最后更新: 2025-02-22 10:05 查看: 23 次反馈刷题

两个正态总体方差的假设检验(F检验法)

## 两个正态总体方差的假设检验
设 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_{n_1}$ 为取自总体 $X$ 的一个样本，$Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2}$ 为取自总体 $Y$ 的一个样本，记 $\bar{X}$ 与 $\bar{Y}$ 分别为样本 $X_1, X_2, \cdots, X_{n_1}$ 与 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2}$ 的均值，$S_1^2$ 与 $S_2^2$ 分别为相应的样本方差，并且两个样本相互独立．

关于正态方差 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 的比较，有如下三类检验问题：
（1）$H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2, H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$
（2）$H_0: \sigma_1^2 \leqslant \sigma_2^2, H_1: \sigma_1^2>\sigma_2^2$
（3）$H_0: \sigma_1^2 \geqslant \sigma_2^2, H_1: \sigma_1^2<\sigma_2^2$
等价形式分别为
（1）$H_0: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}=1, H_1: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \neq 1$
（2）$H_0: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \leqslant 1, H_1: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}>1$
（3）$H_0: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \geqslant 1, H_1: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}<1$
首先考虑双边假设检验。
（I）检验假设

$$
H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2 ; \quad H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2
$$

由 $S_1^2$ 与 $S_2^2$ 是 $\sigma_1^2$ 与 $\sigma_2^2$ 的无偏估计及第 6 章知，当 $H_0$ 为真时

$$
F=S_1^2 / S_2^2 \sim F\left(n_1-1, n_2-1\right)
$$

故选取 $F$ 作为检验统计量．相应的检验法称为 $F$ 检验法（ $F$－test）。
当 $H_0$ 成立时，$F$ 的取值应集中在 1 的附近，$H_1$ 成立时，$F$ 的取值有偏小或偏大的趋势，故拒绝域形式为

$$
F \leqslant k_1 \text { 或 } F \geqslant k_2 \quad\left(k_1, k_2\right. \text { 待定) }
$$

对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，有

$$
P\left\{F \leqslant F_{1-\alpha / 2}\left(n_1-1, n_2-1\right) \text { 或 } F \geqslant F_{\alpha / 2}\left(n_1-1, n_2-1\right)\right\}=\alpha \text {, }
$$

如图 8．3．1 所示，拒绝域为
 ![图片](/uploads/2025-02/899ff4.jpg)
 
$$
W=\left\{F \leqslant F_{1-\alpha / 2}\left(n_1-1, n_2-1\right) \text { 或 } F \geqslant F_{\alpha / 2}\left(n_1-1, n_2-1\right)\right\} . ...(8.3.1)
$$

根据一次抽样后得到的样本观察值 $x_1, x_2, \cdots, x_{n_1}$ 和 $y_1, y_2, \cdots, y_{n_2}$ 计算出 $F$ 的观察值，若式（8．3．1）成立，则拒绝原假设 $H_0$ ，否则接受
原假设 $H_0$ ．
类似地推导，对单侧检验有：
（2）检验假设

$$
H_0: \sigma_1^2 \leqslant \sigma_2^2, \quad H_1: \sigma_1^2>\sigma_2^2
$$

对应的拒绝域为

$$
W=\left\{F \geqslant F_\alpha\left(n_1-1, n_2-1\right)\right\} .
$$

（3）检验假设

$$
H_0: \sigma_1^2 \geqslant \sigma_2^2, \quad H_1: \sigma_1^2<\sigma_2^2
$$

对应的拒绝域为

$$
W=\left\{F \leqslant F_{1-\alpha}\left(n_1-1, n_2-1\right)\right\} .
$$

`例`两台机床加工同种零件，分别从两台车床加工的零件中抽取 6 个和 9 个测量其直径，并计算得 $s_1^2=0.345, s_2^2=0.375$ ．假定零件直径服从正态分布，试比较两台车床加工精度有无显著差异（ $\alpha=0.10$ ）。

解 设两总体 $X$ 和 $Y$ 分别服从正态分布 $N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right)$ 和 $N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right), \mu_1, ~ \mu_2, ~ \sigma_1^2, ~ \sigma_2^2$ 未知．
（1）建立假设 $H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2, ~ H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$ 。
（2）选统计量 $F=S_1^1 / S_2^2 \sim F\left(n_1-1, n_2-1\right)$ ．
（3）对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，确定 $k_1, ~ k_2$ ，使 $P\left\{F<k_1\right.$ 或 $\left.F>k_2\right\}=\alpha$ ，查附录 E 得

$$
\begin{gathered}
k_1=F_{1-\alpha / 2}\left(n_1-1, n_2-1\right)=F_{0.95}(5,8)=\frac{1}{F_{0.05}(8,5)}=0.208, \\
k_2=F_{\alpha / 2}\left(n_1-1, n_2-1\right)=F_{0.05}(5,8)=3.69,
\end{gathered}
$$

从而拒绝域为 $F<0.208$ 或 $F>3.69$ ．
（4）由于 $s_1^2=0.345, s_2^2=0.375$ ，所以 $F=s_1^2 / s_2^2=0.92$ ．
而 $0.208<0.92<3.69$ ，故应接受 $H_0$ ，即认为两车床加工精度无差异．

`例`新，旧两个水稻品种进行对比试验，旧品种其分成 25 个小区，样本均值为 $\bar{x}_1=36.65 kg$  ，样本标准差为 $s_1=2.32 kg$ ；新品种其分成 20 个小区，样本均值为 $\bar{x}_2=37.65 kg$ ，样本标准差为 $s_2=1.89 kg$ 。新品种与旧品种的总体方差是否有显著性差异（显著性水平 $\alpha=0.05$ ）？

解 待检假设为

$$
H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2 ; H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2
$$

这里 $n_1=25, n_2=20, s_1=2.32, s_2=1.89$ ．
选取统计量 $F=\frac{S_1^2}{S_2^2}$ ，其观察值为 $f_0=\frac{2.32^2}{1.89^2} \approx 1.507$ 。
对于 $\alpha=0.05$ ，查 $\bar{F}$ 分布表，得

$$
\begin{aligned}
& F_{\frac{\alpha}{2}}\left(n_1-1, n_2-1\right)=F_{0.025}(24,19)=2.45 \\
& F_{1-\frac{\alpha}{2}}\left(n_1-1, n_2-1\right)=F_{0.975}(24,19)=0.41
\end{aligned}
$$

由于 $f_0 \approx 1.507 \in(0.41,2.45)$ ，因此，接受 $H_0$ ，即认为 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ ，亦即两个品种的总体方差无显著性差异。

注意：当 $\mu_1$ 与 $\mu_2$ 已知时，要检验假设 $H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2$ ，其检验方法类同均值未知的情况，此时所采用的检验统计量是：

$$
F=\frac{\frac{1}{n_1} \sum_{i=1}^{n_1}\left(X_i-\mu_1\right)^2}{\frac{1}{n_2} \sum_{i=1}^{n_2}\left(Y_i-\mu_2\right)^2} \sim F\left(n_1, n_2\right),
$$

其拒绝域如表 8．3．1 所示．
 ![图片](/uploads/2025-02/220094.jpg)

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