最后更新: 2025-01-14 10:01 ● 参与者查看: 0 次纠错分享参与项目词条搜索

附录2：傅里叶变换的通俗解释

1804年，数学家傅里叶首次提出一个结论：**在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以表示为单词的正弦与余弦之和**。但是傅里叶并没有给出严格的证明，1929年，德国数学家狄利克雷给出了周期函数的展开为傅里叶变换提供了理论依据。

## 时域与频域
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的。
先看一下下图：
在你的理解中，一段音乐是什么呢？一个随着时间变化的震动，这是我们对音乐最普遍的理解，很多音乐播放器也会使用此种背景图
  ![图片](/uploads/2025-01/746be1.jpg)
  
但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
 ![图片](/uploads/2025-01/eebb9f.jpg)
 
 上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
 将以上两图简化：
 时域：
  ![图片](/uploads/2025-01/71d904.jpg)
频域：
 ![图片](/uploads/2025-01/d1f0fe.jpg)
 
 在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
 你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)
 
## 任何图形都可以由正弦加余弦表示
正弦与余弦是常见的最基本的三角函数，如果我说使用正弦和余弦可以生成矩形你信吗？参考下图：

①第一幅图是一个郁闷的正弦波$\cos(x)$
②第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加$\cos(x)+a\cos(3x)$
③第三幅图是4个发春的正弦波的叠加
④第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加

![图片](/uploads/2025-01/a7d2b4.jpg){width=400px}

从这里可以看到，随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？（只要努力，弯的都能掰直！）

随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个

不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。
还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：
 ![图片](/uploads/2025-01/9b6e34.jpg)
 
在这2幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。
这里，不同频率的正弦波我们成为**频率**分量。

## 频域
对于数轴，数字“1”是有理数轴的基本单元。（数学专业叫法叫做-[基](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=489)）

时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为$\omega_0$的正弦波$\cos(\omega_0 t)$看作基础，那么频域的基本单元就是$\omega_0$。
 
 有了＂ 1 ＂，还要有＂ 0 ＂才能构成世界，那么频域的＂ 0 ＂是什么呢？ $\cos (0 t )$ 就是一个周期无限长的正弦波，也就是一条直线！所以在频域， 0 频率也被称为直流分量 ，在傅里叶级数的叠加中，它仅仅影响全部波形相对于数轴整体向上或是向下而不改变波的形状（换句话说，他就像一个晾衣杆，决定晾晒的衣服们是高还是底）。
 
 下图是一个最基本的$sin x$ 的定义
  ![图片](/uploads/2025-01/93c316.jpg)
  
  正弦波就是一个圆周运动在一条直线上的投影。所以频域的基本单元也可以理解为一个始终在旋转的圆
   ![1.gif](/uploads/2025-01/357cfe.gif){width=400px}
 
##   傅里叶级数频谱-从侧方看
 介绍完了频域的基本组成单元，我们就可以看一看一个矩形波，在频域里的另一个模样了：
  ![图片](/uploads/2025-01/394ac9.jpg){width=400px}
  这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是
   ![图片](/uploads/2025-01/c88715.jpg)
   再清楚一点：
   
![图片](/uploads/2025-01/28d1fe.jpg)
可以发现，在频谱中，偶数项的振幅都是0，也就对应了图中的彩色直线。振幅为0的正弦波。

## 傅里叶级数相位谱-从下方看

在这一章最开始，我想先回答很多人的一个问题：傅里叶分析究竟是干什么用的？这段相对比较枯燥，已经知道了的同学可以直接跳到下一个分割线。

先说一个最直接的用途。无论听广播还是看电视，我们一定对一个词不陌生——频道。频道频道，就是频率的通道，不同的频道就是将不同的频率作为一个通道来进行信息传输。下面大家尝试一件事：

先在纸上画一个 $\sin (x)$ ，不一定标准，意思差不多就行。不是很难吧。
好，接下去画一个 $\sin (3 x)+\sin (5 x)$ 的图形。
别说标准不标准了，曲线什么时候上升什么时候下降你都不一定画的对吧？
好，画不出来不要紧，我把 $\sin (3 x)+\sin (5 x)$ 的曲线给你，但是前提是你不知道这个曲线的方程式，现在需要你把 $\sin (5 x)$ 给我从图里拿出去，看看剩下的是什么。这基本是不可能做到的。

但是在频域呢？则简单的很，无非就是几条坚线而已。

所以很多在时域看似不可能做到的数学操作，在频域相反很容易。这就是需要傅里叶变换的地方。尤其是从某条曲线中去除一些特定的频率成分，这在工程上称为**滤波**，是信号处理最重要的概念之一，只有在频域才能轻松的做到。
再说一个更重要，但是稍微复杂一点的用途——求解微分方程。求解微分方程却是一件相当麻烦的事情。因为除了要计算加减乘除，还要计算微分积分。而傅里叶变换则可以让微分和积分在频域中变为乘法和除法，大学数学瞬间变小学算术。
下面说相位谱
 ![图片](/uploads/2025-01/2bf9af.jpg)

鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。
 ![图片](/uploads/2025-01/657fda.jpg)
 
 这里需要纠正一个概念：时间差并不是相位差。如果将全部周期看作 $2 \pi$或者 360 度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘 $2 \pi$ ，就得到了相位差。

