最后更新: 2025-03-21 10:02 查看: 266 次高考专区考研专区公式专区刷题专区词条搜索

附录1：柯西-黎曼方程的通俗解释

## 柯西-黎曼方程
**定理** 函数 $w=f(z)=u(x, y)+i v(x, y)$ 在点 $z=x+i y$ 处可导 的充要条件是: $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 处可微, 且满足柯西一黎曼 (Cauchy-Riemann ) 方程(简称C-R方程):

$$
\boxed{
\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}, \quad \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x} 
}
$$

## 柯西-黎曼方程的几何意义
假设你在山上，山上布满了密密麻麻的网格，这些网格你可以想想为$f(x,y)$生成的二维曲面。
所谓解析函数就是要求，这些网格没有“㓊”这是第一层意思，也是最直接的意思。

但是直接证明这些网格没有㓊比较困难，因此，我们就使用“**没有㓊**”的等价命题：你可以沿着网格到达山上的任何地方，这是等价命题的第二层意思。

再进一步，假设你指定山上一个点（如下图随机的一个红点），那么你从山上任何地方都可以到达这个红点，这是第三层意思。这三层意思虽然表述不同，但是可以发现他们本质是一样的。

![图片](/uploads/2024-12/ad1976.jpg){width=380px}
 
 那怎么把上面的“自然语言”转换为“数学语言”呢？既然沿着任意路径都能到达红点，那我们先取两个特殊的路径：X轴(实轴)和Y轴(虚轴)，自然沿着这2个路径一定能够到达红点。为此建立如下坐标系：
 
  ![图片](/uploads/2025-01/b0a71d.jpg){width=380px}

考虑两个变化量 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ ，则

$$
\Delta z=\Delta x+i \Delta y
$$

写出对应的复变函数 $f$

$$
\Delta f=\Delta u+i \Delta v
$$

那么

$$
\dfrac{\Delta f}{\Delta z}=\dfrac{\Delta u+i \Delta v}{\Delta x+i \Delta y} ...(1)
$$

现在，我们考虑两种接近方法：

①先让 $\Delta y=0$ 让 $\Delta x \rightarrow 0$ ，则(1)式可得

$$
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta f(z)}{\Delta z}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0}\left(\frac{\Delta u}{\Delta x}+i \frac{\Delta v}{\Delta x}\right)=\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x} ...(2)
$$

②再让 $\Delta x=0, \Delta y \rightarrow 0$ ，则(1)式可得

$$
\lim _{\Delta z \rightarrow 0} \frac{\Delta f(z)}{\Delta z}=\lim _{\Delta y \rightarrow 0}\left(-i \frac{\Delta u}{\Delta y}+\frac{\Delta v}{\Delta y}\right)=-i \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial y} ...(3)
$$

**因为我们要求不管是从实轴接近红点还是从虚轴接近红点, 所得到的极限的值应该是相同的**, 所以(2)与(3) 应该实部与实部相等, 虚部与虚部相等可得到如下等式

$$
\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}, \dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x}
$$

而这个就是柯西－黎曼条件，即用来判断一个复变函数是否可导的条件

反过来，如果一个复变函数满足柯西－黎曼条件，为什么就说微分 $\dfrac{df}{dz}$ 一定是解析的？

为了证明这个，我们可以写出

$$
\Delta f=\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x}\right) \Delta x+\left(\frac{\partial u}{\partial y}+i \frac{\partial ء}{\partial y}\right) \Delta y
$$

利用柯西－黎曼条件 $\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}, \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}$ 进行代换，得到

$$
\begin{aligned}
\Delta f & =\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x}\right) \Delta x+\left(-i \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial x}\right) \Delta y \\
& =\left(\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x}\right)(\Delta x+i \Delta y)
\end{aligned}
$$

显然，将 $\Delta z=\Delta x+i \Delta y$ 代换然后再移项，便可以得到

$$
\frac{\Delta f}{\Delta z}=\frac{\partial u}{\partial x}+i \frac{\partial v}{\partial x}
$$

显然等式的右边是独立于 $\Delta z$ 的，得证。

上面是从数学角度证明，下面从几何角度进行解释:上面的问题等价于：如果一个向量沿着$x$轴能靠近红点，沿着$y$轴能靠近红点，为什么就一定能推导出，他沿着任意方向都能靠近红点？
这里有一个条件：必须是可微的。然后，根据向量的平行四边形法则，给定两个向量$\vec{e_1},\vec{e_2}$, 用他们作为基，他们一定可以合成任意一个向量$\vec{e}=(a\vec{e_1},b\vec{e_2})$, 这也就是说，任意一个向量$\vec{e}$ 都可以接近红点，所以，他是解析函数。
 ![图片](/uploads/2025-01/e9bb11.jpg)
 
