最后更新: 2025-07-26 08:34 查看: 871 次反馈同步训练

定积分的性质与积分中值定理

## 定积分的性质 
按定积分的定义, 即通过积分和的极限求定积分是十分困难的, 必须寻求定 积分的有效计算方法. 下面介绍的定积分的基本性质有助于计算定积分, 也有助 于理解定积分.

在定积分定义中，要求 $a<b$, 这一限制给定积分的应用带来不便, 因此我们规定:
(1) $\int_a^a f(x) \mathrm{d} x=0$;
(2)设 $a>b$, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=-\int_b^a f(x) \mathrm{d} x$.

因此，假定函数在所讨论的区间上可积, 则有以下性质.

### 1 、被积函数性质
(1) 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积, 则 $|f(x)|$ 在 $[a, b]$ 上也可积; $\left(\int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right.$ 存在, 则 $\int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x$ 也存在)
(2) 若 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上可积, 则 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上的任何子区间 $[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ 上也可积. (即 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 存在, 则 $\int_\alpha^\beta f(x) \mathrm{d} x$ 也存在, 其中 $[\alpha, \beta] \subset[a, b]$ )
(3) $\int_a^b \mathrm{~d} x=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^n \Delta x_i=b-a$.

### 2、线性性质
若 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x , \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$ 均存在, 则 $\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)] \mathrm{d}$ 也存在,
且 $\int_a^b[\alpha f(x)+\beta g(x)] \mathrm{d} x=\alpha \int_a^b f(x) \mathrm{d} x+\beta \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$, 其中 $\alpha, \beta$ 是常数.

### 3、区间的有限可加性

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_a^c f(x) \mathrm{d} x+\int_c^b f(x) \mathrm{d} x .
$$

只要 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x, \int_a^c f(x) \mathrm{d} x, \int_c^b f(x) \mathrm{d} x$ 均存在, 无论 $a 、 b 、 c$ 所对应的位置如何, 上式恒 成立.
注 当 $c$ 不在 $[a, b]$ 上时, 如 $c<a<b$, 则 $\int_c^b f(x) \mathrm{d} x=\int_c^a f(x) \mathrm{d} x+\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$, 因此也有

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x=\int_c^b f(x) \mathrm{d} x-\int_c^a f(x) \mathrm{d} x=\int_c^b f(x) \mathrm{d} x+\int_a^c f(x) \mathrm{d} x .
$$

### 4、保序性
设 $f(x) \leq g(x), x \in[a, b]$, 且 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x 、 \int_a^b g(x) \mathrm{d} x$ 均存在, 则

$$
\int_a^b f(x) \mathrm{d} x \leq \int_a^b g(x) \mathrm{d} x .
$$

#### 推论 1
设 $f(x) \geq 0, x \in[a, b]$, 且 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x$ 均存在, 则 $\int_a^b f(x) \mathrm{d} x \geq 0$;

#### 推论 2
$ \left|\int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x$.
证明 由 $-|f(x)| \leq f(x) \leq|f(x)|, x \in[a, b]$, 得

$$
\begin{gathered}
-\int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x \leq \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \leq \int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x, \\
\left|\int_a^b f(x) \mathrm{d} x\right| \leq \int_a^b|f(x)| \mathrm{d} x .
\end{gathered}
$$

### 5.估值性质
设 $M=\max _{[a, b]} f(x), m=\min _{[a, b]} f(x)$, 则

$$
m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \leq M(b-a) .
$$

证明 由 $m \leq f(x) \leq M, x \in[a, b]$, 得

$$
m(b-a)=\int_a^b m \mathrm{~d} x \leq \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \leq \int_a^b M \mathrm{~d} x=M(b-a),
$$

即 $m(b-a) \leq \int_a^b f(x) \mathrm{d} x \leq M(b-a)$.

## 积分中值定理
设函数 $f(x)$ 在 $[a,

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