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单正态总体均值的假设检验(Z检验)

> 初学者很难理解拒绝域，建议参考附录 [附录1：置信区间与上a分位数](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1641)
  
  
  ## 单个正态总体均值的假设检验
设总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自总体 $X$ 的一个样本， $\bar{X}$ 为样本均值．关于均值 $\mu$ 的检验问题有如下三种常见形式：
（1）$H_0: \mu=\mu_0 ; H_1: \mu \neq \mu_0$
（2）$H_0: \mu \leqslant \mu_0 ; H_1: \mu>\mu_0$
（3）$H_0: \mu \geqslant \mu_0 ; H_1: \mu<\mu_0$
其中 $\mu_0$ 为已知常数。形如（1）的假设检验称为**双边检验**，形如（2）的假设检验称为**右边检验**，形如（3）的假设检验称为**左边检验**，右边检验和左边检验统称为**单边检验**．$\sigma^2$ 是否已知对选择 $\mu$ 的检验有影响，故分以下两种情况分别讨论 $\mu$ 的检验问题．

### 方差 $\sigma^2$ 已知，关于 $\mu$ 的假设检验（ $Z$ 检验法，$Z$－test）

首先考虑以下假设检验。
（1）检验假设

$$
H_0: \mu=\mu_0 ; H_1: \mu \neq \mu_0 \text { ( } \mu_0 \text { 为已知常数) . }
$$

当 $H_0$ 为真时，由定理可知

$$
Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1),
$$

故选取 $Z$ 作为检验统计量，记其观察值为 $z$ ，相应的检验法称为 $Z$ 检验法。
因为 $\bar{X}$ 是 $\mu$ 的无偏估计量，当 $H_0$ 成立时， $\bar{x}$ 应接近 $\mu_0$ ，即 $|z|$ 不应太大，当 $H_1$ 成立时， $\bar{x}$ 与 $\mu_0$ 有较大的偏差，即 $|z|$ 有偏大的趋势，故拒绝域形式为

$$
|z|=\left|\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}\right| \geqslant k \quad(k \text { 待定). }
$$

对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，有

$$
P\left\{|Z| \geqslant z_{\alpha / 2}\right\}=\alpha .
$$

如图 8．2．1 所示，拒绝域为

$$
|z|=\left|\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}\right| \geqslant z_{\alpha / 2},
$$

![图片](/uploads/2025-02/c6ed69.jpg)

根据一次抽样后得到的样本观察值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 计算出 $Z$ 的观察值 $z$ ，若 $|z| \geqslant z_{\alpha / 2}$ ，则拒绝原假设 $H_0$ ，即认为总体均值与 $\mu_0$ 有显著差异；若 $|z|<z_{\alpha / 2}$ ，则接受原假设 $H_0$ ，即认为总体均值与 $\mu_0$ 无显著差异。

类似地推导，对单侧检验有：
（2）检验假设

$$
H_0: \mu \leqslant \mu_0 ; \quad H_1: \mu>\mu_0
$$

对应的拒绝域为

$$
W=\left\{z \geqslant z_\alpha\right\}
$$

（3）检验假设

$$
H_0: \mu \geqslant \mu_0 ; \quad H_1: \mu<\mu_0
$$

对应的拒绝域为

$$
W=\left\{z \leqslant-z_\alpha\right\}
$$

`例`某车间生产钢丝，用 $X$ 表示钢丝的折断力，由经验判断 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，其中 $\mu=570, \sigma^2=8^2$ ；今换了一批材料，从性能上看估计折断力的方差 $\sigma^2$ 不会有什么变化（仍有 $\sigma^2=8^2$ ），但不知折断力的均值 $\mu$ 和原先有无差别．现抽得样本，测得其折断力为

$$
\begin{array}{llllllllll}
578 & 572 & 570 & 568 & 572 & 570 & 570 & 572 & 596 & 584
\end{array}
$$

取 $\alpha=0.05$ ，试检验折断力均值有无变化．
解（1）建立假设 $H_0: \mu=\mu_0=570, H_1: \mu \neq 570$ 。
（2）选择统计量 $Z=\frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} \sim N(0,1)$ ．
（3）对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，确定 $k$ ，使 $P\{|Z|>k\}=\alpha$ 。
查正态分布表得 $k=z_{\alpha / 2}=z_{0.025}=1.96$ ，从而拒绝域为 $|z|>1.96$ ．
（4）由于 $\bar{x}=\frac{1}{10} \sum_{i=1}^{10} x_i=575.20, \sigma^2=64$ ，所以

$$
|z|=\left|\frac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma / \sqrt{n}}\right|=2.06>1.96
$$

故应拒绝 $H_0$ ，即认为折断力的均值发生了变化．

`例`某纤维的强力服从正态分布 $N\left(\mu, 1.19^2\right)$, 原设计的平均强力为 6 g , 现改进工艺后，测得 100 个强力数据，其样本均值为 6.35 g ，假定总体标准差不变，试问改进工艺后，强力是否有显著提高 $(\alpha=0.05)$ ？

解 设原假设与备择假设分别为

$$
H_0: \mu \leqslant 6 \leftrightarrow H_1: \mu>6 .
$$

由于 $\sigma^2=1.19^2$ 已知，所以构造检验统计量 $Z=\frac{10(\bar{X}-6)}{1.19}$ ，根据备择假设，这是个单侧检验，故拒绝域为 $W=\left\{Z>u_{1-\alpha}\right\}$ 。临界值 $u_{0.95}=1.645$ ，拒绝域为 $W=\{Z>1.645\}$ 。

