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单正态总体方差的假设检验(卡方检验)

## 单正态总体方差的假设检验
设 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是取自 $X$ 的样本， $\bar{X}$ 与 $S^2$ 分别为样本均值与样本方差．关于正态方差 $\sigma^2$ 的检验问题，本章讨论如下三种常用形式：
（1）$H_0: \sigma^2=\sigma_0^2, H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2$
（2）$H_0: \sigma^2 \geqslant \sigma_0^2, H_1: \sigma^2<\sigma_0^2$
（3）$H_0: \sigma^2 \leqslant \sigma_0^2, H_1: \sigma^2>\sigma_0^2$
其中 $\sigma_0$ 为已知常数。
首先考虑以下假设检验
（1）检验假设

$$
H_0: \sigma^2=\sigma_0^2, \quad H_1: \sigma^2 \neq \sigma_0^2
$$

由第6 章知，当 $H_0$ 为真时，

$$
\chi^2=\frac{n-1}{\sigma_0^2} S^2 \sim \chi^2(n-1)
$$

故选取 $\chi^2$ 作为检验统计量．相应的检验法称为 $\chi^2$ 检验法．
由于 $S^2$ 是 $\sigma^2$ 的无偏估计量，当 $H_0$ 成立时，$\frac{S^2}{\sigma_0^2}$ 应接近于 1 ，而不应过分大于 1 或过分小于 1 ，当 $H_1$ 成立时，$\chi^2$ 有偏小或偏大的趋势，故拒绝域形式为
$$
\chi^2=\frac{n-1}{\sigma_0^2} S^2 \leqslant k_1 \text { 或 } \chi^2=\frac{n-1}{\sigma_0^2} S^2 \geqslant k_2\left(k_1, k_2 \text { 待定 }\right) \text {, }
$$

对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，有

$$
P\left\{\chi^2 \leqslant \chi_{1-\alpha / 2}^2(n-1)\right\}=\frac{\alpha}{2}, \quad P\left\{\chi^2 \geqslant \chi_{\alpha / 2}^2(n-1)\right\}=\frac{\alpha}{2}
$$

如图 8．2．3 所示，拒绝域为
 ![图片](/uploads/2025-02/e8a81e.jpg)
 
$$
\chi^2=\frac{n-1}{\sigma_0^2} s^2 \leqslant \chi_{1-\alpha / 2}^2(n-1) \text { 或 } \chi^2=\frac{n-1}{\sigma_0^2} s^2 \geqslant \chi_{\alpha / 2}^2(n-1) \text {, }
$$

即 $W=\left\{\chi^2 \leqslant \chi_{1-\alpha / 2}^2(n-1)\right.$ 或 $\left.\chi^2 \geqslant \chi_{\alpha / 2}^2(n-1)\right\}$ ．

根据一次抽样后得到的样本观察值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$计算出 $\chi^2$ 的观察值，若 $\chi^2 \leqslant \chi_{1-\alpha / 2}^2(n-1)$ 或 $\chi^2 \geqslant \chi_{\alpha / 2}^2(n-1)$ ，则拒绝原假设 $H_0$ ，若 $\chi_{1-\alpha / 2}^2(n-1) \leqslant$ $\chi^2 \leqslant \chi_{\alpha / 2}^2(n-1)$ ，则接受原假设 $H_0$ ．

类似地，对单侧检验有如下结论：
（2）假设检验

$$
H_0: \sigma^2 \geqslant \sigma_0^2, \quad H_1: \sigma^2<\sigma_0^2
$$

对应的拒绝域为

$$
W=\left\{\chi^2 \leqslant \chi_{1-\alpha}^2(n-1)\right\}
$$

（3）检验假设

$$
H_0: \sigma^2 \leqslant \sigma_0^2, \quad H_1: \sigma^2>\sigma_0^2
$$

对应的拒绝域为

$$
W=\left\{\chi^2 \geqslant \chi_\alpha^2(n-1)\right\} .
$$

## 例题

`例`某厂生产的某种型号的电池，其寿命（以小时计）长期以来服从方差 $\sigma^2=5000$的正态分布，现有一批这种电池，从它的生产情况来看，寿命的波动性有所改变．现随机取 26 只电池，测出其寿命的样本方差 $s^2=9200$ ．问根据这一数据，能否推断这批电池的寿命的波动性较以往的有显著的变化（取 $\alpha=0.02$ ）？
解（1）提出假设 $H_0: \sigma=5000, H_1: \sigma^2 \neq 5000$ ．
（2）选取统计量

$$
\chi^2=\frac{(n-1) s^2}{\sigma_0^2}
$$

若 $H_0$ 为真，则 $\chi^2 \sim \chi^2(n-1)$ 。
（3）对给定的显著性水平 $\alpha=0.02$ ，求 $\chi_{1-\alpha / 2}^2(n-1), ~ \chi_{\alpha / 2}^2(n-1)$ 使

$$
\begin{aligned}
& P\left\{\chi^2 \leqslant \chi_{1-\alpha / 2}^2(n-1)\right\}=\frac{\alpha}{2}, \\
& P\left\{\chi^2 \geqslant \chi_{\alpha / 2}^2(n-1)\right\}=\frac{\alpha}{2},
\end{aligned}
$$

