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正态检验-方差检验（卡方χ2检验）

> 正态检验主要检验$\mu$ 和 $\sigma^2$ 他们共有四种情况：
（1） $\sigma^2$ 已知，对 $\mu$ 的检验(称做Z检验法或U检验法)
（2） $\sigma^2$ 未知，对 $\mu$ 的检验(称做T检验法)
（3） $\mu$ 已知，对$\sigma^2$的检验 （这种情况极少使用）
（4）$\mu$ 未知，对$\sigma^2$的检验（称作$\chi^2$ 开方检验）
 
 [本节](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=581)介绍方差，[上一节](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2542)介绍均值。
 
 
 ## 正态检验-方差检验（卡方$χ^2$检验）
### 双边检验与单边检验
在假设检验中，$H_0: \mu=\mu_0$ ，备择假设 $H_1: \mu \neq \mu_0$ 的意思是 $\mu$ 可能大于 $\mu_0$ ，也可能小于 $\mu_0$ ，称为**双边备择假设**，并称形如$H_0: \mu=\mu_0, H_1: \mu \neq \mu_0$ 的假设检验为**双边检验**．但有时我们只关心总体均值是否增大，例如，试验新工艺以提高材料的强度，这时所考虑的总体均值应该越大越好，如果我们能判断在新工艺下总体均值较以往正常生产的总体均值大，则可考虑采用新工艺。此时，我们需要检验假设：

$$
H_0: \mu \leqslant \mu_0 ; H_1: \mu>\mu_0 . ...(8.5)
$$

形如（8．5）式的假设检验，称为**右边检验**。
类似地，有时我们需要检验假设：

$$
H_0: \mu \geqslant \mu_0 ; H_1: \mu<\mu_0 ...(8.6)
$$

形如（8．6）式的假设检验，称为**左边检验**．右边检验与左边检验统称为**单边检验**．

### 方差检验
设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自 $X$ 的样本， $\bar{X}$ 与 $S^2$ 分别为样本均值与样本方差．关于正态方差 $\sigma^2$ 的检验问题，本章讨论如下三种常用形式：

**（1）$H_0: \sigma^2=\sigma_0^2, H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$
（2）$H_0: \sigma^2 \geqslant \sigma_0^2, H_1: \sigma^2<\sigma_0^2$
（3）$H_0: \sigma^2 \leqslant \sigma_0^2, H_1: \sigma^2>\sigma_0^2$**

## 1. $\mu$未知， $H_0: \sigma^2=\sigma_0^2, H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$

设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), \mu$ 未知，检验假设：

$$
H_0: \sigma^2=\sigma_0^2 ; H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2
$$

其中 $\sigma_0^2$ 为已知常数．
由于样本方差 $S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量，因此，当 $H_0$ 为真时，比值 $\frac{S^2}{\sigma_0^2}$ 一般来说应在 1 附近摆动，而不应过分大于 1 或过分小于 1 。因为[正态抽样](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=570) ，知当 $H_0$ 为真时，

$$
\chi^2=\frac{(n-1) S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1)
$$

所以对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，有（见下图）
 ![图片](/uploads/2025-09/c58e40.jpg)
 
 又因对于给定的 $\alpha$ ，查 $\chi^2$ 分布表（见[附表](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1495)），可求得 $\chi^2$ 分布的分位点 $\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1)$ 与 $\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n -1)$ ，故 $H_0$ 的接受域为

$$
\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1) \leqslant \chi^2 \leqslant \chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n-1) ;
$$

$H_0$ 的拒绝域为

$$
\chi^2<\chi_{1-\frac{\alpha}{2}}^2(n-1) \text { 或 } \chi^2>\chi_{\frac{\alpha}{2}}^2(n-1) \text {. }
$$

> 这种用服从 $\chi^2$ 分布的统计量对单个正态总体方差进行假设检验的方法，称为 $\chi^2$ 检验法．

`例`已知维尼纶的纤度在正常条件下服从正态分布 $N\left(\mu, 0.048^2\right)$ 。某日从中随机抽取 5 根，测得其纤度分别为 $1.32,1.55,1.36,1.40,1.44$ 。这一天的维尼纶纤度总体标准差是否正常 （显著性水平 $\alpha=0.05$ ）？

解 待检假设为

$$
H_0: \sigma^2=\sigma_0^2=0.048^2 ; H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2=0.048^2 .
$$

由 $n=5, \alpha=0.05$ ，查表，得 $\chi_{0.025}^2(4)=11.143, \chi_{0.975}^2(4)=0.484$ ．
于是，知其拒绝域为

$$
\frac{(n-1) S^2}{\sigma_0^2}>11.143 \text { 或 } \frac{(n-1) S^2}{\sigma_0^2}<0.484 .
$$

而由样本观察值，得

$$
\frac{(n-1) s^2}{\sigma_0^2} \approx 13.51>11.143 .
$$

故拒绝 $H_0$ ，即认为这一天的维尼纶纤度总体标准差不正常．

`例`某供货商声称他们提供的金属线的质量非常稳定，其抗拉强度的方差为 9 。为了检测抗拉强度，在该金属线

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