最后更新: 2025-07-26 22:43 查看: 1011 次反馈同步训练

变上限定积分

## 积分上限函数
### 引言
设物体做直线运动, 已知速度 $v=v(t)$是时间间隔 $[0, T]$ 上 $t$ 的连续函数, 且 $v(t) \geq 0$. 对于等速直线运动, 有公式: 路程 $=$ 速度 $\times$ 时间, 现在速度是随着时间变化的变量, 因此不能直接按等速直线运动的路径公式来计算.

将时间 $[0, T]$ 任意地分成 $n$ 小段 $\left[t_{i-1}, t_i\right]$ (其中 $i=1,2, \cdots, n, t_0=0, t_n=T$ ), 任取 $\tau_i \in\left[t_{i-1}, t_i\right](i=1,2, \cdots, n)$, 则路程元 $\Delta S_i \approx v\left(\tau_i\right) \Delta t_i(i=1,2, \cdots, n), \lambda=\max _{1 \leq i \leq n}\left\{\Delta t_i\right\}$, 因此 得到变速 $(v=v(t), t \in[0, T])$ 直线运动的路程

$$
S=\sum_{i=1}^n \Delta S_i=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n v\left(\tau_i\right) \Delta t_i=\int_0^T v(t) \mathrm{d} t
$$

另一方面, 这段路程又可通过位置函数 $S(t)$ 在时间 $[0, T]$ 上的增量来表示: $S(T)-S(0)$, 因此有 $\int_0^T v(t) \mathrm{d} t=S(T)-S(0)$, 且 $S^{\prime}(t)=v(t)$, 从而有

$$
\int_0^T v(t) \mathrm{d} t=\int_0^T S^{\prime}(t) \mathrm{d} t=\left.S(t)\right|_0 ^T=\left.\left(\int v(t) \mathrm{d} t\right)\right|_0 ^T .
$$

> 此公式揭示了速度函数的定积分和不定积分的关系. **这是一种偶然的巧合, 还是一种具有一般意义的计算公式呢? 答案是后者**.

下面就来推导一般的结果, 通过求原函数的方法来计算定积分, 该结果称为**微积分基本定理**.

## 变上限定积分

如果 $x$ 是区间 $[a, b]$ 上任意一点，定积分

$$
\int_a^x f(t) d t
$$
表示曲线 $y=f(x)$ 在部分区间 $[a, x]$ 上曲边梯形 $\operatorname{Aax} C$ 的面积，如图中阴影部分所示的面积。
 ![图片](/uploads/2025-07/d07951.jpg)

当 $x$ 在区间 $[a, b]$ 上变化时，阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，所以变上限定积分

$$
\int_a^x f(t) d t
$$

是上限变量 $x$ 的函数．记作 $\Phi(x)$, 则
 
$$
  \Phi(x)=\int_a^x f(t) d t
$$

我们称 $\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$为 $f(x)$ 的**积分上限的函数**， 同理 $\int_x^b f(t) \mathrm{d} t$ 也是$x$ 的函数 $(a \leq x \leq b)$, 称为 $f(x)$ 的**积分下限的函数**.

### 性质
由定积分的几何意义，我们可以看到 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 表示整块曲边梯形的面积， 而 $\Phi(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$ 表示区间 $[a, x] \Phi(x)$ 上对应的曲边梯形的面积。因此对于 $\Phi(x)$ ， 有下列性质:

**定理1**
若函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续, 则 $\Phi(x)=\int_a^x f(t) \mathrm{d} t$ 在 $[a, b]$ 上可导, 且

$$
\Phi^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_a^x f(t) \mathrm{d} t=f(x) .
$$

证明 考虑 $\Delta \Phi(x)$ 并利用积分中值定理(见图 3-13), 有

$$
\Delta \Phi(x)=\Phi(x+\Delta x)-\Phi(x)=\int_a^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t-\int_a^x f(t) \mathrm{d} t=\int_x^{x+\Delta x} f(t) \mathrm{d} t=f(\xi) \Delta x,
$$

其中 $\xi$ 介于 $x, x+\Delta x$ 之间, 当 $\Delta x \rightarrow 0$ 时, $\xi \rightarrow x$, 因此

$$
\lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta \Phi(x)}{\Delta x}=\lim _{\Delta x \rightarrow 0} f(\xi)=f(x),
$$

即

$$
\Phi^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_a^x f(t) \mathrm{d} t=f(x) .
$$

注 从定理的结论可以看出 $\Phi(x)$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, 因此有以下定理.
![图片](/uploads/20

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