今计算检验统计量 $Z$ 的观测值为

$$
z=\frac{10(6.35-6)}{1.19}=2.941>1.645
$$

因而拒绝 $H_0$ ，即认为改进工艺后强力有显著提高。

### 方差 $\sigma^2$ 未知，关于 $\mu$ 的假设检验（ $T$ 检验法，$T$－test）
首先考虑以下假设检验。
（1）检验假设

$$
H_0: \mu=\mu_0 ; H_1: \mu \neq \mu_0 \text { ( } \mu_0 \text { 为已知常数) }
$$

由前面的定理可知，当 $H_0$ 为真时，
$$
T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1),
$$

故选取 $T$ 作为检验统计量，记其观察值为 $t$ ．相应的检验法称为 $T$ 检验法．
由于 $\bar{X}$ 是 $\mu$ 的无偏估计量，$S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量，当 $H_0$ 成立时，$|t|$ 不应太大，当 $H_1$成立时，$|t|$ 有偏大的趋势，故拒绝域形式为

$$
|t|=\left|\frac{\bar{x}-\mu_0}{s / \sqrt{n}}\right| \geqslant k \quad(k \text { 待定) }
$$

对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，有

$$
P\left\{|T| \geqslant t_{\alpha / 2}(n-1)\right\}=\alpha
$$

如图 8．2．2 所示，

![图片](/uploads/2025-02/de68cd.jpg)

拒绝域为

$$
|t|=\left|\frac{\bar{x}-\mu_0}{s / \sqrt{n}}\right| \geqslant t_{\alpha / 2}(n-1) .
$$

即

$$
W=\left\{|t| \geqslant t_{\alpha / 2}(n-1)\right\}
$$

根据一次抽样后得到的样本观察值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 计算出 $T$ 的观察值 $t$ ，若 $|t| \geqslant t_{\alpha / 2}(n-1)$ ，则拒绝原假设 $H_0$ ，即认为总体均值与 $\mu_0$ 有显著差异；若 $\mid t<t_{\alpha / 2}(n-1)$ ，则接受原假设 $H_0$ ，即认为总体均值与 $\mu_0$ 无显著差异。

类似地推导，对单侧检验有：
（2）检验假设

$$
H_0: \mu \leqslant \mu_0 ; \quad H_1: \mu>\mu_0
$$

对应的拒绝域为

$$
W=\left\{t \geqslant t_\alpha(n-1)\right\}
$$

（3）检验假设

$$
H_0: \mu \geqslant \mu_0 ; \quad H_1: \mu<\mu_0
$$

对应的拒绝域为

$$
W=\left\{t \leqslant t_{1-\alpha}(n-1)\right\}
$$

`例`水泥厂用自动包装机包装水泥，每袋额定质量是 50 kg ，某日开工后随机抽查了 9 袋，称得质量如下

$$
\begin{array}{lllllllll}
49.6 & 49.3 & 50.1 & 50.0 & 49.2 & 49.9 & 49.8 & 51.0 & 50.2
\end{array}
$$

设每袋质量服从正态分布，问包装机工作是否正常（ $\alpha=0.05$ ）？
解（1）建立假设 $H_0: \mu=50, H_1: \mu \neq 50$ 。
（2）选择统计量 $T=\frac{\bar{X}-\mu_0}{S / \sqrt{n}} \sim t(n-1)$ ．
（3）对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，确定 $k$ ，使 $P\{|T|>k\}=\alpha$ ．
查附录 D 得 $k=t_{\alpha / 2}=t_{0.025}(8)=2.306$ ，从而拒绝域为 $|t|>2.306$ ．
（4）由于 $\bar{x}=49.9, s^2=0.29$ ，所以
 
 $$
|t|=\left|\frac{\bar{x}-50}{s / \sqrt{n}}\right|=0.56<2.306,
$$

故应接受 $H_0$ ，即认为包装机工作正常．
 
 
 `例`从某厂生产的电子元件中随机地抽取了 25 个作寿命测试，得数据（单位：h）： $x_1, x_2, \cdots, x_{25}$, 并由此算得 $\bar{x}=100, \sum_{i=1}^{25} x_i^2=4.9 \cdot 10^5$, 已知这种电子元件的使用寿命服从 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，且出厂标准为 90 h 以上，试在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下，检验该厂生产的电子元件是否符合出厂标准，即检验假设 $H_0: \mu \leqslant 90 \leftrightarrow H_1: \mu>90$.

解 首先这是一个关于正态总体均值的单侧 (右侧) 假设检验问题. 由于 $\sigma$ 未知, 故采用 $\iota$-检验，拒绝域为 $W=\left\{T>\iota_{1-\alpha}(n-1)\right\}$ 。

$$
s^2=\frac{1}{n-1}\left(\sum_{i=1}^n x_i^2-n \bar{x}^2\right)=\frac{1}{24}\left(4.9 \cdot 10^5-25 \cdot 10^4\right)=\frac{24 \cdot 10^4}{24}=10^4
$$

所以样本标准差的观察值 $s=100, l$ 检验统计量的观察值为

$$
\iota=\frac{5(\bar{x}-90)}{s}=\frac{5 \cdot 10}{100}=0.5 .
$$

临界值 $c=\iota_{1-\alpha}(n-1)=\iota_{0.95}(24)=1.7109$. 因 $\iota<c$, 不落人拒绝域, 故不能拒绝 $H_0$, 即该厂生产的电子元件不符合出厂标准。

综上所述, 关于单正态总体均值的假设检验问题如下表所示.
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