 
 ## 为什么柯西-黎曼方程含有负号？
对于复变函数，比如$f(z)=u+iv$，从外表看，他是1个函数，但这是在复数的世界里，如果我们把他还原到我们现实的世界，他其实是2个变量。这就像西游记里，妖精变化为农夫，只有让他现为原型，我们才能更好的认识他。

如果令$z=x+iy$, 再假设$u=x+y,v=x-y$ 带入上式则
$f(x,y)=(x+y)+i(x-y)$
这样，就容易看到，$x,y$ 是受到两个函数控制
$$
\left\{
\begin{array}{c}
f(x,y)=x+y \\
f(x,y)=x-y
\end{array}
\right.
$$

为了方便理解，我们没有把这2个函数画在空间里，如下图，假设把上面中的一个$f(x,y)$画在三维空间里，形成绿色曲面（这里已经是现实的世界），要使他满足柯西-黎曼方程，想象一下，我们用刀沿着$x$轴和$y$轴切了2刀，形成2个曲线，这2个曲线各有一个切线，如下图红色切线和蓝色切线。如果函数连续(没有㓊)，那么在切点处，他们的值应该一样。
这就是 $\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y},$ 这个等式就是高等数学里[偏导数的几何意义](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=381)

![图片](/uploads/2025-01/4f871d.jpg){width=400px}

同样对于虚部函数，切两刀形成 $\dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x} $ 这个负号表示在虚数上方向相反。

### 再次理解负号
从数学上理解复数是困难的，所以，我们还是回到物理的世界。我们强调过，复数是和向量等价的，换句话说，两个复数相等也就是这两个向量相等。而向量是有方向的，比如速度，你可以把他当做向量，也可以把他当做复数。

想象一个情况：一个带电粒子进入磁场，在受到洛伦兹力$v$和$u$的作用下穿过匀强电磁场，如下图,上方磁场弱，下方磁场强，导致粒子最终路径为匀加速斜向下运动。 
详见[带点粒子运动](https://kb.kmath.cn/kbase/detail.aspx?id=1789)

$v_x$是粒子速度水平分量，$v_y$是速度垂直分量。
这样
$v_x=\dfrac{\partial u}{\partial x}=\dfrac{\partial v}{\partial y}$

$v_y=\dfrac{\partial u}{\partial y}=-\dfrac{\partial v}{\partial x} $

为什么这里有负号？因为$u$力是让电子往下走，$v$力是让电子往下走，换句话说，这里的负号，表示$v$给粒子的力是阻力。所以他形成的速度是负的。最终垂直方向速度是，大小相等，方向相反。

![图片](/uploads/2025-01/15cb06.jpg)

> 一个简单解释：为什么 U,V 给粒子的方向不能相同？可以想象，如果U,V在垂直方向上速度方向相同，那么粒子就会直线下降，形成了“㓊”，导致了图形的不连续。换句话说，正是由于v力在拽着u力，才让粒子形成光滑的曲线。从柯西-黎曼公式看，v力形成的速度和u力形成的速度需要大小相等，方向相反，才能保持粒子的稳定，进而形成“U,V”是解析的。

`例` 讨论函数 $f(z)=|z|^2$ 的解析性．
解 因 $u(x, y)=x^2+y^2, v(x, y) \equiv 0$ ，故

$$
u_x=2 x, \quad u_y=2 y, \quad v_x=v_y=0 .
$$

这四个偏导数在 $z$ 平面上处处连续，但只在 $z=0$ 处满足 C．- R．方程．故函数 $f(z)$ 只在 $z=0$ 可微，从而，此函数在 $z$ 平面上处处不解析．并且 $f^{\prime}(0)=\left.\left(u_x+ i v_x\right)\right|_{(0.0)}=0$ ．

`例`讨论函数 $f(z)=x^2- i y$ 的可微性和解析性．
解 因 $u(x, y)=x^2, v(x, y)=-y$ ，故

$$
u_x=2 x, \quad u_y=0, \quad v_x=0, \quad v_y=-1,
$$

所以

$$
u_y=0=-v_x .
$$

若要 $2 x=u_x=v_y=-1$ ，必须 $x=-\frac{1}{2}$ ．故仅在直线 $x=-\frac{1}{2}$ 上，C．- R ．方程成立，且偏导数连续．从而仅在直线 $x=-\frac{1}{2}$ 上 $f(z)$ 可微，但在 $z$ 平面上，$f(z)$ 却处处不解析，并且

$$
\left.f^{\prime}(z)\right|_{x=-\frac{1}{2}}=\left.\left(u_x+i v_x\right)\right|_{x=-\frac{1}{2}}=\left.(2 x+i \cdot 0)\right|_{x=-\frac{1}{2}}=-1
$$