在完整的立体图中，我们将投影得到的时间差依次除以所在频率的周期，就得到了最下面的相位谱 。所以，频谱是从侧面看，相位谱是从下面看。

注意到，相位谱中的相位除了 0 ，就是 $\pi$ 。因为 $\cos ( t + \pi )=-\cos ( t )$ ，所以实际上相位为 $\pi$ 的波只是上下翻转了而已。对于周期方波的傅里叶级数，这样的相位谱已经是很简单的了。另外值得注意的是，由于 $\cos ( t +2 \pi )=\cos ( t )$ ，所以相位差是周期的， $\pi$ 和 $3 \pi , ~ 5 \pi ， 7 \pi$ 都是相同的相位。人为定义相位谱的值域为 $\left(- \pi  , ~ \pi \right.$ ，所以图中的相位差均为 $\pi $ 。

最后来一张大集合：
   ![图片](/uploads/2025-01/aaf5f0.jpg){width=500px}
   
## 非周期函数的傅里叶级数
上面介绍的是周期性函数可以用傅里叶级数表示，但是有些并不是周期性函数。
 ![图片](/uploads/2025-01/77305d.jpg){width=400px}
 
 或者我们也可以换一个角度理解：傅里叶变换实际上可以看成是对一个**周期无限大**的函数进行傅里叶变换。
 
 因此在傅里叶变换在频域上就从离散谱变成了连续谱。那么连续谱是什么样子呢？
 ![图片](/uploads/2025-01/216141.jpg){width=400px}
 
以上是离散谱，那么连续谱是什么样子呢？ 
尽情的发挥你的想象，想象这些离散的正弦波离得越来越近，逐渐变得连续……直到变得像波涛起伏的大海：
 ![图片](/uploads/2025-01/59a49c.jpg){width=400px}
 
## 欧拉公式与傅里叶级数的结合
在复变函数里，解释过，一个数，乘以1表示本身，乘以$i$表示旋转90度，乘以$-1$旋转180度，乘以$-i$旋转270度。
 ![图片](/uploads/2025-01/8e7e50.jpg){width=400px}
 实数里$e^x$图像如下
  ![图片](/uploads/2025-01/7a92c4.jpg){width=400px}
  
 正弦波利用欧拉公式并转换为指数形式，就变成了简单的指数形式。我们来看看图像上的涵义
 
 ![图片](/uploads/2025-01/b604a8.jpg){width=400px}
 
 变成了一个螺旋线。是不是和电磁场很像？我们即可以让电场强度与复数磁场强度相加而不损失各自的信息，又满足了电场与磁场90度垂直的要求。另外，一旦我们需要让任何一个场旋转90度，只要乘一个“i”就可以了
 
  ![图片](/uploads/2025-01/e8ff2d.jpg)
 
欧拉公式所描绘的，是一个随着时间变化，在复平面上做圆周运动的点，随着时间的改变，在时间轴上就成了一条螺旋线。如果只看它的实数部分，也就是螺旋线在左侧的投影，就是一个最基础的余弦函数。而右侧的投影则是一个正弦函数。

## 滤波器
上面介绍，“任何一个图形都可以由无数过正弦波”叠加而成，那么如果有一个软件可以滤掉没用的波，是不是就可以得到想要的波？
答案是肯定的，最简单的就是牛顿三棱镜试验。
光是一种波，通过三棱镜，可以过滤掉不通波段的波，即可分解不通的颜色。
 ![图片](/uploads/2025-01/12bdca.jpg)
 
 在光学里，光可以作为波动研究，也可以作为粒子研究，同样的
这里，我们可以用两种方法来理解正弦波：

第一种前面已经讲过了，就是螺旋线在实轴的投影。
另一种需要借助欧拉公式的另一种形式去理解：

$$
\begin{aligned}
& e^{i t}=\cos (t)+i . \sin (t) \\
& e^{-i t}=\cos (t)-i . \sin (t)
\end{aligned}
$$

将以上两式相加再除2，得到：

$$
\cos (t)=\frac{e^{i t}+e^{-i t}}{2}
$$

这个式子可以怎么理解呢？

我们刚才讲过，$e^{\wedge}(i t)$ 可以理解为一条逆时针旋转的螺旋线，那么 $e^(-i t)$ 则可以理解为一条顺时针旋转的螺旋线。而 $\cos ( t )$ 则是这两条旋转方向不同的螺旋线叠加的—半，因为这两条螺旋线的虚数部分相互抵消掉了！
举个例子的话，就是极化方向不同的两束光波，磁场抵消，电场加倍。
这里，逆时针旋转的我们称为正频率，而顺时针旋转的我们称为负频率

我们最后用一张图来总结一下： 顺便说一句，下图中最上面那个像大海螺一样的图，为了方便观看，这里仅仅展示了其中正频率的部分，负频率的部分没有显示出来。

如果你认真去看，海螺图上的每一条螺旋线都是可以清楚的看到的，每一条螺旋线都有着不同的振幅（旋转半径），频率（旋转周期）以及相位。而将所有螺旋线连成平面，就是这幅海螺图了。

![图片](/uploads/2025-01/3701ba.jpg)
 
 
## 例题
`例`求矩形脉冲函数 $f(t)=\left\{\begin{array}{ll}1, & |t| \leq a \\ 0, & |t|>a\end{array}(a>0)\right.$ 的 Fourier 变换。 
 ![图片](/uploads/2025-01/fbe26f.jpg)
 
 解：
 $$
 \begin{aligned}
F(\omega) & = F [f(t)]=\int_{-\infty}^{+\infty} f(t) e^{-j \omega t} d t \\
& =\int_{-a}^a e^{-j \omega t} d t=\left.\frac{1}{-j \omega} e^{-j \omega t}\right|_{-a} ^a \\
& =\frac{1}{-j \omega}\left(e^{-j a \omega}-e^{j a \omega}\right) \\
& =\frac{2}{\omega} \cdot \frac{\left(e^{-j a \omega}-e^{j a \omega}\right)}{-2 j}=2 a \frac{\sin a \omega}{a \omega} 
\end{aligned}
$$

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