这里 $\chi_{\alpha / 2}^2(n-1)=\chi_{0.01}^2(25)=44.314, \quad \chi_{1-\alpha / 2}^2(n-1)=\chi_{0.99}^2(25)=11.524$ ．
（4）计算统计量 $\chi^2$ 的观察值，代入观察值 $s^2=9200$ ，得

$$
\chi^2=\frac{(n-1) s^2}{\sigma_0^2}=46
$$

（5）判断：由于 $46>44.314$ ，所以在显著性水平 $\alpha=0.02$ 下拒绝 $H_0$ ，认为这批电池寿命的波动性较以往有显著的变化．

`例`某工厂生产金属丝，产品指标为折断力．折断力的方差用来表征工厂生产精度。方差越小，表明精度越高。以往工厂一直把该方差保持在 $64\left(kg^2\right)$ 或 64 以下。最近从一批产品中抽取 10 根做折断力试验，测得的结果（单位： kg ）如下

$$
578,572,570,568,572,570,572,596,584,570 .
$$

由上述样本数据算得：

$$
\bar{x}=575.2, \quad s^2=75.74
$$

为此，厂方怀疑金属丝折断力的方差是否变大了。如确实增大了，表明生产精度不如以

前，就需对生产流程做一番检验，以发现生产环节中存在的问题（显著性水平 $\alpha=0.05$ ）．
解 为确认上述疑虑是否为真，假定多金属丝折断力服从正态分布，并做下述假设检验： $H_0: \sigma^2 \leqslant 64, H_1: \sigma^2>64$ ．

上述假设检验问题可利用 $\chi^2$ 检验法的右侧检验法来检验，就本例而言，相应于 $\sigma_0^2=64$ ， $n=10$ ．

对于给定的显著性水平 $\alpha=0.05$ ，查附录 C 知

$$
\chi_\alpha^2(n-1)=\chi_{0.05}^2(9)=16.919
$$

从而有 $\chi^2=\frac{n-1}{\sigma_0^2} s^2=\frac{9 \times 75.74}{64}=10.65 \leqslant 16.919=\chi_{0.05}^2$ ，故不能拒绝原假设 $H_0$ ，从而认为样本方差的偏大是偶然因素，生产流程正常，故不需再做进一步检查。

以上讨论的是在均值未知的情况下对方差的假设检验，这种情况在实际问题中较多．至于均值已知的情况下，对方差的假设检验，其方法类似，只是所选的统计量为

$$
\chi^2=\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\mu\right)^2}{\sigma_0^2} .
$$

当 $\sigma^2=\sigma_0^2$ 为真时，$\chi^2 \sim \chi^2(n)$ ．

`例`设 $\left(X_1, X_2, \cdots, X_n\right)$ 是取自正态总体 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ 的一个样本, $\mu, \sigma^2$ 均未知, 在显著性水平 $\alpha$ 下, 求下列假设检验问题的拒绝域 $W$ :

$$
H_0: \sigma^2=\sigma_0^2 \leftrightarrow H_1: \quad \sigma^2<\sigma_0^2 .
$$

解 这是一个单侧 (左侧) 检验问题，仿照求显著性检验的拒绝域的一般步骤求解。 $\sigma^2$ 的无偏估计是 $S^2$ ，构造检验统计量

$$
\chi^2=\frac{(n-1) S^2}{\sigma_0^2}=\frac{\sum_{i=1}^n\left(X_i-\bar{X}\right)^2}{\sigma_0^2} .
$$

当 $H_0$ 成立时, $\chi^2 \sim \chi^2(n-1)$, 由

$$
P\left(X^2<X_\alpha^2(n-1) \mid H_0 \text { 成立 }\right) \leqslant \alpha
$$

可得拒绝域为

$$
W=\left\{X^2<\chi_\alpha^2(n-1)\right\} .
$$

`例`一位生物学家研究生活在高原上的某一甲虫, 从高原上采集了 $n=20$ 个高山甲虫，以考察高山上的该甲虫是否不同于平原上的该甲虫，其中度量方法之一是翅膀上黑斑的长度. 已知平原甲虫黑斑长度服从期望 $\mu_0=3.14 mm$ ，方差 $\sigma_0^2=0.0505 mm^2$ 的正态分布，从高山上甲虫样本得到的黑斑长度 $\bar{x}=3.23 mm, s=0.4 mm$ ，假定高山甲虫黑斑长度服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)$, 在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下分别进行下列检验:
(1) $H_0: \mu=3.14 \leftrightarrow H_1: \mu \neq 3.14$;
(2) $H_0: \sigma^2=0.0505 mm^2 \leftrightarrow H_1: \sigma^2 \neq 0.0505 mm^2$.

解 (1) 取检验统计量 $T=\frac{\sqrt{n}(\bar{X}-3.14)}{S}$, 拒绝域为

$$
W=\left\{|T|>t_{1-\alpha / 2}(n-1)\right\} .
$$

今 $t_{1-\alpha / 2}(n-1)=t_{0.975}(19)=2.093$. 计算 $t$ 检验统计量的观测值为

$$
t=\frac{\sqrt{20}(3.23-3.14)}{0.4}=0.98<2.093 .
$$

因而不能拒绝 $H_0$, 认为在显著水平 $\alpha=0.05$ 下, 高山甲虫的黑斑长度的均值是 3.14 mm .

（2）取检验统计量 $\chi^2=\frac{(n-1) S^2}{0.0505}$ ，拒绝域为

$$
W=\left\{\chi^2>\chi_{1-\alpha / 2}^2(n-1) \text { 或 } \chi^2<\chi_{\alpha / 2}^2(n-1)\right\},
$$

查附录 5 可得 $\chi_{0.975}^2(19)=32.852, \chi_{0.025}^2(19)=8.907$ ，计算 $\chi^2$ 检验统计量的观测值为

$$
\chi^2=\frac{19 \cdot 0.4^2}{0.0505}=60.1980>32.852 .
$$

因而拒绝 $H_0$ ，认为在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下，高山甲虫的黑斑长度的方差不再是 $0.0505 mm^2$ 。

关于单个正态总体的假设检验如表 8．2．1 所示．
 ![图片](/uploads/2025-02/674924.jpg)

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