最后更新: 2026-01-07 10:48 查看: 219 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

两个正态总体方差的假设检验(F检验法)

在实际应用当中，我们还常常会遇到两个正态总体的参数比较问题，例如，比较两个品牌的同排量汽车的平均耗油量的优劣；又如，比较两台仪器测量精度的高低，等等．这些问题都可以在单个正态总体参数检验的基础上加以推广。

两个都是正态分布，通常有3种检验类型

> (1)$\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 已知，关于均值差 $\mu_1-\mu_2$ 的检验
(2)$\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 末知，但 $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ ，关于均值差 $\mu_1-\mu_2$ 的检验
(3) $\mu_1, \mu_2$ 未知，关于方差比 $\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}$ 的检验

[上一节](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=584)介绍了(1)(2)检验法，[本节](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=2545)介绍(3) 检验法

## 两个正态总体方差的假设检验
设 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1^2\right), Y \sim N\left(\mu_2, \sigma_2^2\right), X_1, X_2, \cdots, X_{n_1}$ 为取自总体 $X$ 的一个样本，$Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2}$ 为取自总体 $Y$ 的一个样本，记 $\bar{X}$ 与 $\bar{Y}$ 分别为样本 $X_1, X_2, \cdots, X_{n_1}$ 与 $Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2}$ 的均值，$S_1^2$ 与 $S_2^2$ 分别为相应的样本方差，并且两个样本相互独立．

关于正态方差 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$ 的比较，有如下三类检验问题：
（1）$H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2, H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$
（2）$H_0: \sigma_1^2 \leqslant \sigma_2^2, H_1: \sigma_1^2>\sigma_2^2$
（3）$H_0: \sigma_1^2 \geqslant \sigma_2^2, H_1: \sigma_1^2<\sigma_2^2$
等价形式分别为
（1）$H_0: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}=1, H_1: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \neq 1$
（2）$H_0: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \leqslant 1, H_1: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}>1$
（3）$H_0: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2} \geqslant 1, H_1: \frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}<1$
首先考虑双边假设检验。
（I）检验假设

$$
H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2 ; \quad H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2
$$

由 $S_1^2$ 与 $S_2^2$ 是 $\sigma_1^2$ 与 $\sigma_2^2$ 的无偏估计及第 6 章知，当 $H_0$ 为真时

$$
F=S_1^2 / S_2^2 \sim F\left(n_1-1, n_2-1\right)
$$

故选取 $F$ 作为检验统计量．相应的检验法称为 $F$ 检验法（ $F$－test）。
当 $H_0$ 成立时，$F$ 的取值应集中在 1 的附近，$H_1$ 成立时，$F$ 的取值有偏小或偏大的趋势，故拒绝域形式为

$$
F \leqslant k_1 \text { 或 } F \geqslant k_2 \quad\left(k_1, k_2\right. \text { 待定) }
$$

对于给定的显著性水平 $\alpha$ ，有

$$
P\left\{F \leqslant F_{1-\alpha / 2}\left(n_1-1, n_2-1\right) \text { 或 } F \geqslant F_{\alpha / 2}\left(n_1-1, n_2-1\right)\right\}=\alpha \text {, }
$$

如图 8．3．1 所示，拒绝域为
 ![图片](/uploads/2025-02/899ff4.jpg)
 
$$
W=\left\{F \leqslant F_{1-\alpha / 2}\left(n_1-1, n_2-1\right) \text { 或 } F \geqslant F_{\alpha / 2}\left(n_1-1, n_2-1\right)\right\} . ...(8.3.1)
$$

根据一次抽样后得到的样本观察值 $x_1, x_2, \cdots, x_{n_1}$ 和 $y_1, y_2, \cdots, y_{n_2}$ 计算出 $F$ 的观察值，若式（8．

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