注 在上述两例中，由于函数 $f(z)$ 只在一个孤立点或只在一条直线上可微，各点都未形成由可微点构成的圆形邻域，故 $f(z)$ 在其上都不解析，从而在 $z$ 平面上处处不解析．

##  总结

在复变函数中，**柯西-黎曼方程**是判断一个复变函数是否可导（即是否“光滑”）的核心条件，其通俗解释可以从以下角度理解：

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### 1. **基本作用：确保函数“没有突变”**
   • 复变函数的导数不仅要求函数在某点连续变化，还要求其变化率在所有方向上一致。柯西-黎曼方程就是用来验证这一点的数学工具。如果一个复变函数的实部和虚部满足特定的偏导数关系（见下文），那么这个函数在对应点就是可导的，即没有“尖角”或“撕裂”。

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### 2. **方程的直观意义**
   • 假设复函数 $f(z) = u(x, y) + iv(x, y)$（其中 $z = x + iy$），柯西-黎曼方程要求：
     ◦ 实部 $u$ 的“东向变化率”等于虚部 $v$ 的“北向变化率”（即 $\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}$）；
     ◦ 实部 $u$ 的“北向变化率”等于虚部 $v$ 的“东向变化率”的相反数（即 $\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}$）。
   • 这两个条件相当于要求函数在各个方向上的变化是“协调”的，不会出现局部扭曲。

---

### 3. **举例说明**
   • 以 $f(z) = z^2 = (x + iy)^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ 为例：
     ◦ 实部 $u = x^2 - y^2$，虚部 $v = 2xy$；
     ◦ 计算偏导数后，会发现 $\frac{\partial u}{\partial x} = 2x$、$\frac{\partial v}{\partial y} = 2x$，且 $\frac{\partial u}{\partial y} = -2y$、$\frac{\partial v}{\partial x} = 2y$，恰好满足柯西-黎曼方程。因此，$f(z)$ 在整个复平面上都是可导的。

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### 4. **历史背景**
   • 这一方程最早由达朗贝尔在18世纪提出，后经欧拉、柯西和黎曼发展完善，成为复分析的基础。它揭示了复函数可导性与实部和虚部偏导数之间的深刻联系。

---

### 总结
柯西-黎曼方程的本质是**协调性条件**：复函数的实部和虚部必须在变化率上“互相配合”，确保函数在各个方向上光滑可导。这一条件在复积分、解析延拓等理论中至关重要。

## 为什么有负号的理解
在复变函数的柯西-黎曼方程中，**负号的来源与复数旋转的几何特性密切相关**，具体原因如下：

---

### 1. **复数旋转的不对称性**
   • 复数乘以虚数单位 $i$ 会导致逆时针旋转 $90^\circ$（即绕原点旋转）。这种旋转在直角坐标系中具有方向性：  
     ◦ 当实部 $u$ 在 **北向（$y$ 方向）** 变化时，虚部 $v$ 需要在 **东向（$x$ 方向）** 变化以保持协调；  
     ◦ 但根据复数乘法的规则，若直接应用实数偏导数的对称性，会导致旋转方向错误。  
   • **负号的作用**是调整虚部 $v$ 的变化方向，使其与实部 $u$ 的变化方向在旋转中保持一致。

---

### 2. **从直角坐标到极坐标的推导**
   • 在极坐标系中，复数 $z = re^{i\theta}$ 的导数涉及对 $r$ 和 $\theta$ 的偏导数。通过链式法则计算时，负号自然出现于虚部与实部偏导数的关系中：  
     ◦ 例如，当计算 $\frac{\partial f}{\partial \theta}$ 时，虚部 $v$ 的变化率需与实部 $u$ 的变化率符号相反，以保持角度的正确变化。  
   • 这种推导表明，负号是复数几何性质的必然结果，而非人为引入的约束。

---

### 3. **保形性与解析性的要求**
   • 柯西-黎曼方程的本质是确保复变函数在局部区域内“无扭曲”（保形性）。若没有负号，函数可能在某些方向上出现不协调的拉伸或旋转，导致不可导（如尖点）。  
   • 例如，若 $\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{\partial v}{\partial x}$（即无负号），则函数在 $y$ 方向的变化率与 $x$ 方向的变化率直接相关，无法满足复数旋转的几何需求。

---

### 总结
负号的数学本质是**复数旋转对称性在偏导数关系中的体现**，它确保了实部与虚部在局部变化中保持协调，从而满足复变函数解析性（可导性）和保形性的要求。这一设计既源于复数几何的直观意义，也通过严格的数学推导（如极坐标下的导数计算）得以验证。

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