最后更新: 2026-01-07 10:48 查看: 272 次纠错评论(0) 课件开VIP

两个正态总体方差的假设检验(F检验法)

在实际应用当中，我们还常常会遇到两个正态总体的参数比较问题，例如，比较两个品牌的同排量汽车的平均耗油量的优劣；又如，比较两台仪器测量精度的高低，等等．这些问题都可以在单个正态总体参数检验的基础上加以推广。

两个都是正态分布，通常有3种检验类型

> (1)$\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 已知，关于均值差 $\mu_1-\mu_2$ 的检验
(2)$\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 末知，但 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ ，关于均值差 $\mu_1-\mu_2$ 的检验
(3) $\mu_1, \mu_2$ 未知，关于方差比 $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ 的检验

[上一节](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=584)介绍了(1)(2)检验法，[本节](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2545)介绍(3) 检验法

## 两个正态总体方差的假设检验
设 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_{n_1}$ 为取自总体 $X$ 的一个样本，$Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2}$ 为取自总体 $Y$ 的一个样本，记 $\bar{X}$ 与 $\bar{Y}$ 分别为样本 $X_1, X_2, \cdots, X_{n_1}$ 与 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2}$ 的均值，$S_1^2$ 与 $S_2^2$ 分别为相应的样本方差，并且两个样本相互独立．

关于正态方差 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 的比较，有如下三类检验问题：
（1）$H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2, H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$
（2）$H_0: \sigma_1^2 \leqslant \sigma_2^2, H_1: \sigma_1^2>\sigma_2^2$
（3）$H_0: \sigma_1^2 \geqslant \sigma_2^2, H_1: \sigma_1^2<\sigma_2^2$
等价形式分别为
（1）$H_0: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}=1, H_1: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \neq 1$
（2）$H_0: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \leqslant 1, H_1: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}>1$
（3）$H_0: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \geqslant 1, H_1: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}<1$
首先考虑双边假设检验。
（I）检验假设

$$
H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2 ; \quad H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2
$$

由 $S_1^2$ 与 $S_2^2$ 是 $\sigma_1^2$ 与 $\sigma_2^2$ 的无偏估计及第 6 章知，当 $H_0$ 为真时

$$
F=S_1^2 / S_2^2 \sim F\left(n_1-1, n_2-1\right)
$$

故选取 $F$ 作为检验统计量．相应的检验法称为 $F$ 检验法（ $F$－test）。
当 $H_0$ 成立时，$F$ 的取值应集中在 1 的附近，$H_1$ 成立时，$F$ 的取值有偏小或偏大的趋势，故拒绝域形式为

$$
F \leqslant k_1 \text { 或 } F \geqslant k_2 \quad\left(k_1, k_2\right. \text { 待定) }
$$

对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，有

$$
P\left\{F \leqslant F_{1-\alpha / 2}\left(n_1-1, n_2-1\right) \text { 或 } F \geqslant F_{\alpha / 2}\left(n_1-1, n_2-1\right)\right\}=\alpha \text {, }
$$

如图 8．3．1 所示，拒绝域为
 ![图片](/uploads/2025-02/899ff4.jpg)
 
$$
W=\left\{F \leqslant F_{1-\alpha / 2}\left(n_1-1, n_2-1\right) \text { 或 } F \geqslant F_{\alpha / 2}\left(n_1-1, n_2-1\right)\right\} . ...(8.3.1)
$$

根据一次抽样后得到的样本观察值 $x_1, x_2, \cdots, x_{n_1}$ 和 $y_1, y_2, \cdots, y_{n_2}$ 计算出 $F$ 的观察值，若式（8．3．1）成立，则拒绝原假设 $H_0$ ，否则接受
原假设 $H_0$ ．
类似地推导，对单侧检验有：
（2）检验假设

$$
H_0: \sigma_1^2 \leqslant \sigma_2^2, \quad H_1: \sigma_1^2>\sigma_2^2
$$

对应的拒绝域为

$$
W=\left\{F \geqslant F_\alpha\left(n_1-1, n_2-1\right)\right\} .
$$

（3）检验假设

$$
H_0: \sigma_1^2 \geqslant \sigma_2^2, \quad H_1: \sigma_1^2<\sigma_2^2
$$

对应的拒绝域为

$$
W=\left\{F \leqslant F_{1-\alpha}\left(n_1-1, n_2-1\right)\right\} .
$$

`例`两台机床加工同种零件，分别从两台车床加工的零件中抽取 6 个和 9 个测量其直径，并计算得 $s_1^2=0.345, s_2^2=0.375$ ．假定零件直径服从正态分布，试比较两台车床加工精度有无显著差异（ $\alpha=0.10$ ）。

