4}=0.98 < 2.093 .
$$

因而不能拒绝 $H_0$, 认为在显著水平 $\alpha=0.05$ 下, 高山甲虫的黑斑长度的均值是 3.14 mm .

（2）取检验统计量 $\chi^2=\frac{(n-1) S^2}{0.0505}$ ，拒绝域为

$$
W=\left\{\chi^2 > \chi_{1-\alpha / 2}^2(n-1) \text { 或 } \chi^2 < \chi_{\alpha / 2}^2(n-1)\right\},
$$

查附录  可得 $\chi_{0.975}^2(19)=32.852, \chi_{0.025}^2(19)=8.907$ ，计算 $\chi^2$ 检验统计量的观测值为

$$
\chi^2=\frac{19 \cdot 0.4^2}{0.0505}=60.1980 > 32.852 .
$$

因而拒绝 $H_0$ ，认为在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下，高山甲虫的黑斑长度的方差不再是 $0.0505 mm^2$ 。

## $\mu$ 已知，方差的检验

以上讨论的是在均值未知的情况下对方差的假设检验，这种情况在实际问题中较多．至于均值已知的情况下，对方差的假设检验，其方法类似，只是所选的统计量为

$$
\chi^2=\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2}{\sigma_0^2} .
$$

当 $\sigma^2=\sigma_0^2$ 为真时，$\chi^2 \sim \chi^2(n)$ ．
关于单个正态总体的假设检验如附表。

## 附表
在使用下表时，重要的是要知道检验统计量服从什么分布。通过下表可以看到
（1）如果方差已知，对均值进行检验，则服从正态Z分布
（2）如果方差未知，对均值进行检验，则服从t分布
考试经常考的就是（1）（2）（4）三种情况，需要掌握。详见 [正态均值与方差检验表](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=4025)

[![图片](/uploads/2026-01/7773df.jpg)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=4025)
  
  [![图片](/uploads/2026-01/141fb2.jpg)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=4025)

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