最后更新: 2026-01-07 10:48 查看: 453 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

两个正态总体均均值的假设检验(Z检验与t检验)

在实际应用当中，我们还常常会遇到两个正态总体的参数比较问题，例如，比较两个品牌的同排量汽车的平均耗油量的优劣；又如，比较两台仪器测量精度的高低，等等．这些问题都可以在单个正态总体参数检验的基础上加以推广。

两个都是正态分布，通常有3种检验类型

> (1)$\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 已知，关于均值差 $\mu_1-\mu_2$ 的检验
(2)$\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 末知，但 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ ，关于均值差 $\mu_1-\mu_2$ 的检验
(3) $\mu_1, \mu_2$ 未知，关于方差比 $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ 的检验

[本节](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=584)介绍(1)(2)检验法，[下一节](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2545)介绍(3) 检验法

## 两个正态总体均值的假设检验
设 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_{n_1}$ 为取自总体 $X$ 的一个样本，$Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2}$ 为取自总体 $Y$ 的一个样本，记 $\bar{X}$ 与 $\bar{Y}$ 分别为样本 $X_1, X_2, \cdots, X_{n_1}$ 与 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2}$ 的均值，并且两个样本相互独立．关于正态均值 $\mu_1$ 和 $\mu_2$ 的比较，有如下三种检验问题：
（1）$H_0: \mu_1=\mu_2, H_1: \mu_1 \neq \mu_2$
（2）$H_0: \mu_1 \leqslant \mu_2, H_1: \mu_1>\mu_2$
（3）$H_0: \mu_1 \geqslant \mu_2, H_1: \mu_1<\mu_2$
等价形式分别为
（1）$H_0: \mu_1-\mu_2=0, H_1: \mu_1-\mu_2 \neq 0$
（2）$H_0: \mu_1-\mu_2 \leqslant 0, H_1: \mu_1-\mu_2>0$
（3）$H_0: \mu_1-\mu_2 \geqslant 0, H_1: \mu_1-\mu_2<0$

## 1．方差 $\sigma_1^2, ~ \sigma_2^2$ 已知，关于数学期望的假设检验（ $Z$ 检验法）
首先考虑双边假设检验。
（1）检验假设

$$
H_0: \mu_1=\mu_2 ; \quad H_1: \mu_1 \neq \mu_2
$$

由 $\bar{X}$ 与 $\bar{Y}$ 分别为总体 $X$ 和总体 $Y$ 的样本均值及第 6 章的知识可知

$$
\bar{X} \sim N\left(\mu_1, \frac{\sigma_1^2}{n_1}\right), \quad \bar{Y} \sim N\left(\mu_2, \frac{\sigma_2^2}{n_2}\right)
$$

由两样本独立及期望和方差的性质可得

$$
E(\bar{X}-\bar{Y})=\mu_1-\mu_2, \quad D(\bar{X}-\bar{Y})=\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}
$$

故随机变量 $\bar{X}-\bar{Y}$ 也服从正态分布，即

$$
\bar{X}-\bar{Y} \sim N\left(\mu_1-\mu_2, \frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}\right)
$$

从而

$$
\frac{\bar{X}-\bar{Y}-\left(\mu_1-\mu_2\right)}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)
$$

采用 $Z$ 检验方法，选取 $Z$ 统计量为

$$
Z=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}}
$$

当 $H_0$ 为真时

$$
Z=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1)
$$

由于 $\bar{X}$ 与 $\bar{Y}$ 分别是 $\mu_1$ 与 $\mu_2$ 的无偏估计量，当 $H_0$ 为真时， $\bar{x}$ 与 $\bar{y}$ 应较为接近，不应太大，若 $\bar{x}$ 距离 $\bar{y}$ 较远时，应拒绝 $H_0$ 。类似前面的讨论可得此检验问题的拒绝域形式为

$$
W=\{|Z| \geqslant c\} .
$$

对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，有

$$
P\left\{|Z| \geqslant z_{\alph

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