最后更新: 2025-05-14 20:02 查看: 224 次反馈能力测评会员8.2元/月赞助

附录3：傅里叶变换的通俗解释

1804年，数学家傅里叶首次提出一个结论：**在有限区间上由任意图形定义的任意函数都可以表示为单词的正弦与余弦之和**。但是傅里叶并没有给出严格的证明，1929年，德国数学家狄利克雷给出了周期函数的展开为傅里叶变换提供了理论依据。 本文改编自Heinrich撰写的[傅里叶分析](https://zhuanlan.zhihu.com/p/19763358)

## 时域与频域
从我们出生，我们看到的世界都以时间贯穿，股票的走势、人的身高、汽车的轨迹都会随着时间发生改变。这种以时间作为参照来观察动态世界的方法我们称其为时域分析。而我们也想当然的认为，世间万物都在随着时间不停的改变，并且永远不会静止下来。但如果我告诉你，用另一种方法来观察世界的话，你会发现世界是永恒不变的。
先看一下下图：
在你的理解中，一段音乐是什么呢？一个随着时间变化的震动，这是我们对音乐最普遍的理解，很多音乐播放器也会使用此种背景图
  ![图片](/uploads/2025-01/746be1.jpg)
  
但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
 ![图片](/uploads/2025-01/eebb9f.jpg)
 
 上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
 将以上两图简化：
 时域：
  ![图片](/uploads/2025-01/71d904.jpg)
频域：
 ![图片](/uploads/2025-01/d1f0fe.jpg)
 
 在时域，我们观察到钢琴的琴弦一会上一会下的摆动，就如同一支股票的走势；而在频域，只有那一个永恒的音符。
 你眼中看似落叶纷飞变化无常的世界，实际只是躺在上帝怀中一份早已谱好的乐章。傅里叶同学告诉我们，任何周期函数，都可以看作是不同振幅，不同相位正弦波的叠加。在第一个例子里我们可以理解为，利用对不同琴键不同力度，不同时间点的敲击，可以组合出任何一首乐曲。而贯穿时域与频域的方法之一，就是传中说的傅里叶分析。傅里叶分析可分为傅里叶级数（Fourier Serie）和傅里叶变换(Fourier Transformation)
 
## 任何图形都可以由正弦加余弦表示
正弦与余弦是常见的最基本的三角函数，如果我说使用正弦和余弦可以生成矩形你信吗？参考下图：

①第一幅图是一个郁闷的正弦波$\cos(x)$
②第二幅图是2个卖萌的正弦波的叠加$\cos(x)+a\cos(3x)$
③第三幅图是4个发春的正弦波的叠加
④第四幅图是10个便秘的正弦波的叠加

![图片](/uploads/2025-01/a7d2b4.jpg){width=400px}

从这里可以看到，随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？（只要努力，弯的都能掰直！）

随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准90度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个

不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。
还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看：
 ![图片](/uploads/2025-01/9b6e34.jpg)
 
在这2幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为0的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。
这里，不同频率的正弦波我们成为**频率**分量。

## 频域
对于数轴，数字“1”是有理数轴的基本单元。（数学专业叫法叫做-[基](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=489)）

时域的基本单元就是“1秒”，如果我们将一个角频率为$\omega_0$的正弦波$\cos(\omega_0 t)$看作基础，那么频域的基本单元就是

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