解 设两总体 $X$ 和 $Y$ 分别服从正态分布 $N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right)$ 和 $N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right), \mu_1, ~ \mu_2, ~ \sigma_1^2, ~ \sigma_2^2$ 未知．
（1）建立假设 $H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2, ~ H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$ 。
（2）选统计量 $F=S_1^1 / S_2^2 \sim F\left(n_1-1, n_2-1\right)$ ．
（3）对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，确定 $k_1, ~ k_2$ ，使 $P\left\{F<k_1\right.$ 或 $\left.F>k_2\right\}=\alpha$ ，查附录 E 得

$$
\begin{gathered}
k_1=F_{1-\alpha / 2}\left(n_1-1, n_2-1\right)=F_{0.95}(5,8)=\frac{1}{F_{0.05}(8,5)}=0.208, \\
k_2=F_{\alpha / 2}\left(n_1-1, n_2-1\right)=F_{0.05}(5,8)=3.69,
\end{gathered}
$$

从而拒绝域为 $F<0.208$ 或 $F>3.69$ ．
（4）由于 $s_1^2=0.345, s_2^2=0.375$ ，所以 $F=s_1^2 / s_2^2=0.92$ ．
而 $0.208<0.92<3.69$ ，故应接受 $H_0$ ，即认为两车床加工精度无差异．

`例`新，旧两个水稻品种进行对比试验，旧品种其分成 25 个小区，样本均值为 $\bar{x}_1=36.65 kg$  ，样本标准差为 $s_1=2.32 kg$ ；新品种其分成 20 个小区，样本均值为 $\bar{x}_2=37.65 kg$ ，样本标准差为 $s_2=1.89 kg$ 。新品种与旧品种的总体方差是否有显著性差异（显著性水平 $\alpha=0.05$ ）？

解 待检假设为

$$
H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2 ; H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2
$$

这里 $n_1=25, n_2=20, s_1=2.32, s_2=1.89$ ．
选取统计量 $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$ ，其观察值为 $f_0=\frac{2.32^2}{1.89^2} \approx 1.507$ 。
对于 $\alpha=0.05$ ，查 $\bar{F}$ 分布表，得

$$
\begin{aligned}
& F_{\frac{\alpha}{2}}\left(n_1-1, n_2-1\right)=F_{0.025}(24,19)=2.45 \\
& F_{1-\frac{\alpha}{2}}\left(n_1-1, n_2-1\right)=F_{0.975}(24,19)=0.41
\end{aligned}
$$

由于 $f_0 \approx 1.507 \in(0.41,2.45)$ ，因此，接受 $H_0$ ，即认为 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ ，亦即两个品种的总体方差无显著性差异。

`例`   在某种制造过程中需要比较两种钢板的强度：一种是冷轧钢板；另一种是双面镀锌钢板．现从冷轧钢板中抽取 20 个样品，测得强度的均值为 $\bar{x}=20.5(\mathrm{GPa})$ ；从双面镀锌钢板中抽取 25 个样品，测得强度的均值为 $\bar{y}=23.9(\mathrm{GPa})$ ．设两种钢板的强度都服从正态分布，其方差分别为 $\sigma_1{ }^2=2.8^2, \sigma_2{ }^2=3.5^2$ 。问：两种钢板的平均强度是否有显著差异？$(\alpha=0.01)$

解 由题意知，要检验的假设为 $H_0: \mu_1=\mu_2, H_1: \mu_1 \neq \mu_2$ ．
因为 $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 已知，当 $H_0$ 为真时，检验统计量为

$$
U=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}} \sim N(0,1) .
$$

因为 $\alpha=0.01, u_{\frac{\alpha}{2}}=u_{0.005}=2.58$ ，故拒绝域 $|U|>u_{\frac{\alpha}{2}}$ 为 $|U|>2.58$ 。而

$$
u=\frac{20.5-23.9}{\sqrt{\frac{2.8^2}{20}+\frac{3.5^2}{25}}}=-3.62
$$

由于 $|u|>2.58$ ，故拒绝 $H_0$ ，即认为两种钢板的平均强度有显著差异．

`例`  有两种灯泡，一种用 A 型灯丝，另一种用 B 型灯丝。随机抽取两种灯泡各 10 个做试验，测得它们的寿命（单位：$h$ ）如下．

A 型： $1293,1380,1614,1497,1340,1643,1466,1677,1387,1711$.
B 型： $1061,1065,1092,1017,1021,1138,1143,1094,1028,1119$.
设两种灯泡的寿命均服从正态分布且方差相等，问：两种灯泡的平均寿命之间是否存在显著差异？$\quad(\alpha=0.05)$

解 由题意知，要检验的假设为 $H_0: \mu_1=\mu_2, H_1: \mu_1 \neq \mu_2$ ．因为 $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 末知，但 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ ，在 $H_0$ 为真时，检验统计量为

$$
T=\frac{\bar{X}-\bar{Y}}{S_w \sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}} \sim t\left(n_1+n_2-2\right)
$$

且

$$
S_w^2=\frac{\left(n_1-1\right) S_1^2+\left(n_2-1\right) S_2^2}{n_1+n_2-2}
$$

拒绝域为

$$
|T|>t_{\frac{\alpha}{2}}\left(n_1+n_2-2\right)
$$

这里 $n_1=n_2=10, \alpha=0.05, t_{\frac{\alpha}{2}}\left(n_1+n_2-2\right)=t_{0.025}(18)=2.101$ 。由样本值算得 $\bar{x}=1500.8, \bar{y}=1077.8$ ，
$s_1^2=151.3^2, s_2^2=47.0^2$ ，于是

$$
|t|=\frac{1500.8-1077.8}{\sqrt{\frac{151.3^2 \times 9+47.0^2 \times 9}{18}} \sqrt{\frac{1}{10}+\frac{1}{10}}} \approx 8.45>2.101=t_{0.025}(18)
$$

故拒绝 $H_0$ ，即认为两种灯泡的平均寿命之间存在显著差异．

`例`某一橡胶制品配方中，原配方用氧化锌 5 g ，现配方减为 1 g ．现分别对两种配方做一批试验，分别测得橡胶制品的伸长率如下。

现配方： $565,577,580,575,556,542,560,532,470,461$.
原配方： $540,533,525,520,545,531,541,529,534$ ．
设橡胶制品的伸长率服从正态分布，问：两种配方的橡胶制品的伸长率的方差有无显著差异？$\quad(\alpha=0.1)$
解 根据题意知，需检验的假设为 $H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2, H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$ ．
由于 $\mu_1, \mu_2$ 未知，在 $H_0$ 为真时，检验统计量为

$$
F=\frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F\left(n_1-1, n_2-1\right)
$$

拒绝域为

$$
F<F_{1-\frac{\alpha}{2}}\left(n_1-1, n_2-1\right) \text { 或 } F>F_{\frac{\alpha}{2}}\left(n_1-1, n_2-1\right) \text {. }
$$

这里 $n_1=10, n_2=9, \alpha=0.1$ ，从而

$$
F_{\frac{\alpha}{2}}\left(n_1-1, n_2-1\right)=F_{0.05}(9,8)=3.39, \quad F_{1-\frac{\alpha}{2}}\left(n_1-1, n_2-1\right)=F_{0.95}(9,8)=\frac{1}{F_{0.05}(8,9)}=\frac{1}{3.23} .
$$

由样本值可算得 $s_1^2=236.8, s_2^2=63.86$ ，于是

$$
f=\frac{s_1^2}{s_2^2}=\frac{236.8}{63.86} \approx 3.7>3.39
$$

故拒绝 $H_0$ ，即认为两种配方的橡胶制品的伸长率的方差有显著差异．

注意：当 $\mu_1$ 与 $\mu_2$ 已知时，要检验假设 $H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2$ ，其检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：

$$
F=\frac{\frac{1}{n_1} \sum_{i=1}^{n_1}\left(X_i-\mu_1\right)^2}{\frac{1}{n_2} \sum_{i=1}^{n_2}\left(Y_i-\mu_2\right)^2} \sim F\left(n_1, n_2\right),
$$

## 附表
在使用下表时，重要的是要知道检验统计量服从什么分布。通过下表可以看到
（1）如果方差已知，对均值进行检验，则服从正态Z分布
（2）如果方差未知，对均值进行检验，则服从t分布
考试经常考的就是（1）（2）（4）三种情况，需要掌握。详见 [正态均值与方差检验表](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=4025)

[![图片](/uploads/2026-01/7773df.jpg)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=4025)
  
  [![图片](/uploads/2026-01/141fb2.jpg)](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=4025)

科数题库(单机版) 会议室预约系统(book)

今日还可看 0 篇未注册用户每天查看4篇，注册用户每天8篇，开通VIP会员无限制查看。

免费注册

《高等数学》难点解析

高数教程 泰勒公式切线与法线切平面与法平面驻点·拐点·极值点·零点间断点渐进线瑕积分欧拉方程伯努利方程 Abel 收敛定理偏导数的几何意义偏导数的几何意义梯度数量场与向量场多元函数极值拉格朗日算子通量与散度环流量与旋度格林公式高斯公式斯托克斯公式三大公式比较傅里叶级数极坐标微元点法式方程变上限定积分 X型计算面积 Y型计算面积微分的意义渐近线间断点 y''+py'+qy=f(x)方程高斯黎曼傅里叶变换(复数) 拉普拉斯变换(复数)

《线性代数》难点解析

线代教程 近世代数对数学的整体思考线性的意义矩阵乘法(列视角) 矩阵乘法(行视角) 矩阵左乘矩阵右乘逆矩阵求解方程组阶梯形矩阵的求法方程组解的判定四阶行列式的计算线性变换的意义线性空间向量组的等价线性空间的几何意义基础解系的求法施密特正交化特征值与特征向量的意义矩阵相似的几何意义矩阵可对角化的理解秩的意义(向量版) 秩的意义(方程版) 二次型的意义

《概率论与数理统计》难点解析

概率教程 置信区间与上a分位数概率中的“取”与“放” 贝叶斯公式全概率公式泊松分布指数分布伽玛分布二维密度图的意义卷积的意义相关系数的意义 k阶矩是与矩母函数卡方分布的作用单正态区间估计理解假设检验理解切比雪夫不等式中心极限定理

上一篇：两个正态总体均均值的假设检验(Z检验与t检验)

下一篇：单侧检验

本文对您是否有用？有用 (0) 无用 (0)